第10章 静电场 第11章 静电场中的导体【教学内容】电荷，库仑定律；静电场，电场强度；静电场中的高斯定理；静电场的环路定理；电势；静电场中的导体；电容，电容器；静电场的能量。

【教学重点】1.库仑定律的矢量表达；点电荷的场强分布；电场强度叠加原理及其应用。

2.电场线的性质；非匀强电场中任意非闭合曲面及任意闭合曲面电通量的计算；真空中的高斯定理及其应用。

3.静电场的环路定理及其反映的静电场性质；点电荷电场的电势分布；电势的叠加原理及其应用。

4.静电平衡条件；处于静电平衡状态的导体上的电荷分布特点。

5.典型电容器的电容及其计算；电容器储存的静电能的计算。

【考核知识点】1.电场强度的概念，由电场强度叠加原理求带电体的电场强度分布。

（1）公式① 点电荷的电场强度分布： 204r Q E e r πε=u v u v② 由电场强度叠加原理求点电荷系的电场强度分布：204i i r ii Q Ee r πε=∑u vu u v③ 视为点电荷的d q 的电场强度分布： 20d d 4r q E e r πε=u vu v④ 由电场强度叠加原理求连续带电体的电场强度分布：20d =d 4rQq E E e r πε=⎰⎰u v u v u v⑤ 由电荷密度表示的d q ： 电荷体分布： d d q V ρ=电荷面分布： d d q S σ= 电荷线分布： d d ql λ=⑥ 均匀带电球面的电场强度分布：200(),()4r R E Q r R r πε<⎧⎪=⎨>⎪⎩方向：沿径向。

（2）相关例题和作业题【例10.2.1】 求电偶极子轴线和中垂线上任意一点处的电场强度。

【例10.2.2】 一无限长均匀带电直线，电荷线密度为λ（1m C -⋅）,求距该直线为a 处的电场强度。

如图10.2.5所示图 10.2.5 带电线的电场【例10.2.3】一均匀带电细半圆环，半径为R ，带电量为Q ，求环心O 处的电场强度。

如图10.2.6所示YdqR θ dE x θO X d E y E ϖd图 10.2.6 带电半圆环环心处的电场强度【10.1】四个点电荷到坐标原点的距离均为d ，如题10.1图所示，求点O 的电场强度的大小和方向 。

y+2q+2q O —q x—q题图10.1【10.4】正方形的边长为a，四个顶点都放有电荷，求如题10.4图所示的4种情况下，其中心处的电场强度。

+q+q +q +q+q —q+q—q00 00+q+q—q —q —q+q +q—q(a) (b) (c) (d)题图10.4【10.5】一半径为R的半圆细环上均匀地分布电荷+Q，求环心处的电场强度。

题图10.5【10.6】长为15.0cm的直导线AB，其上均匀分布着线密度λ=5.0⨯10—9C⋅m-1的正电荷，如题图10.6所示。

求（1）在导线的延长线上与导线B端相距为5cm的点P的场强。

【10.8】如题图10.8（a）所示，电荷线密度为1λ的无限长均匀带电直线，其旁垂直放置电荷线密度为2λ的有限长均匀带电直线AB，两者位于同一平面内，求AB所受的静电力。

（a）（b）题图 10.82. 电通量的计算。

（1）公式d cos dSe SSE S E θΦ=⋅=⎰⎰ur u v（2）相关例题和作业题【10.9】有一非均匀电场，其场强为i kx E E ϖϖ)(0+=，求通过如题图10.9所示的边长为0.53 m 的立方体的电场强度通量。

（式中k 为一常量）x z题图10.93.用真空中的高斯定理计算电荷分布具有对称性的连续带电体的电场强度分布。

（1）公式① 均匀带电球面/球体/球壳：选同心球面为高斯面S ，由高斯定理得220d d 4,4iiSS iiQE S E S E rQE r πεπε⋅====∑⎰⎰∑u r u v 蜒方向：沿径向。

② 无限长均匀带电直线/圆柱面/圆柱体/圆柱壳：选同轴圆柱面为高斯面S ，其中S 1、S 2为上下底面，S 3为侧面，h 为柱高，由高斯定理得1233300d d d d d 2,2SS S S iiS iiE S E S E S E SQE S ES E rh QE rhπεπε⋅=⋅+⋅+⋅=⋅====⎰⎰⎰⎰∑⎰∑u r u r u r u r u v u v u v u v ur u v Ñ方向：沿径向。

③ 无限大均匀带电平面的电场强度分布：平面两边分别为均匀电场，E u v的方向与带电平面垂直，大小为2E σε=，其中σ为均匀带电平面的电荷面密度。

（2）相关例题和作业题【例10.3.1】设有一半径为R 带电量为Q 的均匀球体。

求：球体内部和外部空间的电场强度分布。

R r O（a ） 【例10.3.2如图10.3.9rhE rh E SE S E S E S E S20 20 d d d d ππ=++⋅+⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰⎰＝上底侧下底ϖϖϖϖϖϖϖϖ该高斯面所包围的电荷量为h qiλ=∑内根据高斯定理有rh E S E S2d π=⋅⎰ϖϖ 0ελh=由此可得rE2πελ=即无限长均匀带电直线外某点处的电场强度，与该点距带电直线的垂直距离r成反比，与电荷线密度λ成正比。

【例10.3.3】设有一无限大的均匀带电平面，其电荷面密度为σ，求距该平面为r处某点的电场强度。

图10.3.10 无限大均匀带电平面的电场解：首先分析）（rEϖ分布特点，因为是无限大均匀带电平面。

故）（rEϖ方向必垂直于带电面，由电平面两侧附近的电场具有镜像对称性，）（rEϖ大小在两侧距带电面等距离各点处相等。

为此选取如图10.3.10所示的闭合圆柱面为高斯面。

由高斯定理∑⎰=⋅内SSqSE1dεϖϖ左方EaESESESSESESESES222ddddπ==+=⋅+⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰⎰＋右底侧左底ϖϖϖϖϖϖϖϖ该高斯面内所包围的电荷量为Sqiσ=∑内ESSES2d=⋅⎰ϖϖεσS=得2εσ=E可见，无限大均匀带电平面产生的电场为匀强电场，方向与带电平面垂直。

若平面带的电荷为正（σ> 0），则电场强度的方向垂直于平面向外；若平面带的电荷为负（σ < 0），则电场强度的方向垂直于平面向内,如图10.3.11所示。

σ> 0 σ+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -图 10.3.11 无限大均匀带电平面场强方向利用上面的结论和电场强度叠加原理，可求得两个带等量异号电荷的无限大平行平面的电场分布，如图10.3.12所示。

设两带电平面的面电荷密度分别为 +σ和-σ（σ>0），两带电平面的电场强度大小相等均为2εσ=E ，而它们的方向，在两平面之间的区域，方向是相同的；在两平面之外的区域，方向则是相反的。

所以，在两带电平面外侧的电场强度为零，在两平面之间的电场强度大小为0022εσεσεσ=+=E其方向由带正电平面指向带负电平面。

【10.10】设匀强电场的电场强度E ϖ与半径为R 的半球面的轴平行，求通过此半球面的电场强度通量。

题图 10.10【10.11】 两个带有等量异号的无限长同轴圆柱面，半径分别为R 1和R 2 （R 1 < R 2）,单位长度上的带电量为λ，求离轴线为r 处的电场强度：（1）r < R 1；(2) R 1 < r < R 2 ；(3)r > R 2 。

题图 10.11【10.12】如题图10.12所示，一半径为R 的均匀带电无限长直圆柱体，电荷体密度为+ρ，求带电圆柱体内、外的电场分布。

题图 10.12解：此圆柱体的电场分布具有轴对称性，距轴线‘OO 等距离各点的电场强度值相同，方向均垂直‘OO 轴，沿径向，因此，可用高斯定理求解。

1.圆柱体内的电场强度分布（R r <1）设点P 为圆柱体内任意一点，它到轴线的距离为1r ，在圆柱体内，以1r 为半径作一与圆柱体同轴，高为l 的闭合圆柱面为高斯面（如题图10.12）。

由于高斯面上、下底面的法线均与面上各点的电场强度方向垂直，故通过上、下底面的电场强度通量为零，侧面上任一点的法线方向，均与该处电场强度方向一致，故通过整个高斯面的电场强度通量为112lE r π，高斯面内包围的总电荷为ρπl r 21，由高斯定理21112ερππl r lE r = 得 ρε0112r E =2.圆柱体外的场强分布（R r >2）设'P 为圆柱体外任一点，类似上面的讨论，以2r 为半径作高斯面（如题图10.12），由高斯定理有2222ερππl R l r E =由此得ρπε20222r R E =【10.13】两个均匀带电的金属同心球面，半径分别为0.10 m 和0.30 m ,小球面带电1.0⨯10—8C,大球面带电1.5⨯10—8C 。

求离球心为（1）0.05 m ；（2）0.20 m ；（3）0.50 m 处的电场强度。

【10.14】如题图10.14所示，一个内、外半径分别为R 1和R 2的均匀带电球壳，总电荷为Q 1 ，球壳外同心罩一个半径为3R 的均匀带电球面，球面带电荷为Q 2 。

求（1）r < R 1（2）R 1 < r < R 2（3）R 2 < r < R 3 (4)r > 3R 的电场强度。

题图 10.14【10.16】两平行无限大均匀带电平面上的面电荷密度分别为+σ和-2σ，求图示中3个区域的场强。

+σ —2σI ∏ Ξ题图10.164.电势的概念，用电势的定义及电势叠加原理求带电体的电势分布。

（1）公式① 点电荷的电势分布： 0(0)4PQ U U rπε∞==② 由电势叠加原理求点电荷系的电势分布：0(0)4i Pii Q U U r πε∞==∑③ 视为点电荷的d q 的电势分布： 0d d (0)4q U U rπε∞==④ 由电势叠加原理求连续带电体的电势分布：0d =d (0)4P Qq U U U rπε∞==⎰⎰⑤ 由电势的定义求连续带电体的电势分布：00d 0P P P PU E lU P P E =⋅=→⎰r u v u r，其中需已知或易求积分路径上的分布。

⑥ 均匀带电球面的电势分布：0()4()4Qr R R U Q r R rπεπε⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩（2）相关例题和作业题【例10.5.1】求均匀带电球面激发静电场的电势分布。

已知球面半径为R ，所带电量为Q ，如图10.5.3所示。

图 10.5.3 均匀带电球面解：选无限远处0=∞U ，由U的定义式⎰∞⋅=PPl E U ϖϖd上述结果表明，均匀带电球面内各点的电势相等，都等于球面上的电势；球面外任意一点的电势与电荷全部集中在球心时的电势一样。

电势分布的U-r 曲线如图10.5.4所示。