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§6．3 用积分法求弯曲变形
Calculation of deformation in bending by integration
用积分法计算梁的挠度和转角 的一般步骤：
（1）建立坐标系
（2）分段写弯矩方程M(x)
（3）分段建立挠度近似微分方程
分段的原则：一是弯矩方程M(x)不同；二 是抗弯刚度EI有变化。

积分法的优点是普遍适用于求解等截面或
变截面梁在各种载荷情况下的转角、挠度 方程。 当仅需计算个别截截面的挠度、转角时， 其计算过程显得繁琐。
画梁挠曲线大致形状的依据


(1)根据弯矩M（x）的正负确定梁挠曲线凸凹;
(2)根据梁的支座的“约束条件”，即支座处的 位移情况； (3)梁的挠曲线为一连续、光滑的曲线；
没有约束无法确定位移
位移与变形的相依关系
比较二梁的受力、弯矩、变形与位移
位移与变形的相依关系
P
几点重要结论 位移除与变形有关外，还与约束有关; 总体变形是微段变形累加的结果; 有位移不一定有变形; 有变形不一定处处有位移。
§6．2 挠曲线的微分方程
一、梁的挠曲线近似微分方程式
教学要求
1.明确挠曲线、挠度和转角的概念；
2.深刻理解梁挠曲线近似微分方程的建立
过程；
3.掌握计算梁变形的积分Байду номын сангаас。
第六章
弯曲变形
Deformations in Bending
§6．1 工程中的弯曲变形 问题
工程实例
研究梁变形的主要目的： 1.对梁进行刚度计算； 2.求解静不定梁。 3.为研究压杆稳定问题提供理论依据。

2.挠度和转角(度量梁变形基本量)
转角(θ):横截面绕中性轴转动角度。转角
逆时针转向为正，顺时针转向为负。 转角θ等于等于挠曲线的法线与y轴的夹角 ，也等于挠曲线在x点的切线与x轴的夹角 。
3.挠度与转角之间的关系
y
转角
挠度 挠曲线
y
x
x
dv tan dx
约束对位移的影响
d xa dx
n
0

( x a)
n 1
n( x a)
( x a)
奇异函数的微分和积分

x a dx
n
0
( x a)
1 n 1 ( x a) C n 1 ( x a)
集 中 力 偶 作 用 的 情 形
弯矩方程的奇异函数表示
M ( M i ) M i x ai
定义 图形 微分和积分 弯矩方程的奇异函数表示 梁的挠度方程的奇异函数形式
奇异函数定义（Singular Function）
xa
n

0
( x a)
n
( x a)
( x a)
奇 异 函 数 图 形
奇 异 函 数 图 形
奇 异 函 数 图 形
奇异函数的微分和积分
积分时采取一些措施 独立积分常数减少为两个：C、D
1.写各段弯矩方程时，采用同一坐标系，即取梁 左端点为原点，向右为正。 2.写弯矩方程时，根据从坐标原点到所研究的截 面之间的一段梁上的外力来写弯矩方程。 3.写M(x)方程时,统一写成：力×力臂形式,力 臂在积分时作为一个独立自变量积分。 4.遇到分布载荷延长到梁的右端点，并在延长段 上加一个等值反向的分布载荷。
讨论与思考题
画梁挠曲线的大致形状。 q a a
B A
l
作
6．1(c),(d)
业
6．3(c)
6．4
(d)
*§6-3 计算梁位移 的奇异函数法
积分法需要分段建立与求解挠曲轴近似
微分方程，并确定许多积分常数，实际 应用很不方便。 本节所述奇异函数法，采用奇异函数， 建立同时适用于各梁段的弯矩通用方程 ，求解方法简捷规范，特别适合于计算 机的应用。


(4)利用对称性、反对称性。
画梁挠曲线大致形状的步骤
(1)画弯矩M（x）图；
(2)根据梁的支座的“约束条件”，即支
座处的位移情况；
(3)根据弯矩M（x）的正负确定梁挠曲线
凸凹；
(4)梁的挠曲线为一连续、光滑的曲线。
画梁挠曲线的大致形状
画梁挠曲线的大致形状
画梁挠曲线的大致形状
二、弯曲变形的基本概念
取直角坐标系xoy，原点取在梁的左端点，x
轴沿轴线方向,向右为正，y轴向上为正。
1.
梁在平面弯曲时，挠曲线是一条光滑连续 的平面曲线，可用连续函数v=f(x)或w =f(x)表示挠曲线方程。
挠度(v或w):梁上任一横截面形心C 在垂直于轴 线方向的线位移。挠度(v或w)向上为正。 在弹性小变形的情况下，沿轴线方向的位移属于 高阶微量，可以忽略不计。
（4）积分、确定积分常数
试求图示悬臂梁的转角方程和挠曲线方程,并确定θB和wB。
试求图示悬臂梁的转角方程和挠曲线方程,并确定θB和wB。
应用积分法时要注意以下几点
1.当梁上有复杂载荷时，应该分段列出弯矩方程 ，而对每一段进行积分时，必然要有两个积分常 数； 2.将所有的转角方程和挠曲线方程全部列出以后 ，再来确定积分常数，并应了解到每段方程只适 用于一定的区间之内; 3.积分常数的确定要利用边界条件和连续条件。 连续条件则在每一分段处有两个：一个是挠度连 续，另一个是转角连续；
计算梁变形的方法: 积分法、初参数法、虚梁法、图解法、叠 加法、差分法、奇异函数法、面积一力矩 法、迈克勒法、逐次面积矩法、拉普拉斯 变换法、三角级数法、能量法及虚位移法 、导线法、剪力面矩法、常数相等法、焦 点法、近似计算法、面积向量法、马克劳 林级数法、定积分法、位移置换法等等。 能量法又细分为几种方法，即卡氏定理、 单位载荷法、图形互乘法等等。

如何才能简化 确定积分常数的工作？
1.后一段梁的转角方程（挠曲线方程）中总是包 括了前一段梁的转角方程（挠曲线方程）每一项 ； 2.后一段梁的转角方程（挠曲线方程）中增加项 在分段处值为零;

C1=C2= · · · =Cn =C , D1=D2= · · · = Dn = D 积分常数C和D分别是梁在坐标原点处的转角和 挠度（或1/EI）。