B' αxy
A'
⎜⎛u + ∂u dx⎟⎞−u
εx = ⎝
∂x ⎠ dx
= ∂u ∂x
ε
y
=
⎜⎜⎝⎛
v
+
∂v dy ∂y
dy
⎟⎟⎠⎞
−
v
=
∂v ∂y
v O
O' u
αyx A u + ∂u dx
∂x
v + ∂v dx ∂x
α yx
=
(v
+
∂v dx) ∂x
dx
−
v
=
∂v ∂x
(u + ∂u dy) − u
=
∂w ∂z
γ
xy
=
γ
yx
=
∂u ∂y
+
∂v ∂x
γ
yz
=
γ
zy
=
∂v ∂z
+
∂w ∂y
γ xz
=
γ zx
=
∂u ∂z
+
∂w ∂x
几何方程张量表示
εij
=
1 2 (ui, j
+ u j,i )
⎡ε ⎢
x
ε xy
ε
xz
⎤ ⎥
εij = ⎢ε yx ε y
ε yz ⎥
⎢⎢⎣ε zx
ε zy
ε z ⎥⎥⎦
(ε 3
−
ε1)2 ]
J
′
3
=
e1e2e3
应变张量与应力张量具有一样的坐标转换公式。
八面体正应变：
ε8
=
1 3
(ε
x
+εy
+εz)
=
εm
八面体剪应变：
γ8
=
2 3
(ε1 − ε2 )2 + (ε 2 − ε3 )2 (ε3 − ε1)2 =
8 9
J 2′
等效应变：
单轴拉伸时，若假定材料是不可压缩的，即体积应变为零，则
⎢ ⎣
∂y
dy，
⎜⎜⎝⎛1
+
∂v ∂y
⎟⎟⎠⎞dy，
∂w ∂y
⎤ dy⎥
⎦
B' y
M'
C'
=
⎡ ∂u
⎢ ⎣
∂z
dz，
∂v ∂z
dz，
⎜⎛1 ⎝
+
∂w ∂z
⎟⎠⎞dz⎥⎦⎤
2
变形前的体积是
V0=dxdydz
变形后的体积是
⎜⎛1 + ⎝
∂u ∂x
⎟⎞dx ⎠
∂v dx ∂x
∂w dx ∂x
V = M ′A′ × M ′B′ • M ′C ′ = ∂u dy ∂y
解：带入相容方程 ∂ 2ε x + ∂ 2ε y = ∂ 2 γ xy ∂y 2 ∂x 2 ∂x∂y
得 C1 = 4, A1 + B1 = 2C2
其余方程自然满足。
要求掌握： 1. 位移、应变概念及符号规定 2. 几何方程 3. 变形协调方程及其物理意义 4. 主应变、平均应变 5. 球应变张量、偏应变张量、偏应变张量不变量 6. 八面体正应变、八面体剪应变 7. 体积应变、等效应变、主应变、一点的应变状态 8. 已知应变求位移；已知位移求应变
εz
=
O ′C ′- OC OC
γ
xy
=
γ
yx
=
π 2
− ∠B ′O ′A′
γ
yz
=
γ
zy
=
π 2
− ∠C ′O ′B ′
γ
xz
=
γ
zx
=
π 2
−
∠A ′O
′C
′
与一点的应力状态相似，可以证明：应变张量决定了一点的应变状态
1
p 应变与位移的关系（几何方程）
考虑小变形假定
y
u + ∂u dy
∂y
v + ∂v dy ∂y B
Ch3-3 应变张量的分解及其不变量
主应变（应变主值）：
存在三个互相垂直的方向，这些方向上只有正应变，没有切应变。
这三个方向称为应变主方向（应变主轴），应变值称为主应变（应变主值）
应变张量分解： 定义平均应变
εm
=
1 3
(ε x
+εy
+εz)
则 εij = ε mδij + eij
⎡ε ⎢
x
5
εy
=
∂v ∂y
εz
=
∂w ∂z
εHale Waihona Puke xy=ε yx=
1⎛
2
⎜ ⎝
∂u ∂y
+
∂v ∂x
⎞ ⎟ ⎠
ε yz
=
ε zy
=
1 2
⎛ ⎜ ⎝
∂v ∂z
+
∂w ⎞
∂y
⎟ ⎠
ε xz
= ε zx
=
1⎛ 2 ⎜⎝
∂u ∂z
+
∂w ⎞ ∂x ⎟⎠
问题：应变分量满足什么条件时，由几何方程积分得到的位移分量是单值 连续的？
x
A点两正交线元间的直角改变量 ⇒ （工程）剪应变
γ = 900 − α
符号规定：正应变 — 线元伸长为正
剪应变 — 直角变小为正
x
z
B
l
B'
l'
A A'
y
z
B
l
l'
B'
0
A 90
A' α
y
C
C'
取与坐标轴相平行的三个方向
z
C' C
x A
O' A'
O
B
B' y
εx
=
O′A′-OA OA
ε
y
=
O′B′-OB OB
w(x、y、z) = rz− Rz
符号规定：与坐标轴同向为正
y x
位移场：物体内各点位移矢量的集合
刚体位移：各点间相对位置在物体发生位移后依然不变。 刚体位移不会使物体产生变形
o 应变：
{ 物体变形 体积改变 形状畸变
长度变化，方向改变
A点线元变形前后长度的相对变化 ⇒ （工程）正应变
ε = l′ − l l
一点的应变状态
例：对平面问题，应变片可测出一点的应变状态。如图所示布置应变片， 测得各应 变片的相对伸长值为：
ε30D =0.003，ε90D = − 0.003，ε150D = − 0.006
1.求应变分量 ε x , ε y , γ xy
2. 求该点的主应变及其方向。
60D 30D
60D 30D
∂ ∂y
⎜⎜⎝⎛
∂γ xy ∂z
+
∂γ yz ∂x
−
∂γ xz ∂y
⎟⎟⎠⎞
= 2 ∂2εy ∂x∂z
∂ ∂z
⎜⎜⎝⎛
∂γ yz ∂x
+
∂γ zx ∂y
−
∂γ xy ∂z
⎟⎟⎠⎞
= 2 ∂2εz ∂x∂y
∂ ∂x
⎛ ⎜ ⎝
∂γ zx ∂y
+
∂γ xy ∂z
−
∂γ yz ∂x
⎞ ⎟
=
⎠
2 ∂2εx ∂z∂y
⎜⎜⎝⎛1 +
∂v ∂y
⎟⎟⎠⎞dy
∂w dy ∂y
∂u dz ∂z
∂v dz ∂z
⎜⎛1 + ∂w ⎟⎞dz ⎝ ∂z ⎠
V
=
⎜⎜⎝⎛1 +
∂u ∂x
+
∂v ∂y
+
∂w ∂z
⎟⎟⎠⎞dxdydz
=
(1+εx+εy+εz)dxdydz
体积应变
θ = V −V0 V0
θ =εx +εy +εz
剪切变形不改变物体的体积。 对于不可压缩材料 θ = 0
ε1
=
ε，ε2
=
ε3
=
−ε/2，得： J 2′
=
3ε2 4
类似于等效应力，等效应变被定义为
ε=
4 3
J 2′
=
2 3
eij
eij
=
2 9
⎡⎣(ε1
−
ε
2
)2
+
(ε
2
−
ε3
)2
+
(ε 3
−
ε1)2
⎤⎦
可以证明：对于各向同性弹性体，应力主轴与应变主轴重合。
Ch3-4 变形协调方程
几何方程：
εx
=
∂u ∂x
3
偏应变张量不变量：
记应变偏量主值：
e1 = ε1 − ε m e2 = ε 2 − ε m e3 = ε3 − ε m
应变偏量不变量：
J1′ = e1 + e2 + e3 = 0
J
′
2
=
1 2
eij eij
=
1 2
(e12
+
e22
+
e32 )
=
1 6
[(ε1
−
ε2
)2
+
(ε 2
−
ε 3 )2
+
依据：单值连续的位移场，位移分量对坐标的偏导数与求导顺序无关。
对单连通域，位移单值连续的充分必要条件