分式运算的几种技巧分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。

但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。

一、 整体通分法例1 计算：211a a a 【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a -1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式. 【解】2222(1)(1)(1)(1)11(1)111111a a a a a a a a a a a a a a a a 二、 先约分后通分法 例2 计算22212324x x x x x x 分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多。

解：原式=)2)(1(1+++x x x +)2)(2()2(+--x x x x =21+x +2+x x =21++x x 三、 分组加减法例3计算21-a +12+a -12-a -21+a分析：本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便。

解：原式=（21-a -21+a ）+（12+a -12-a ）=442-a +142--a =)1)(4(1222--a a四、 分离整数法例4 计算3x 4x 4x 5x 2x 3x 1x 2x -----+++-++ 方法：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。

解：原式=(1)1(2)1(4)1(3)11243x x x x x x x x =1111(1)(1)(1)(1)1243x x x x =11111243x x x x =。

五、 逐项通分法例5 计算：44322x a x 4x a x 2x a 1x a 1--+-+-- 分析：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问题简单化。

同类方法练习题：计算1x 21x 11x 12+-+--1x 81x 484+-+-六、 裂项相消法例6 计算：1111...(1)(1)(2)(2)(3)(9)(10)a a a a a a a a . 分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a 是整数），联想到111(1)1a a a a ，这样可抵消一些项.解：原式=11111111()()()...()11223910a a a a a a a a =111010(10)aa a a 七、 整体代入法例7．已知1x+1y =5求2522x xy y x xy y -+++的值 解法1：∵1x +1y =5∴x y ≠0,.所以2522x xy y x xy y -+++=225112y x y x -+++=112()5112x y x y +-++=25552⨯-+=57 解法2：由1x +1y=5得，x y xy +=5, x+y=5xy ∴2522x xy y x xy y -+++=2()5()2x y xy x y xy +-++=25552xy xy xy xy ⨯-+=57xy xy =57练习：若11x y -=5，求3533x xy y x xy y+---的值．八、 公式变形法例8．已知a 2-5a+1=0，计算a 4+41a解：由已知条件可得a ≠0,∴a+1a =5 ∴a 4+41a =(a 2+21a)2-2=[(a+1a )2-2]2-2=(52-2)2-2=527 练习：（1）已知x 2+3x+1=0，求x 2+21x的值． 九、 设中间参数法例9．已知b c a += a c b += a b c +，计算：()()()a b b c c a abc+++ 解：设b c a += a c b += a b c+=k ，则b+c=ak ；a+c=bk ；a+b=ck ； 把这3个等式相加得2(a+b+c)= (a+b+c)k若a+b+c=0，a+b= -c,则k= -1若a+b+c ≠0，则k=2()()()a b b c c a abc +++=ak bk ck abc⋅⋅=k 3 当k=-1时，原式= -1当k=2时，原式= 8练习：（1）已知实数x 、y 满足x:y=1:2，则=+-y x y x 3__________。

（2）已知6z 5y 4x ==，则z3z 4y 3x 2+-=_____________。

十、先取倒数后拆项法（尤其分子单项，分母多项）例10．已知21a a a -+=7，求2421a a a ++的值 解：由条件知a ≠0,∴21a a a -+=17,即a+1a =87∴4221a a a ++=a 2+21a +1=(a+1a )2-1=1549 ∴2421a a a ++=4915练习：已知a+1a=5．则2421a a a ++=__________. 十一、 特殊值法(选填题)例11. 已知abc=1,则1a ab a ++＋1b bc b ++＋1c ca c ++=_________. 分析：由已知条件无法求出a 、b 、c 的值，可根据已知条件取字母的一组特殊值，然后代入求值． 解：令a=1，b=1，c=1，则原式=11111⨯+++11111⨯+++11111⨯++=13+13+13=1. 说明：在已知条件的取值范围内取一些特殊值代入求值，可准确、迅速地求出结果．练习：（1）已知：xy z ≠0,x+y+z=0,计算y z x ++x z y ++x y z+ （2）已知6z 5y 4x ==，则z3z 4y 3x 2+-=________ 十二、 主元法 例12. 已知xyz ≠0,且3x －4y －z=0,2x ＋y －8z=0,求2222x y z xy yz zx++++的值. 解：将z 看作已知数，把3x －4y －z=0与2x ＋y －8z=0联立，得 3x －4y －z=0,2x ＋y －8z=0.解得 x=3z,y=2z.所以，原式=222(3)(2)(3)(2)(2)2(3)z z z z z z z z z ++⋅+⋅+⋅=2214 1.14z z= 练习：已知3a-4b-c=0,2a+b-8c=0,计算: 222a b c ab bc ac ++++混合运算练习题（1）2222223223x y y x y x y x y x y x ----+--+ （2）1111322+-+--+a a a a . (3) 21x x -－x －1 (4)3a a --263a a a +-+3a (5)x y y y x x y x xy --++-222 (6)293261623x x x -+--+ (7)xy y x y x y x 2211-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-- (8)a a a a a a 4)22(2-⋅+-- (9)232224x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪+--⎝⎭ (10))1x 3x 1(1x 1x 2x 22+-+÷-+- (11) )252(23--+÷--x x x x (12) (ab b a 22++2)÷b a b a --22 (13)22321113x x x x x x x +++-⨯--+ (14)xx x x x x x x x 416)44122(2222+-÷+----+(15)计算：x x x x x x x x -÷+----+4)44122(22，并求当3-=x 时原式的值．【错题警示】一、错用分式的基本性质例1化简错解：原式分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变”，而此题分子乘以3，分母乘以2，违反了分式的基本性质.正解：原式二、错在颠倒运算顺序例2计算错解：原式分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出现错误.正解：原式三、错在约分例1 当为何值时，分式有意义？[错解]原式.由得.∴时，分式有意义.[解析]上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式，扩大了未知数的取值范围，而导致错误.[正解]由得且.∴当且，分式有意义.四、错在以偏概全例2 为何值时，分式有意义？[错解]当，得.∴当，原分式有意义.[解析]上述解法中只考虑的分母，没有注意整个分母，犯了以偏概全的错误.[正解] ，得，由，得.∴当且时，原分式有意义.五、错在计算去分母例3 计算.[错解]原式=.[解析]上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，.[正解]原式.六、错在只考虑分子没有顾及分母例4 当为何值时，分式的值为零.[错解]由，得.∴当或时，原分式的值为零.[解析]当时，分式的分母，分式无意义，谈不上有值存在，出错的原因是忽视了分母不能为零的条件.[正解]由，得.由，得且.∴当时，原分式的值为零.七、错在“且”与“或”的用法例7 为何值时，分式有意义错解：要使分式有意义，须满足，即.由得，或由得.当或时原分式有意义.分析：上述解法由得或是错误的.因为与中的一个式子成立并不能保证一定成立，只有与同时成立，才能保证一定成立.故本题的正确答案是且.八、错在忽视特殊情况例8解关于的方程.错解：方程两边同时乘以，得，即.当时，，当时，原方程无解.分析：当时，原方程变为取任何值都不能满足这个方程，错解只注意了对的讨论，而忽视了的特殊情况的讨论.正解：方程两边同时乘以，得，即当且时，，当或时，原方程无解.。