第4章因式分解4．2提取公因式法知识点1多项式的公因式一般地、一个多项式中每一项都含有的相同的因式、叫做这个多项式各项的公因式．1．多项式－6m3n－3m2n2＋12m2n3的公因式为( )A．3mn B．－3m2nC．3mn2D．－3m2n2知识点2提取公因式法分解因式如果一个多项式的各项含有公因式、那么可把该公因式提取出来进行因式分解．这种分解因式的方法、叫做提取公因式法．[注意] 当多项式的某项恰为公因式时、提公因式后、另一个因式中不要漏掉“＋1”或“－1”．2．把下列各式分解因式：(1)x2－5x；(2)2x2y2－4y3z；(3)－5a2＋25a；(4)14x2y－21xy2＋7xy.知识点3添括号法则括号前面是“＋”号、括到括号里的各项都不变号；括号前面是“－”号、括到括号里的各项都变号．3．添括号：1－2a＝＋(________)；－a2＋2ab－b2＝－(____________)．一用提取公因式法处理较复杂的因式分解题教材例2变式题分解因式：(1)x2(y－2)－x(2－y)；(2)2(a－3)2－a＋3.[归纳总结] 提取公因式法分解因式的关键是确定多项式中各项的公因式、尤其需要注意的是公因式可以是数、也可以是单项式和多项式．二提取公因式法的简单应用教材补充题523－521能被120整除吗？[反思] 分解因式：－6ab2＋9a2b－3b.解：－6ab2＋9a2b－3b＝－(6ab2－9a2b＋3b)①＝－(3b·2ab－3b·3a2＋3b)②＝－3b(2ab－3a2)．③(1)找错：从第________步开始出现错误；(2)纠错：一、选择题1．2015·武汉把a 2－2a 分解因式、正确的是( ) A ．a(a －2) B ．a(a ＋2) C ．a(a 2－2) D ．a(2－a)2．在把多项式5xy 2－25x 2y 提取公因式时、被提取的公因式为( ) A ．5 B ．5x C ．5xy D ．25xy3．下列多项式中、能用提取公因式法进行因式分解的是( ) A ．x 2－y B ．x 2＋2xC ．x 2＋y 2D ．x 2－xy ＋y 24．下列各式用提公因式因式分解正确的是( ) A ．a 2b ＋7ab －b ＝b(a 2＋7a)B ．3x 2y －3xy ＋6y ＝3y(x 2－x ＋2)C ．4x 4－2x 3y ＝x 3(4x －2y)D ．－2a 2＋4ab －6ac ＝－2a(a －2b －3c)5．若m －n ＝－1、则(m －n)2－2m ＋2n 的值是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．－16.()－82018＋(－8)2017能被下列数整除的是( )A ．3B ．5C ．7D ．9二、填空题7．2016·丽水分解因式：am －3a ＝____________． 8．在括号前面添上“＋”或“－”号或在括号内填空． (1)－a ＋b ＝________(a －b)；(2)－m 2－2m ＋5＝－(______________)；(3)(x －y)3＝________(y －x)3.9．因式分解：m(x －y)＋n(x －y)＝________．10．已知x ＋y ＝6、xy ＝－3、则x 2y ＋xy 2＝________．11．计算22016＋(－2)2017的结果为________．12．已知(2x －21)(3x －7)－(3x －7)(x －13)可分解因式为(3x ＋a)(x ＋b)、其中a 、b 均为整数、则a ＋3b ＝____________．三、解答题13．用提取公因式法将下列各式分解因式：(1)6xyz －3xz 2；(2)x 4y －x 3z ；(3)x(m－x)(m－y)－m(x－m)(y－m)．14.边长分别为a、b的长方形、它的周长为14、面积为10、求a2b＋ab2的值．15.已知2x＋y＝6、x－3y＝1、求7y(x－3y)2－2(3y－x)3的值．16．试说明：对于任意自然数n、2n＋4－2n都能被5整除．17．如图4－2－1、长方形的长为a、宽为b、试说明：长方形中带有阴影的三角形的面积之和等于该长方形面积的一半．图4－2－118．三角形ABC的三边长分别为a、b、c、且a＋2ab＝c＋2bc、请判断三角形ABC的形状、并说明理由．阅读下列因式分解的过程、解答下列问题：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＝(1＋x)2(1＋x)＝(1＋x)3.(1)上述分解因式的方法是________、共应用了________次．(2)若分解1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2017、则需要应用上述方法________次、结果是________．(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n(n为正整数)．详解详析【预习效果检测】1．[解析] B 因为首项系数为负、各项系数的最大公约数是3、字母m的最低次幂是2、字母n的最低次幂是1、所以公因式是－3m2n.2．[解析] 在用提取公因式法分解因式时、关键是确定公因式、然后用多项式除以这个公因式、所得的商即为另一个因式．解：(1)x2－5x＝x(x－5)．(2)2x2y2－4y3z＝2y2(x2－2yz)．(3)－5a2＋25a＝－5a(a－5)．(4)14x2y－21xy2＋7xy＝7xy(2x－3y＋1)．3．1－2a a2－2ab＋b2【重难互动探究】例1[解析] (1)显然只需将2－y变形后、即可提取公因式x(y－2)．(2)首先把2(a －3)2－a＋3变为2(a－3)2－(a－3)、再将a－3看成整体提取公因式即可．解：(1)原式＝x2(y－2)＋x(y－2)＝x(y－2)(x＋1)．(2)原式＝2(a－3)2－(a－3)＝(a－3)(2a－7)．例2解：∵原式＝520×(53－5)＝520×120、∴523－521能被120整除．【课堂总结反思】[反思] (1)③(2)－6ab2＋9a2b－3b＝－(6ab2－9a2b＋3b)＝－(3b·2ab－3b·3a2＋3b)＝－3b(2ab－3a2＋1)．【作业高效训练】 [课堂达标] 1．A 2.C 3.B4．[解析] B A 选项括号内的多项式的项数漏掉了一项．C 选项括号内的多项式中仍有公因式．D 选项提取负号后括号里有一项没有改变符号．5．A6．[解析] C 原式＝82018－82017＝82017×(8－1)＝82017×7.故能被7整除． 7．[答案] a(m －3)8．[答案] (1)－ (2)m 2＋2m －5 (3)－ 9．[答案] (x －y)(m ＋n) 10．[答案] －1811．[答案] －22016[解析] 22016＋(－2)2017＝22016－2×22016＝22016×(1－2)＝－22016. 12．[答案] －3113．[解析] (1)(2)题直接提取公因式分解因式即可、(3)题要进行适当地变形后再运用提取公因式法分解因式．解：(1)6xyz －3xz 2＝3xz(2y －z)．(2)x 4y －x 3z ＝x 3(xy －z)．(3)x(m －x)(m －y)－m(x －m)(y －m) ＝x(m －x)(m －y)－m(m －x)(m －y)＝(m －x)(m －y)(x －m)＝－(m －x)2(m －y)．14．[解析] 先可得ab 和a ＋b 的值、然后将a 2b ＋ab 2分解因式即可得到答案． 解：由题意得ab ＝10、a ＋b ＝7、所以a 2b ＋ab 2＝ab(a ＋b)＝10×7＝70.15．[解析] 先提取公因式分解因式、然后代入求值．解：原式＝7y(x －3y)2＋2(x －3y)3＝(x －3y)2[7y ＋2(x －3y)]＝(x －3y)2(2x ＋y)＝12×6 ＝6.16．解：∵2n ＋4－2n ＝2n (24－1)＝2n ×15＝2n×3×5、∴2n ＋4－2n一定能被5整除．17．解：S 阴影＝12a 1b ＋12a 2b ＋12a 3b ＋12a 4b＝12b(a 1＋a 2＋a 3＋a 4) ＝12ab ＝12S 长方形． 即长方形中带有阴影的三角形的面积之和等于该长方形面积的一半． 18．解：三角形ABC 是等腰三角形．理由：∵a＋2ab ＝c ＋2bc 、 ∴(a －c)＋2b(a －c)＝0、∴(a －c)(1＋2b)＝0. 故a ＝c 或1＋2b ＝0、显然b≠－12、故a ＝c.∴三角形ABC 为等腰三角形．[数学活动]解：(1)上述分解因式的方法是提公因式法、共应用了2次．(2)需应用上述方法2017次、结果是(1＋x)2018.(3)原式＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－1] ＝(1＋x)2[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－2]＝(1＋x)3[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－3]＝…＝(1＋x)n(1＋x)＝(1＋x)n＋1.。