` 鲁棒控制设计报告学院专业报告人目录1 绪论 (3)1.1控制系统设计背景 (3)1.2本文主要工作分配 (4)2 一级倒立摆模型建立 (5)2.1一级倒立摆的工作原理 (5)2.2一级倒立摆的数学模型 (5)3 H∞鲁棒控制器设计 (8)3.1基于Riccati方程的H∞控制 (9)3.2基于LMI的H∞控制 (9)4 一级倒立摆系统的仿真 (11)4.1一级倒立摆控制系统设计 (11)4.2闭环控制系统仿真及分析 (12)5 结论 (15)1 绪论1.1控制系统设计背景一级倒立摆系统是一个典型非线性多变量不稳定系统，在研究火箭箭身的姿态稳定控制、机器人多自由度运动稳定设计、直升机飞行控制等多种领域中得到了广泛的应用，因此以倒立摆作为被控对象进行控制方法的研究具有重要的现实意义。
为解决一级倒立摆系统的非线性、强耦合、多变量、自然不稳定问题，本文利用H∞鲁棒控制实现对一级倒立摆的控制。
Mg图1.1 一级倒立摆系统结构图本文采用的直线一级倒立摆的基本系统如图1.1所示，它是由沿直线导轨运动的小车以及一端固定于小车上的材质均匀的摆杆组成，它是一个不稳定的系统，当倒立摆出出现偏角θ后，如果不给小车施加控制力，倒立摆会倾倒。
所以本文采用H∞鲁棒控制方法的目的是通过调节水平力F的大小控制小车的运动，使倒立摆处于竖立的垂直位置。
控制指标为：倒立摆系统的从初始状态调节到小车停留在零点、并使摆杆的摆角为0的稳定状态。
1.2本文主要工作分配第一章：对一级倒立摆系统的特点、结构以及控制要求进行阐述。
第二章：根据一级倒立摆的结构，利用机理建模法建立被控对象的精确数学模型，并在系统平衡点处进行线性化，得到系统简化的状态方程。
第三章：首先H∞鲁棒控制的基本原理，然后分别利用Riccati方程和LMI 方法设计H∞状态反馈控制器。
第四章：首先使用MATLAB计算基于Riccati方程的H∞状态反馈控制器和基于LMI的H∞状态反馈控制器，然后进行闭环控制系统的仿真并控制系统的性能分析。
第五章：对本次设计进行总结。
2 一级倒立摆模型建立2.1一级倒立摆的工作原理如图1.1所示，倒立摆装置主要由摆杆、小车以及导轨组成。
导轨的一端装有用来测量小车位移的电位计，摆杆与小车的连接处安装测量摆角的装置，小车可以沿着有界轨道直线移动，同时摆杆可以在垂直平面自由运动。
直流电动机通过传送带拖动小车运动，从而使倒立摆稳定在竖立的垂直位置。
为简化系统分析，在实际模型建立过程中，忽略空气流动的阻力以及各种摩擦力，这样可以将倒立摆抽象为由小车和均匀材质的刚性摆杆组成的系统。
小车质量为M ，摆杆质量为m ，小车位置x ，作用在小车上力大小为F ，摆杆的长度为2L l =，均匀材质的摆杆质心是摆杆的中心。
2.2一级倒立摆的数学模型被控对象的数学模型是过程中的输入量和输出量之间的函数关系，常用的有机理建模法和实验建模两种方法。
本文采用的是机理建模的方法，根据过程的在机理，利用相关的平衡方程，获得所需要的数学模型。
对摆杆进行受力分析，转动惯量与加速度的乘积等于刚体主动力对该轴力矩的代数和，则摆杆绕其重心的转动方程为：sin cos y x J F l F l θθθ=- (2.1)摆杆在水平方向上受到的合力为：22(sin )x d F m x l dtθ=+ (2.2) 摆杆在垂直方向上受到的合力为：22(sin )y d F mg m x l dtθ-=+ (2.3) 小车在水平方向上受到合力：22y d x F F M dt-= (2.4) 将等式(2.2)(2.3)分别带入等式(2.1)和(2.4)中：()2cos sin J ml mlx mgl θθθ++= (2.5) ()()2cos sin F M m x ml θθθθ=++⋅-⋅ (2.6) 整理得到系统精确模型为： ()()()()()()()2222222222222222sin sin cos cos lg sin cos sin cos cos J ml F ml J ml m l g x J ml M m m l M m m mlF m l J ml M m m l θθθθθθθθθθθθ⎧+++-⎪=++-⎪⎨+--⎪=⎪++-⎩(2.7) 式中，转动惯量23ml J =。
由等式(2.7)得知，一级直线倒立摆系统的动力学模型为非线性微分方程，因此选择工作点00θ=、00x =对系统进行线性化，即可近似认为0θ≈、sin θθ≈、cos 1θ≈，得到进一步的简化模型：()()()()()()2222222g M m m l ml F J M m mMl J M m mMl J ml m gl x F J M m mMl J M m mMl θθθ+⎧=-⎪++++⎪⎨+⎪=-+⎪++++⎩(2.8) 以摆杆与竖直向上方向的偏角θ，小车的位移x 、摆杆摆角变化θ和小车的速度x 作为四个状态变量，考虑控制输入干扰ω，将(2.8)转化为状态方程的形式：12x Ax B B u ω=++ (2.9)式中，u F =，x x x θθ⎡⎤⎢=⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1200100001000000k A k ⎡⎤⎢⎥⎢⎢⎢=⎥⎥⎥⎣⎦，21100B b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=，42300B k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=，其中1b 、2b 为不大于1的正数，()()12g M m m l k J M m mMl+=++，()2222m gl k J M m mMl =-++，()32ml k J M m mMl =-++，()()242J ml k J M m mMl +=++。
3 H∞鲁棒控制器设计对于图3.1所示的系统，u 为控制输入，y 为被控量，z 为被控对象输出，ω为控制输入干扰，由输入u ，ω到输出y ，z 的传递函数阵()G s 称为增广被控对象，控制器为()K s 。
图3.1 H ∞控制框图传递函数阵()G s 的状态空间表达式如下：121111222121x Ax B B uz C x D D u y C x D D uωωω=++=++=++ (3.1)其中n x R ∈，r R ω∈，p u R ∈，m z R ∈，q y R ∈分别是系统的状态、控制输入扰动、控制输入、系统输出和被控量。
H ∞鲁棒控制器设计问题可以描述为，设计一个控制器u Ky =，使闭环系统满足：a) 闭环部稳定，即闭环系统状态矩阵的所有特征值均应在左半开复平面中。
b) 从控制输入干扰ω到输出z 的闭环传递函数()z T s ω的H ∞数小于1，即()1z T s ω∞<。
针对本次设计的一级倒立摆控制系统：121112x Ax B B uz Cx D D u y xωω=++=++= (3.2)取110D =，本控制系统的设计要求为：(1) 0x =是闭环系统的局部渐进稳定平衡点，对于任何初始状态的(0)x ，都有()0x t →。
(2) 对于任意扰动[)20L ω∈+∞，，闭环系统又抑制扰动能力。
即()1z T s ω∞<。
3.1基于Riccati 方程的H∞控制设增广被控对象()G s 的状态空间表达式为：1212x Ax B B uz Cx D uy xω=++=+= (3.3) 即1212()A B B C OD I O G s O ⎡⎤⎢⎥⎢⎢⎣⎦=⎥⎥，设计状态反馈控制器：p m u Kx K R ⨯=∈ (3.4) 定理1：对于给定的0γ>，存在状态反馈阵K 使闭环系统(3.3)和(3.4)部稳定且()z T s ωγ∞<成立的充分必要条件是存在正定阵0X >满足Riccati 不等式：21112121212212()()()0T T T T T T A X XA XB B X C C XB CD D D B X D C γ--+++-++<若上述不等式成立且有正定解0X >，则使闭环系统稳定且()z T s ωγ∞<成立的控制器为：11212212()()T T T K D D B X D C -=-+ (3.5)推论1：设增广被控对象(3.3)满足正交条件，H ∞标准设计问题有基于状态反馈阵(3.4)的充分必要条件Riccati 等式：()11220T T T T A X XA X B B B B X C C ++-+= (3.6)有正定解0X >。
若上式有正定解，则H ∞标准设计问题的解为：11212212()()T T T K D D B X D C -=-+ (3.7)若上述不等式成立且有正定解0X >，则使闭环系统稳定且()z T s ωγ∞<成立的控制器为：2T K B X =- (3.8)3.2基于LMI 的H∞控制线性矩阵不等式（LMI ）的一般形式为011()0m m F x F x F x F =+++<，其中,1,2,,T n n i i F F R i m ⨯=∈=是一组给定的实对称阵；12[,,,]T m x x x x =是待求变量。
Schur 补性质：对于给定的矩阵n n S R ⨯∈并分块表示为11122122S S S S S ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中，11r r S R ⨯∈，()12r n r S R ⨯-∈，()21n r r S R -⨯∈，()()22n r n r S R -⨯-∈，则0S <等价于110S <且1221211120T S S S S --<，或等价于220S <且1111222120TS S S S --<。
上述性质可以用于将非线性不等式问题转化为线性矩阵不等式问题。
考虑系统x Ax B z Cx D ωω=+=+ (3.9)其中n x R ∈，r R ω∈，m z R ∈，分别是系统的状态、输入和输出。
定理2：对于给定的常数0γ>，则系统(3.9)是渐进稳定的且从输入ω到输出z 的传递函数()z T s ω满足()z T s ωγ∞<当且仅当存在一个正定阵0P >满足：0T T TTq m A P PA PB C B P I D C D I γ⎡⎤+⎢⎥-<⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ (3.10) 对于本设计的控制系统(3.3)设计一个状态反馈控制器(3.4)，使得闭环系统 2112()()x A B K x B z C D K x ω=++=+ (3.11)是渐近稳定的且从输入扰动ω到输出z 的传递函数()z T s ω满足：11221()([))(]z T s I C D K A B K B s ωγ-∞=+-<+ (3.12)定理3：系统(3.3)存在一个状态反馈H ∞控制器使得闭环系统(3.11)是渐近稳定的且满足性能指标(3.12)当且仅当存在一个对称正定阵110TP P =>和矩阵2P 使得下面不等式成立：21122221111221122()0T T T TTAP P A B P P B B B CP D P CP D P I γ-⎡⎤+++++<⎢⎥+-⎣⎦(3.13)如果(3.13)有解，则121K P P -=是系统的状态反馈H ∞控制器。