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三角形综合题归类
考点：利用角相等证明垂直
1. 已知 BE ，CF 是△ABC 的高，且 BP=AC ，CQ=AB ，试确定 AP 与 AQ 的数量关系和位置关系
Q
A
F
D E
P
B
C
2. 如图，在等腰 △R t ABC 中，∠ACB =90°，D 为 BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为 E ，过点 B 作
BF ∥AC 交 DE 的延长线于点 F ，连接 CF ．(1)求证：CD=BF ；(2)求证：AD ⊥CF ；(3)连接 AF ，
试判断△ACF 的形状.
拓展巩固：如图 9 所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是 BC 边上的中线，
过 C 作 AD 的垂线，交 AB 于点 E ，交 AD 于点 F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．
C
F
D
A
图 9
E
B
3. 如图1，已知正方形 ABCD 的边 CD 在正方形 DEFG 的边 DE 上，连接 AE ， GC .
（1）试猜想 AE 与 GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论；
（2）将正方形 DEFG 绕点 D 按顺时针方向旋转，使 E 点落在 BC 边上，如图2，连接 AE
和 GC .你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由 A
F
E
B D C
4.如图 1， ∆ABC 的边 BC 在直线 l 上， AC ⊥ BC , 且 AC = BC , ∆EFP 的边 FP 也
在直线 l 上，边 EF 与边 AC 重合，且 EF = FP
（1） 在图 1 中，请你通过观察、测量，猜想并写出 AB 与 AP 所满足的 数量关系和位置关系；
（2） 将 ∆EFP 沿直线 l 向左平移到图 2 的位置时， EP 交 AC 于点 Q ,连接
AP , BQ .猜想并写出 BQ 与 AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；
（3）将 ∆EFP 沿直线 l 向左平移到图 3 的位置时， EP 的延长线交 AC 的延长
线于点 Q,连结 AP , BQ ,你认为（2）中所猜想的 BQ 与 AP 的数量关系和位置关系和位置
关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.
A (E)
E
A
E A
Q
F P B C
B C (F) P
(3)
l
Q
(1)
B
F
(2) C
P
l
等腰三角形（中考重难点之一）
考点 1：等腰三角形性质的应用
1. 两个全等的含 30 ，60 角的三角板 ADE 和三角板 ABC ，如图所示放置，E, A, C 三点在
一条直线上，连结 BD ，取 BD 的中点 M ，连结 ME, MC ．试判断 ∆EMC 的形状，并说 明理由．
M
B
D l
E
A
C
压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知 Rt ∆ABC 中， AC = BC ， ∠C = 90︒ ， D 为 AB 边
的中点， ∠EDF = 90︒ ， ∠EDF 绕 D 点旋转，它的两边分别交 AC 、 CB （或它们的延长线） 于 E 、 F ．
2
当 ∠EDF 绕 D 点旋转到 DE ⊥ AC 于 E 时（如图 1），易证 S
∆DEF + S
1 ∆CEF = S
∆ABC
．当 ∠EDF 绕
D 点旋转到 D
E 和 AC 不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，
请给予证明；若不成立， S ∆DEF
， S
∆CEF
， S
∆ABC
又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不
需证明．
A
A
A
D
E
D
D
E
C
F 图1
B C
图2 C
F B E
图3
B F
2. 已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于 D ， B E 平分∠ABC ，且 BE ⊥AC 于 E ，
与 CD 相交于点 F ，H 是 BC 边的中点，连结 DH 与 BE 相交于点 G 。

(1) BF =AC (2) CE = 1 2
BF
(3)CE 与 BC 的大小关系如何。

考点：等腰直角三角形（45 度的联想）
1. 如图 1，四边形 ABCD 是正方形，M 是 AB 延长线上一点。

直角三角尺的一条直角边
经过点 D ，且直角顶点 E 在 AB 边上滑动（点 E 不与点 A ，B 重合），另一条直角边与∠CBM
的平分线 BF 相交于点 F .
⑴ 如图 14―1，当点 E 在 AB 边的中点位置时：
① 通过测量 DE ，EF 的长度，猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是
； ② 连接点 E 与 AD 边的中点 N ，猜想 NE 与 BF 满足的数量关系是 ；
③ 请证明你的上述两猜想.
⑵ 如图 14―2，当点 E 在 AB 边上的任意位置
时，请你在 AD 边上找到一点 N, 使得 NE=BF ，进
而猜想此时 DE 与 EF 有怎样的数量关系并证明
2. 在 △Rt ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 是 AC 的中点，DG ⊥AC 交 AB 于点 G.
（1）如图 1，E 为线段 DC 上任意一点，点 F 在线段 DG 上，且 DE=DF ，连结 EF 与 CF ，过 点 F 作 FH ⊥FC ，交直线 AB 于点 H ．①求证：DG=DC ②判断 FH 与 FC 的数量关系并加
以证明．
（2）若 E 为线段 DC 的延长线上任意一点，点 F 在射线 DG 上，(1)中的其他条件不变，借
助图 2 画出图形。

在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否
图D
发生改变．（直接写出结论，不必证明）B
H
B
G
F
G
A D E C
A C E
图
同类变式：已知：△ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角三角尺
A
的一条直角边经过点A，且60º角的顶点E在BC上滑动，（点E不与点B、C重
合），斜边与∠ACM的平分线CF交于点F
F
（1）如图（1）当点E在BC边得中点位置时B E
图（2）
C M
○1猜想AE与EF满足的数量关系是.
○2连结点E与ＡＢ边得中点Ｎ，猜想ＢＥ和ＣＦ满足的数量关系A
是.
○3请证明你的上述猜想；N
F
（２）如图（２）当点Ｅ在ＢＣ边得任意位置时，ＡＥ和EF有怎样的数B
图（1）
C M 量关系，并说明你的理由？
附加思考题：以∆ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt∆ABD和等腰Rt∆ACE，
∠BAD=∠CAE=90︒.连接DE，M、N分别是BC、D E的中点．探究：AM与DE的
位置关系及数量关系．
⑴如图①当∆ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是；线段AM与DE的
数量关系是；
⑵将图①中的等腰Rt∆ABD绕点A沿逆时针方向旋转θ︒(0<θ<90)后，如图②所示，⑴问
中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．
D
N
D
N
E A E A
B M
图①C B M
图②
C
24、已知：如图，矩形ABCD中点G为BC延长线上一点，连接DG,BH⊥DG于H，且GH=DH，点E,F分别在AB,BC上，且EF//DG。

（1）若
AD=3,CG=2，求DG的长；
（2）若GF=AD+BE，求证：EF=1
2 DG。

12、（20XX年宁德市）（本题满分13分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角
形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
⑶当AM＋BM＋CM的最小值为3+1时，求正方形的边长.A D
N
E
M
B C 28．如图甲，已知∠ABC=90°，△ABD是边长为2的等边三角形，点E为射线BC上任意一点（点E与点B不重合），连结AE，在AE的上方作等边三角形AEF，连结FD并延长交射线BC于点G．
（1）如图乙，当BE=BA时，求证：△ABE≌△ADF；
（△2）如图甲，当AEF与△ABD不重叠时，求∠FGC的度数；
（3）若将已知条件中的“在AE的上方作等边三角形AEF，连结FD并延长交射线BC于点G．”改为“在AE的下方作等边三角形AEF，连结FD交射线BC于点G．”（如图丙所示），试问当点E在何处时BD∥△EF？并求此时AEF的周长．
F
A
A
D A
D
F
D
B G E C
B G
图甲E C B G E C
图乙F图丙。