嫦娥三号软着陆轨道位置与速度建摸
嫦娥三号成功发射并抵达月球轨道。
其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道。
文章建立数学模型解决着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。
标签：着陆轨道设计；近月点位置；建模
1 简单分析
将嫦娥三号的主减速阶段的运动情况简化为水平方向和竖直方向的运动，然后单独分析两个方向的运动情况，将距离转换为经纬度，即求出了位置。
可将求近月点和远月点的速度问题转化为求沿椭圆轨道运行卫星的线速度问题，最后根据开普勒第二定律和机械能守恒定理就可求出速度大小。
至于速度的方向，根据曲线运动的特点以及嫦娥三号的运行方向即可确定速度方向。
2 基本假设
（1）假设月球的自传对着陆器没有影响；（2）假设忽略日、地引力摄动等环境干扰引起的误差；（3）假设月球近似为一个质量均匀的标准球体，为一个质点。
3 模型的建立与求解
3.1 速度大小模型的建立
嫦娥三号围绕月球做轨迹为椭圆的圆周运动，着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道。
H为远月点到月面的距离；h为近月点到月面的距离。
求嫦娥三号在近月点和远月点的速度，也就是求它在近月点和远月点相应的线速度，为此我们将月球看作是一个质点，将嫦娥三号也看做是一个质点，忽略月球重力场和月球自转对嫦娥三号做椭圆运动的影响，所以将问题转化为求沿椭圆轨道运行卫星的线速度问题。
图1表示了卫星沿椭圆轨道运行情况示意图：
对比近月点A和远月点B，由卫星总机械能守恒可有：
M为月球的质量m为嫦娥三号的质量vA是近月点的线速度vB 为远月点的线速度。
又根据开普勒第二定律可知：vA（a-c）=vB（a+c）（2）
联合（1）、（2）式可解得：v■=■■ v■=■■ 其中G为引力常数。
即，在近月点的速度为：v■=■■ （3）
在远月点的速度为：v■=■■（4）
3.2 速度大小的求解
由题中所给数据可知：月球质量为M=7.3477×1022kg，月球平均半径为r0=1737.013km，近地点到月面的距离为h=15km，远月点到月面的距离为H=100km，根据这些数据可以得出：半长轴：a=（2r0+h+H）/2=1794.603km
焦点距离：c=a-（r0+h）=42.5km。
根据椭圆中a、b、c之间的关系：a2=b2+c2解得：b=1794.099km。
即月心的位置为（42.5，0）。
将所得数据代入（3）式可得：vA=1.69
2km/s。
将数据代入（4）式解得：vB=1.614km/s。
3.3 速度方向的求解
3.3.1 速度方向模型建立
嫦娥三号将在近月点15公里处（即近月点）以抛物线下降，而且在横向飞行的水平距离远远小于月球半径的平均值，所以可以将整个主减速阶段过程简化为水平方向和竖直方向运动的过程。
所以有：F=■ ，F为推力，Fx为推力在水平方向上的分力，Fy为推力在水平方向上的分力。
根据牛顿第二定有，水平方向的运动过程满足：ax=Fx/m为嫦娥三号在准备着陆轨道上的质量，ax为水平加速度。
竖直方向的运动过程满足：ay=■-a
在主减速阶段，即从近月点减速到离地面3公里处时，嫦娥三号基本位于着陆点上方，认为此时水平方向速度为0，即v水=0
m表示嫦娥三号在准备着陆轨道上的质量2.4t，ay为竖直加速度，a表示月球的重力加速度为g/6。
根据速度变化公式有，水平方向的速度变化大小为：
式中：t为主减速阶段所用时间，Q为单位时间所消耗的燃料的质量，v0为水平方向初速度。
在竖直方向的速度变化大小为：
式中：v1为主减速阶段竖直方向的末速度。
根据位移速度公式可有，在水平方向：v02=2ax×S所以S=■，S为水平方向上的位移。
3.3.2 模型求解
v0=vA=1.692km/s；在主减速阶段结束时：v1=57m/s；利用Matlab软件编程可以解出：S=451.81km；嫦娥三号在着陆过程中经度基本保持不变，只有纬度在发生变化。
可以得出月球极区的半径为：r1=1735.843km。
月球与地球一样，北半球依然分为90个分度，所以每个分度的竖直高度差为19.2871km，所以从近月点到着陆点的纬度变化大小为23.4255°。
根据资料中给出的嫦娥三号近月轨道示意图以及题中给出着陆点的位置是19.51W，44.12N，可以判断出嫦娥三号在准备着陆轨道上的运行方向是由南向北，所以可以得出近月点的纬度为20.694°，所以近月点的位置为19.51W，20.694N；又因为近月点与月远点的位置关于月心对称，所以远月点的位置为159.305E，69.306S
参考文献
[1]王鹏基，张，曲广吉.月球软着陆飞行轨迹与制导律优化设计研究[J].宇航学报，2007，28（5）：1175-1179.
[2]张嗣瀛，等.现代控制理论[M].北京：清华大学出版社，2006.。