按上述思路，可以建立起三个线形函数之 间的卷积关系：
h( x) g ( y) f ( x y)dy


实测线形h(x)通过实际测量获得； 仪器宽化线形g(x)通过无物理宽化的标 样来测得； 通过函数分离确定出未知的物理宽化线 形f(x)。
三个线形的积分宽度之间的关系：
三个积分宽度的 卷积关系：
B b

g ( x) f ( x)dx
实测线形函数h(x) —————B 仪器宽化线形函数 ———b g(x) ———β 物理宽化线形函数f(x)

细晶宽化与显微畸变宽化的卷积关系
物理宽化线形函数f(x) 晶粒细化线形函数M(x) 显微畸变线形函数N(x)
d n 4 tan d 观察物理宽化β 随θ 角的变化规律：
2 tg 2 1 tg1
2 cos1 1 cos 2
K m D cos

主要是由晶格畸变引起的宽化 主要是由晶粒细化引起的宽化
若介于两者之间，是两种因素引起的宽化
晶粒细化宽化和显微畸变宽化的分离
两边同乘 cos2
2
2 K d 2 sin 2 2 ( ) 2 ( ) (4 ) D d
cos
作图(
cos
2 d K ) 2 ~ (4 ) 2，斜率为( ) 2，截距 2 d D
sin
1 1 1 x
2
, N ( x)
1 1 2 x
2
,
则： m n
K d m , n 4 tan D cos d K d 4 tan D cos d cos 两边同乘 cos K d sin 4 D d
将选用的近似函数代入式中，得到B,b,β三者 的数值关系式。

B
b

g ( x) f ( x)dx
B—实测宽度 b----仪器宽度 β----物理宽度
例： 假设f ( x) 代入B

1 1 1 x
2
g ( x)
1 1 2 x2
b


g ( x) f ( x)dx
1 x 2
测2条以上的衍射线，得到每条衍射线的物理宽度β 和衍射角θ， cos sin d K 作图 ~4 ，斜率为 ，截距 d D
某材料球磨前(a)后(b)的X射线衍射谱
HKL 2θ() B()
101 30.46 1.014 110 35.82 1.081 200 41.60 1.081 301 69.02 1.689 220 75.90 1.858
2 x e
1 1 x 1 2 2 (1 x )
2
将选用的近似函数代入下式，得到β, m, n三者 的数值关系式。 m—细晶宽化 mn n----显微畸变宽化 M ( x) N ( x)dx β-----物理宽化 常用搭配方案见185页表11-2
例1：柯西分布法
若 M ( x)
0.015
B Linear Fit of Data1_B Y = 0.0059 + 0.00545 * X
0.014
遚 os? /?
cos
0.013
0.012
0.011
0.010
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
4
4sin? /? sin

d 斜率 0.00545 d K 截距 0.0059 D
三个积分宽度的卷积关系
mn

M ( x) N ( x)dx
11.2 谱线宽化效应分离
实测衍射谱线 物理宽化 仪器宽化 显微畸变宽化
细晶宽化

从样品实测线形的宽度B中扣除仪器宽度b，求 得物理宽化β； 如样品中晶粒细化和显微畸变两种物理宽化因 素同时存在，需从物理宽化β中再分离出晶块细 化宽度m和晶格畸变宽度n； 求出晶粒尺寸和显微畸变量。
1. 物理宽化的测定
傅里叶变换法

用实测线形函数h(x)和 仪器宽化线形函数g(x) h( x) g ( y) f ( x y)dy 的数据，通过傅里叶变 换及去卷积过程求出物 理宽化线形函数f(x)； 求出物理宽化β： B—实测宽度 b
B

b----仪器宽度 g ( x) f ( x)dx β----物理宽度
4. 几种线形之间的关系
实测衍射谱线
物理宽化 细晶宽化 显微畸变宽化
仪器宽化
这些宽化效应之间，并非是简单的乘积或求 和关系，而是遵循一定的卷积关系。
三个线形之间的卷积关系
将仪器宽化曲线下的 面积分成若干无穷窄 的长条面积元，各面 积元按物理宽化线形 函数展宽且面积不变， 将这些展宽线形函数 进行叠加，即得到实 测线形。 实测线形函数h(x) 物理宽化线形函数f(x) 仪器宽化线形函数g(x)
三个线形函数之间的卷积关系：
f ( x) M ( y) N ( x y)dy


物理宽化线形函数f(x)从前面提到的仪器宽化与 物理宽化的卷积关系式中分离得到； 晶粒细化线形函数M(x)和显微畸变线形函数N(x) 均未知。
β-----物理宽化线形函数f(x)的积分宽度 m—晶粒细化线形函数M(x)的积分宽度 n----显微畸变线形函数N(x)的积分宽度
，可得 : B b
假设 f ( x) e 代入B
g (
g ( x) f ( x)dx
，得： B 2 b 2
常用搭配方案见178页表11-1
2. 细晶宽化和显微畸变宽化的测定

一般情况，晶粒细化和显微畸变两种因素同时对宽化 起作用，但也有只由一种因素起主导作用的时候。在 获得物理宽化β 后，可先粗略估计一下情况。

计算量大而繁琐，借助计算机技术。
近似函数法
B
b

g ( x) f ( x)dx

选择适当的已知函数形式去代表仪器宽化线 形函数g(x)和物理宽化线形函数f(x)。
1 y 1 x 2
2 x ye

常用的函数有： 高斯函数:
柯西函数: 柯西平方函数:
2 x e
1 1 x 2 1 (1 x 2 ) 2
d 显微畸变 0.00545 d
晶粒尺寸D 17nm
例2：高斯分布法
若M ( x) e
-1 x 2
, N ( x) e
- 2 x 2
,
则， m 2 n 2
K d m , n 4 tan D cos d
K 2 d 2 ( ) (4 tan ) D cos d
m — 细晶宽化 mn n----显微畸变宽化 M ( x) N ( x)dx β-----物理宽化 M(x)----晶粒细化线形函数 N(x)----显微畸变线形函数

近似函数法 选择适当的已知函数形式去代表晶粒细化线 形函数M(x)和显微畸变线形函数N(x)。常用 的函数有：
高斯函数: 柯西函数: 柯西平方函数:
b() β(rad)
βcosθ/λ (Å-1)
4sinθ/λ (Å-1) 0.682
×10 9.98×10-3 0.10 15.95 -3
16.95 × 10 10.46 × 10 0.11 -3 0.798 3 16.77 × 10 10.17 × 10 0.12 -3 0.921 3 25.99 × 10 13.89 × 10 0.20 -3 1.470 3 28.94 × 10 14.80 × 10 0.20 -3 1.600 3