2007至2008学年度高三初期摸底测试数学(文科)2007.09(满分150分，时间120分钟)第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A 、BP （A +B ）=P （A ）+P （B S =4πR 2 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中RP （A ·B ）=P （A ）·P （B球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，V =34πR 3那么n 次独立重复试验中恰好发生k其中R 表示球的半径P n (k )= C k n P k (1－P )n－k一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分，共60分;在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，把正确的代号填在机读卡的指定位置上. 1.若集合A ={-1,0,1}，集合B ={1,2,3}，则集合A ∪B 应表示为 A.{1} B.{-1,0} C.{0,1,2,3} D.{0,-1,1,2,3} 2.已知sin απαα2sin ),0,2(,54则-∈-=的值为 A.2524B.-2524C.54 D.257 3.已知正项等比数列{n a }中，2,643852==⋅⋅a a a a ,则数列{n a }的公比为 A.2B.2C.±2D. ±24．函数)31(=y |x |的大致图象是5.某交往式计算机有20个终端，这些终端由各个单位独立操作，使用率均为0.8，则20个终端中至少有一个没有使用的概率为A.0.220B.0.820C.1-0.820D.1-0.2206.已知△ABC 中，||=3，||=4，且·＝－63，则△ABC 的面积是 A.6B.33C.3D.26+7.已知椭圆的方程为2x 2 +3y 2=m (m >0),则此椭圆的离心率为A.31 B.33 C.22 D.21 8.若直线a ∥平面α，则直线a 与平面α内的直线的关系是 A.平面α内有且仅有一条直线与a 平行 B.平面α内任意一条直线与直线a 平行C.平面α内与直线a 共面的直线与直线a 平行D.以上都不对 9.如图，P 为正方体AC 1的底面ABCD 内任意一点，若A 1P 与棱A 1A 、A 1B 1、A 1D 1所成的角分别为α、β、γ，则sin 2α+sin 2β+sin 2γ的值为 A.2 B.1 C. 0 D.随P 的变化而变化 10.下列不等式中解集为实数集R 的是 A. x 2+4x +4>0 B.2x >0 C. xx 111<-D.x 2-x +1>011.已知抛物线y 2=4x 及点A (1,1)，若过点A 的直线被此抛物线截得的弦PQ 恰以A 为中点，则直线PQ 的方程为 A.4x-y -3=0 B.2x-y +1=0 C.4x -y +3=0 D.2x -y -1=012.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y =2x 2+1，值域为{5,19}的“孪生函数”共有 A.10个 B.9个 C.8个 D.7个第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)把答案填在题中横线上. 13.(x 2-10)32+x展开式中各项系数之和为 . 14.直线y =-3(x -1)被圆(x -1)2+(y +2)2=4所截得的弦长为 .15.双曲线3x 2-4y 2-12x +8y -4=0按向量m 平移后的双曲线方程为13422=-y x ，则平移向量m= .16.给出以下命题：①已知命题p 、q ，若“p 或q ”为真，则“p 且q ”为假；②已知平面α、β均垂直于平面γ，α∩γ=a ,β∩γ=b ，则α⊥β的充要条件是a ⊥b ；③若函数f (x )为偶函数，则必有f (-x )=f (x )=f (|x |)恒成立. 其中正确命题的番号是 .三、解答题：(本大题共6小题，共70分)解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 17.(共10分)已知函数f (x )=sin(x +6π)+sin(x -6π)+cos x +a (a ∈R ，a 为常数). (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期；(Ⅱ)若函数f (x )在[-2π，2π]上的最小值为－1，求实数a 的值.18.(共10分)一纸箱中放有除颜色外，其余完全相同的黑球和白球，其中黑球2个，白球3个. (Ⅰ)从中同时摸出两个球，求两球颜色恰好相同的概率；(Ⅱ)从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率.19.(共12分)如图，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，AB =2AD =2DC =2,E 为BD 1的中点，F 为AB 的中点. (Ⅰ)求证：EF ∥平面ADD 1A 1；(Ⅱ)建立空间直角坐标系D-xyz (DG 是AB 边上的高)，若BB 1=22，求A 1F 与平面DEF 所成的角的大小.20.(共12分)已知函数f (t )=log 2t ,t ∈[2,8](Ⅰ)求f (t )的值域G ；(Ⅱ)若对于G 内的所有实数x ，不等式-x 2+2mx -m 2+2m ≤1恒成立，求实数m 的取值范围.21.(共13分)已知等差数列{a n }中，a 1=1,公差d >0，且a 2、a 5、a 14分别是等比数列{b n }的第二项、第三项、第四项.(Ⅰ)求数列{a n }、{b n }的通项a n 、b n ;(Ⅱ)设数列{c n }对任意的n ∈N *，有2211b c b c +…＋nn b c＝a n+1成立，求c 1+c 2+…+c 2005的值.22．(共13分)设向量i =(1,0),j =(0,1),a =x i +(y+2)j ,b =x i +(y -2)j ,且｜a｜＋｜b ｜＝8，x ，y ∈R .(Ⅰ)求点P (x,y )的轨迹C 的方程；(Ⅱ)已知点M (0,3)作曲线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设ON =OA +OB ，问是否存在直线l ，使四边形OANB 为矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题：（每小题5分，共60分）1.D2.B3.A4.A5.C6.C7.B8.C9.A 10.D 11.D 12.B 二、填空题：(每小题5分，共20分)13.1024或21D14.23 15.(-2,-1) 16.②③三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17.解：(Ⅰ)∵f (x)-2sin x cos a x π++cos 6=a x x ++cos sin 3=2sin(x +a π+)6……3分 ∴函数f (x)的最小正周期T =2π.……2分(Ⅱ)∵x ∈[－22ππ，]，∴－3π≤x+6π≤32π.∴当x+6π=－3π,即x=－2π时， f min (x )=f (－2π)=－3+a. ……3分由题意，有－3+a=－1. ∴a=3－1.……2分18.解：(Ⅰ)摸出两球颜色恰好相同，即两个黑球或两个白球，共有C 22+C 23=4(种)可能情况. 故所求概率为P=252322C C C +=.52104= ……5分(Ⅱ)有放回地摸两次，两球颜色不同，即“先黑后白”或“先白后黑”.故所求概率为P=151512131312···C C C C C C +=.25122566=+ ……5分19.(Ⅰ)证明：连AD 1. ……1分在ΔABD 1中，∵E 、F 分别是BD 1、AB 的中点， ∴EF ∥AD 1.又EF ⊄平面ADD 1A 1, ∴EF ∥平面ADD 1A 1. ……5分(Ⅱ)解：在空间直角坐标系D －xyz 中，有A 1(222123，－,),F (，，21230),D 1(0,0,22),B (02323,,).∴E (424343,,). ……2分设平面DEF 的法向量为=(x ,y ,z).由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==++=,02123·,0424343·y x z y x ⎪⎩⎪⎨⎧==⇒.x x y 6z 3，－ 取非零法向量=(1,－63，).……2分∵，－，)221,(01=A ∴A 1F 与平面DEF 所成的角即是A 1与n 所成锐角的余角.由cos ＜A 1,n ＞|| ||11n F A .55210·236)22()3(110-=⨯+⨯+⨯－－ ∴A 1F 与平面DEF 所成角的大小为2π－arccos 552即arcsin .552 ……2分20.解：(Ⅰ)∵f (t )=log 2t 在t ∈[2,8]上是单调递增的，∴log 22≤log 2t ≤log 28.即21≤f (t )≤3. ∴f (t )的值域G 为[,321].……5分(Ⅱ)由题知－x 2+2mx －m 2+2m ≤1在x ∈[321，]上恒成立2x ⇔－2mx +m 2－2m +1≥0在x ∈[,321]上恒成立. 令g (x )=x 2－2mx+m 2－2m+1,x ∈[,321].只需g min (x )≥0即可.而g (x )=(x －m )2－2m +1,x ∈[,321].(1)当m ≤21时，g min (x )=g (21)=41－3m +m 2+1≥0. ∴4m 2－12m+5≥0.解得m ≥25或≤21. ∴m ≤.21……2分(2)当21＜m ＜3时，g min (x )=g (m )= －2m+1≥0. 解得m ≤.21这与21＜m ＜3矛盾. ……2分(3)当m ≥3时，g min (x )=g(3)=10+m 2－8m ≥0. 解得m ≥4+6或m ≤4－6. 而m ≥3,∴m ≥4＋6.……2分 综上，实数m 的取值范围是 (－∞，21]∪[4+6，+∞). ……1分21.解：(Ⅰ)由题意，有 (a 1+d )(a 1+13d )=(a 1+4d)2.……2分 而a 1=1, d >0，∴d =2. ∴a n =2n －1.……3分公比q =25a a =3,a 2=b 2=3. ∴b n =b 2·q n －2=3·3n －2= 3n －1.……2分(Ⅱ)当n =1时，211a b c =,∴c 1=1×3=3. 当n ≥2时， ∵,112211n n n a b c b c b c =+⋯++-- ……① .1112211+--=++⋯++n nn n n a b c b c b c b c……②②—①，得nnb c =a n+1－a n =2, ∴c n =2b n =2·3n －1(n ≥2). 即有c n =⎩⎨⎧≥=.2 ,3·21; ,31n n n － ……4分∴c 1+ c 2+ c 3+...+ c 2005=3+2(31+32+33+ (32004)=3+2·31)3(132004－－=32005.……2分22.解：(Ⅰ)∵ i =(1，0)，=(0，1),| a |+| b |=8,∴.y x y x 8)2()2(2222=-++++……2分上式即为点P (x ,y )到点(0，－2)与到点(0，2)距离之和为8. 记F 1(0，－2)，F 2(0，2)，则|F 1F 2|=4. 即|PF 1|+|PF 2|=8＞|F 1F 2|.∴P 点轨迹C 为以F 1、F 2为焦点的椭圆. 其中2a=8,2c =4. ∴b 2=a 2－c 2=12. ∴所求轨迹C 的方程为.y x 1161222=+……4分(Ⅱ)∵OB OA ON +=,∴OANB 是平行四边形.∵l 过点M (0，3).若l 是y 轴，则A 、B 是椭圆的顶点.此时0===. ∴N 与O 重合，与四边形OANB 是平行四边形矛盾. 故直线l 的斜率k 必存在. 设直线l 的方程为y =kx +3. ……1分设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).若存在直线l 使得OANB 是矩形，则OA ⊥OB .∴.0·= ∴x 1x 2+y 1y 2=0.而y 1y 2=(kx 1+3)(kx 2+3) =k 2x 1x 2+3k (x 1+x 2)+9. ∴(1+k 2)x 1x 2+3k (x 1+x 2)+9=0.……① ……2分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=11612,322y x kx y 消去y ，得(3k 2+4)x 2+18kx －21=0∵Δ＝(18k )2－4(3k 2+4)(－21)=(18k )2+84(3k 2+4)＞0, ∴方程②必有两实数根x 1、x 2. 且x 1+x 2=43182+k k －,x 1x 2=－.k 43212+ 代入①，得－(1+k 2)·.k k 0943544k 321222=+++－ 解得k 2=165,∴k =±45. ……3分∴存在直线l 符合题意，其直线方程为 y =±,345+x 即45x －y +3=0或.y x 0345=+－……1分。