--
➢ 一般，取a0=2，则a=2j，τ=2jkτ0，则采样间 隔为τ=2jτ0
➢ 当a=2j时，τ的采样间隔是 2jτ0 ，此时，
a, (t) 变为：
j
22
(2 jt k0 )即 , j,k(t)j, 0 ,1 ,2 , ； k Z
--
➢ 一般，将τ0归一化，即τ0=1，于是有：
j,k(t)22j(2jtk)
--
通过框架对原函数进行重建
➢ 在紧框架情况下， f(t)1 AkZf,kk(t)
➢ 如果 AB，我们定义算子S如下：
S(tf) f,kk(t)
➢ 求逆，得：k Z
f( t) S 1 [ f,k k ( t) ] f,k S 1k
k Z
k Z
~
➢ 这时，只有 S1k k ，重构公式才成立。
--
3.2.2 小波框架
➢ 1.小波框架的定义： ➢ 如果当基本小波函数ψ（t）经伸缩和位移
引出的函数族j,k(t)22 j(2jtk),j,kZ
➢ 具有如下性质：
A f2 | f, j,k |2 B f2 ,0 A B
jk
--
➢ 我们称 j,k(t)j,kZ都成了一个框架，上式为小
--
3. 通过框架对原函数进行重建
➢ 重~ 构k 定kZ理为：其令对偶f(框t) 架H ，,则kfk( tZ)是 通H 过的 下式一 重构个 ： 框
f(t) f, ~k k(t) f,k ~k(t)
k
k
➢ 如果A=B=1，这时 k 是一组正交基，所
以重建公式为：f(t) f,k k(t)
k Z
--
3.2 小波的框架理论
➢ 3.2.1 框架 ➢ 1 框架的定义
➢ 在希尔伯特空间H中有一族函数 kkZ，如
果存在0<A<B<∞，对所有的f∈H，有：
Af2 |f,k |2Bf2
k
➢ 称 k kZ 是H中的一个框架。
➢ 常数A、B的意义。
--
框架的定义
➢ 若A=B，则称为紧致框架，此时：
j,k(t)
➢ 当 AB 时，但二者比较接近时，作为一 阶逼近，可取 ~j,k(t)A 2Bj,k(t)
--
➢ 所以重建公式近似于：
f(t)A 2Bj,k Zf,j,kj,k(t)
➢ 同样，A和B越接近，误差就越小。
➢ 在紧框架情况下，
f(t)1 Aj
WxT (j,k)j,k(t)
k
--
➢
➢ 为了减小小波变换系数的冗余度，
我们将小波基函数
a,(t)
1 (t)
aa
的a、τ限定在一些离散的点上取值。
--
离散化方法
➢ （1）尺度的离散化。目前通行的做法 是对尺度进行幂数级离散化。即令a取 a a0j ,a0 0, j Z 对应的小波函数是：
j
a02[a0 j (t )], j 0,1,2
➢ 此时，对应的WTf为：
W f(T j,k)f(t) j,k(t)dt
--
离散化过程中的两个问题
➢ 一、离散小波能否完全表征函数f(t)的全部 信息。
➢ 二、是否任何函数f(t)都可以表示为以 j,k (t) 为单位的加权和。即
f(t) cj,k j,k(t) j,kZ
➢ 如果可以，系数 c j ,k 如何求？
第三章 离散小波变换
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3.1 尺度和位移的离散化方法
➢ 对于连续小波而言，尺度a、时间 t和与时间有关的偏移量τ都是连 续的。如果利用计算机计算，就 必须对它们进行离散化处理，得 到离散小波变换。
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本章主要内容
➢尺度和位移的离散化方法 ➢小波框架理论 ➢二进小波变换
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3.1 尺度和位移的离散化方法
| f,k |2Af 2
k
➢ 如果A=B=1，则 | f,k |2 f 2
k
➢ 此时， k kZ 是正交框架，若 k 2 1 ， 则 k kZ 是规范正交基。
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2.对偶框架的定义
➢ 对偶函数：
➢
k
的对偶函数
~
k
也构成一个框架，其框
架的上下界是 k上下界的倒数。即：
1f2
A
|f, ~k |2B 1f2,0AB
波框架条件。
➢ 其频域表示为： |(2j)|2,0
➢
j,k (t)
的对偶函数
j Z ~
j,k
22j~(2jtk)也构
成一个框架。
1f2
Aj
k|f,~j,k |2 B 1f2 ,0 A B
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2.小波框架的性质
➢ （1）满足框架条件的 j,k (t)，其基本小波 (t) 必定满足容许性条件。
➢
因此在尺度j下，由于 (a0 jt)
的宽度是
(t)
的a
j 0
倍，因此采样间隔可扩大a
j 0
，而不会引起
信息的丢失。a, (t) 可写成：
j
a 02
[a 0 j(t k0 ja 0) ]a 0 2 j
[a 0 jt k0)]
➢ 离散小波变换的定义为：
W f( a 0 j,k T 0 ) f( t )a 0 j, k 0 ( t ) d ,j t 0 , 1 , 2 , ， k Z
➢ 当 AB 的时候，如果A，B越接近，上式
的误差越小。
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4. 框架和Riesz基
➢ Riesz基的定义：
➢ 设有kkZ满足下列要求：
(1)A ck2 ckk B ck2
kZ
kZ
kZ
(2)当 ckk 0时， kZ
➢ 便意味着 ck 0 ，也就是要求kkZ 是一组
线性独立族。
➢ 则称 k kZ 为一组Riesz基。
(
j0
,
k0
)点的WT为：W f(T j0,k0)f(t)
(t)dt
j0,k0
➢ 将f(t)代入上式有：
W f(jT 0,k0)1 Aj
K (j0,k0 ;j,k)W f(jT ,k)d t
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离散化方法
（2）位移离散化。 ka0j0
➢ 通常对τ进行均匀离散取值，以覆盖整个时 间轴， τ满足Nyquist采样定理。在a=2j时， 沿τ轴的响应采样间隔是2j τ0，在a0=2情况 下，j增加1，则尺度a增加一倍，对应的频 率减小一半。此时采样率可降低一半而不 导致引起信息的丢失。
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➢ （2）离散小波变换具有非收缩时移共变性。
➢
（3）离散小波框架
j,k(t)
存在冗余性。
j,kZ
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3.离散小波变换的逆变换
➢ 如果离散小波序列 j,k j,kZ 构成一个框架，
上下界为A和B，根据上节讨论的函数框架
重建原理，当A=B时，离散小波的逆变换为：
f(t) f,
j,k
j,k ~j,k(t) 1 A j,kW f(j,T k )