第2章 自动控制系统的数学模型2.1 学习要点1 控制系统数学模型的概念、描述形式与相互转换；2 物理系统数学模型的编写方法和步骤；3 非线性系统线性化的意义、适用性和具体方法；4 系统方框图等效变换原则与应用；5 信号流图等效变换与梅逊增益公式应。

2.2 思考与习题祥解题2.1思考与总结下述问题。

（1）我们学习的动态物理系统的数学模型有哪些形式？ （2）非线性系统线性化的意义、适用性和具体方法。

（3）传递函数的意义、作用和性质；与微分方程模型相比，这种模型有何优点？答：（1）自动控制系统的数学模型指的是描述系统运动特性的数学描述。

我们学习的动态物理系统的数学模型有微分方程、传递函数和频率特性等表达式描述形式，还有方框图和信号流图等图形化描述形式。

（2）实际系统中变量之间的关系都或多或少地具有某种非线性特性。

由于求解非线性微分方程比较困难，因此提出了线性化问题。

如果控制系统的工作状态是在工作点的一个小偏差范围内变化，就可以用一条过工作点的切线代替工作曲线在这个小偏差范围内的变化关系，这样，就把非线性特性线性化了。

应用线性化的数学模型就可以简化系统分析和设计的过程，虽然这是一种近似的处理方法，但却很有实际意义。

只要这样做所造成的误差在允许范围内，不会对控制系统的分析和设计造成本质影响，就可以进行非线性系统线性化。

具体方法是：对任意函数，在某一点（工作点）处对函数进行泰勒级数展开，忽略二阶以上高次项，就可以得到线性化的函数关系。

（3）系统输入和输出在零初始条件下拉氏变换的比)(s G 称为系统的传递函数。

传递函数表示了系统输入输出之间的关系，是控制系统的一种数学模型，可以直接从微分方程导出。

传递函数只与系统结构与参数有关，与外部输入无关，传递函数反映了系统的结构特征和参数特性。

由于传递函数是以复数s 为变量，避免了许多求解微分方程的麻烦。

因此，经典控制论中更常用传递函数这种数学模型形式对控制系统进行分析和设计。

题2.2 试建立题2.2图所示各系统的微分方程。

其中外力)(t F ，位移)(t x 和电压)(t u r 为输入量；位移)(t y 和电压)(t u c 为输出量；k （弹性系数），f （阻尼系数），R （电阻），C （电容）和m （质量）均为常数。

)(t)t )t(t))(a )(b )(c )(d题2.2图解：（a ）以平衡状态为基点，对质块m 进行受力分析（不考虑重力影响），根据牛顿定理可写出22)()(dty d m dt dy f t ky t F =-- 整理得)(1)()()(22t F m t y m k dt t dy m f dtt y d =++（b ）如图解2-1(b)所示，取A,B 两点分别进行受力分析。

对A 点有)()(111dtdydt dx f x x k -=- （1）对B 点有y k dtdydt dx f 21)(=- （2）联立式（1）、（2）可得：dtdx k k k y k k f k k dt dy2112121)(+=++ (c) 应用复数阻抗概念可写出)()(11)(11s U s I cs R cs R s U c r ++= （3） 2)()(R s Uc s I = （4）联立式（3）、（4），可解得： CsR R R R Cs R R s U s U r c 212112)1()()(+++=微分方程为:r r c c u CR dt du u R CR R R dt du 121211+=++ (d) 由图解2.2（d ）可写出[]Css I s I s I R s U c R R r 1)()()()(++= （5）)()(1)(s RI s RI Css I c R c -= （6）[]Css I s I R s I s U c R c c 1)()()()(++= （7）联立式（5）、（6）、（7），消去中间变量)(s I C 和)(s I R ，可得： 1312)()(222222++++=RCs s C R RCs s C R s U s U r c 微分方程为 r r r c c c u RC dt du CR dt du u R C dt du CR dt du 222222221213++=++题2.3 试证明题2.3图中所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统（即有相同形式的数学模型）。

2k )))(t )(a )(b题2.3图解(a) 取A 、B 两点分别进行受力分析，如图解 (a)所示。

对A 点有)()()(1122y y f y xf y x k -=-+- (1) 对B 点有1111)(y k y yf =- (2) 对式（1）、（2）分别取拉氏变换，消去中间变量1y ，整理后得)()(s X s Y = 21212121221212212121()1()1f f f fs s k k k k f f f f f s s k k k k k +++++++(b) 由图可写出sC R s U c 221)(+=sC R s C R sC R s U r 111112111)(+⋅++整理得)()(s U s U r c = 1)(1)(21221122121221122121+++++++s C R C R C R s C C R R s C R C R s C C R R 比较两系统的传递函数，如果设112211221,1,,,R k R k C f C f ====则两系统的传递函数相同，所以两系统是相似的。

题2.4 假设某容器的液位高度h 与液体流入量r Q 满足方程r Q Sh S dt dh 1=+α，式中S 为液位容器的横截面积，α为常数。

若h 与r Q 在其工作点),(00h Q r 附近做微量变化，试导出h ∆关于r Q ∆的线性化方程。

解 将h 在0h 处展开为泰勒级数并取一次近似h h h h dt h d h h h ∆⋅+=∆⋅+=00021|0 （1） 代入原方程可得)(1)21()(0000r r Q Q S h h h S dt h h d ∆+=∆⋅++∆+α （2） 在平衡工作点处系统满足000r Q h dtdh =+α （3） 式（2），（3）相减可得h ∆的线性化方程r Q h h dt h d S ∆=∆+∆02α题2.5 试求题2.5图所示各信号)(t x 的象函数)(s X 。

a c1232T T题2.5图解：（a ）)(2)(0t t t x -+=∴)(s X = s t e ss 0212-+（b ）)())(())(()(321t t c t t c b t t a b a t x -------+=∴ )(s X = ])()([1321s t s t s t ce e c b e a b a s -------+（c ）)(t x = )(4)2(4)2(442222T t T T t T T t Tt T -+----∴ )21(4)(222Ts s Te esT s X --+-= 题2.6 求下列各拉氏变换式的原函数。

(1) 1)(-=-s e s X s(2) )3()2(1)(3++=s s s s X (3) )22(1)(2+++=s s s s s X 解 ：(1) 1)(-=t e t x (2) 原式 ＝)3(31241)2(83)2(41)2(2123++++-+++-s s s s s∴x （t ）＝ 24131834432222++-+-----t t t t e e e t e t (3) 原式 ＝1)1(1211)1(12121222121222++⋅++++⋅-=++-s s s s s s ss ∴)(t x ＝ )cos (sin 2121t t e t -+-题2.7 已知系统传递函数232)()(2++=s s s R s C ，且初始条件为1)0(-=c ，0)0(=c，试求系统在输入)(1)(t t r =作用下的输出)(t c 。

解： 单位阶跃输入时，有ss R 1)(=，依题意s s s s s s s s C 1)2)(1(2311221)(⋅+++=+++-= ∴ )2)(1(23)()()(+++==s s s s R s C s G []t t e e s s L s G L t k -----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-==21142411)()( 题2.8 求题2.8图所示各有源网络的传递函数)()(s U s U r c 。

))(a )(b )(c 题2.8图解：(a) 根据运算放大器 “虚地”概念，可写出12)()(R Rs U s U r c -=(b) 22112211111122)1)(1(111)()(s C C R s C R s C R s C R s C R s C R s U s U r c ++-=+⋅+-=(c) )1(11)()(212122Cs R R R R Cs R Cs R s U s U r c +-=+⋅-= 题2.9 某位置随动系统原理框图如题2.9图所示，已知电位器最大工作角度m Q ＝3300，功率放大器放大系数为3k 。

（1）分别求出电位器的传递函数0k ，第一级和第二级放大器的放大系数1k ，2k ；（2） 画出系统的结构图；（3）求系统的闭环传递函数)()(s Q s Q r c 。

+题2.9图解：(1) 电位器的传递函数ππ1118018033030000=⨯==m Q E K根据运算放大器的特性，可分别写出两级放大器的放大系数为310101030331-=⨯⨯-=K ， 210101020332-=⨯⨯-=K (2) 可画出系统结构如图2.1所示：图2.1 题2.9系统结构图(3) )1(11)1()()(3210323210+++++=s T s K K K K K s T K K K K s T s K K K K K s Q s Q m mm t m m mr c11132103223210+++=s K K K K K K K K K s K K K K K T mtm m m题2.10 已知系统方程组如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=--=)()()()()]()()([)()]()()()[()()()]()()[()()()(3435233612287111s X s G s C s G s G s C s X s X s X s G s X s G s X s C s G s G s G s R s G s X 试绘制系统结构图，并求闭环传递函数)()(s R s C 。