当然，分离点也可以是复数，两个相邻的开环 复极点（或零点）之间可能有分离点，对实际系统， 依据规则1到4一般就能确定有无分离点。
分离点的概念：若干根轨迹在复平面上的某一点相遇后 又分开，称该点为分离点；分离角定义为根轨迹进入分 离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角。
分离点的坐标d是如下方程的解，分离角为 (2k 1) / l
点数m时,有 n条根m轨迹分支沿着与实轴交角为 交点为a
的一组渐 a近线趋向无穷远处，且有
a
(2k 1)
nm
(k 0,1,2, , n m 1)
n
m
pi z j
和
a
i 1
j 1
nm
证明：渐近线就是s值很大时的根轨迹，因此渐近线也一 定对称于实轴。将开环传递函数写成多项式比值形式，得
m
G(s)H (s)
m 1
n1
j1 d Z j i1 d Pi
（4-20）
必须说明的是，方程只是必要条件而非充分条件，也就是
说它的解不一定是分离点，是否是分离点还要看其它规则。
实轴上分离点的位置可用重根法和极值法求得。
1）重根法
j 1 3
j) (1)
1.67
各渐近线与实轴的交角分别为
a
(2k 1)
nm
60
a
(2k 1)
nm
180
(k 0)
(k 1)
a
(2k 1)
nm
300
(k 2)
以上交角可用量角器s平面上绘出，或者用a atga
算出各渐近线与虚轴的交点来决定。
法则4 根轨迹在实轴上的分布 实轴上具有根轨迹的区间 是：其右方开环系统的零点数和极点数的总和为奇数。共 轭复数的开环零点、极点对确定实轴上的根轨迹无影响。
K
(s
j 1
z
j
)
n
(s
i1
pi )
K
sm b1sm1 sn a1sn1
bm1s bm an1s an
m
n
式中 b1 z j ， a1 pi
j 1
i 1
当 s 时，上式可近似为
G(s)H(s)
K
s nm (a1 b1 )s nm1
令
G(s)H(s) 1
得渐近线方程
G(s)
K (s 1)
s(s 4)(s2 2s 2)
试根据已介绍的基本法则，确定绘制根轨迹的有关数据。
解：将开环零点、极点标注在s平面的直角坐标系上，以“×”表示 开环极点，以“○”表示开环零点。在根轨迹绘制过程中，由于需 要对相角和模值进行图解测量，所以横坐标与纵坐标必须采用相同 的比例尺。
在无穷远处。的确，当 s 时，
n
K
lim i1
s
pi
lim s nm
s
m
j 1
s
z
j
s
具有有限值的零点为有限零点，处于无穷远处的零点叫无限零点,则 根轨迹必终于开环零点。这时，开环零点数和开环极点数相等。
法则2 根轨迹的连续性与对称性：根轨迹是连续且对称于 实轴的曲线。
法则3 根轨迹的渐近线：当开环有限极点数 大n 于有限零
区间[-20，-5]右方的开环零点数和极点数总和为5，区间[1，-0.5]右方的开环零点数和极点数总和为3。故实轴上根 轨迹在上述区间内。
法则5 根轨迹的分离点和分离角
当K*从零变到无穷大时，根轨迹可能出现先会 合后分离，这样的点称分离点。分离点对应闭环重 极点，也就是闭环特征式的重根。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间 一定有分离点，因为任何一条根轨迹不可能开始于 一个开环极点终止于另一个开环极点。同理，位于 实轴上的两个相邻的开环零点之间也一定有分离点。
a1
b1
)
1 nm
s[1
a1 b1
1
] (K )nm
s
(n m)s
→
s
a1 b1
K e 1 nm
(2k 1) j
nm
(n m)
(K ,s ,k 0,1, ,n m 1)
n
m
→
pi z j
a
i 1
j 1
nm
，
a
(2k 1)
nm
举例说明
例1 设控制系统如图4-5所示，其开环传递函数为
s pi
(i 1,2, , n)
说明K*=0时，闭环特征方程式的根就是开环传递函数的极 点，所以根轨迹必起于开环极点。
将特征方程改写成如下形式
1 K
n
(s
i1
pi )
m
(s
j 1
zj)
0
当 K 时，可得
s zj
( j 1,2, , m)
所以根轨迹必终于开环零点。
实际系统中，m n ，因此有 n m 条根轨迹的终点将
4-2 根轨迹绘制的基本法则
一、绘制根轨迹的基本法则
法则1 根轨迹的起点和终点：根轨迹起于开环极点，终于
开环零点。
证明:根轨迹起点是指根轨迹增益K*=0的根轨迹,而终点则
是指 K 的根轨迹。设系统闭环传递函数为（4-6），
则闭环系统的特征方程式为
n
m
(s
i 1
pi
)
K
(s
j 1
z
j
)
0
式中 K 可以从零变到无穷。当K*=0时，有
(s1 p3 ) 180
180º的奇数满足根轨迹方程的相角条件。故实轴上的点若在根轨迹 上，其右方实轴上的开环零点和极点综合必为奇数。
举例说明
例2
设系统开环传递函数为
G(s)
s
2
(s
K (s 0.5) 1)(s 5)(s
20)
试求实轴上的根轨迹。
解 系统的开环零点为 0.5 ，开环极点为-1，-5，-20以 及原点（两重根）。如图所示。
证明：如下图所示，成对出现的开环共轭复数零点或极点 对实轴上任一试探点s1构成的两向量的相角之和在任何情 况下都等于0或360º，即
(s1 p1) (s1 p2 ) 0,360
s1左方实轴上任一开环零点或极点对该点构成的向量的相角为0º
(s1 z1) 0
s1右方实轴上任一开环零点或极点对该点构成的向量的相角为180º
由法则1，根轨迹起于G(s)的极点 p1 0, p2 4 ，p3 1 j
和 p4 1 j ， 终于 G(s) 的有限零点 z1 1 以及无穷远处。
由法则2，根轨迹的分支数有4条，它们是连续的且对称于实轴。
由法则3，有 n m 3 条根轨迹渐近线，它们的交点为
4
a
i1
pi 3
z1
(0 4 1
snm (1 a1 b1 ) K s
→
s(1
a1
b1
)
1 nm
1
(K )nm
s
根据二项式
a1 b1
1
1
(
1
1)(a1 b1 )2
s
(n m)s 2! n m n m
s
当 s 时，近似有
(1 a1
b1
)
1 nm
1
a1 b1
s
(n m)s
→
s(1