2021届云南师范大学附属中学高考适应性月考卷（四）数学（文）试题一、单选题1．已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，集合B ＝{x |24x ≤}，则A ∩B 中元素的个数为（ ）A ．4B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】化简集合B ，根据交集的概念求出交集后可得结果.【详解】因为{12345}A =，，，，， {|22}B x x =-≤≤， 所以{12}A B =，，A B 中含有两个元素，故选：C .2．复数512z i =+，则z =（ ）A ．17B ．5C ．12D ．13【答案】D【分析】直接算出答案即可.【详解】因为512z i =+，所以||z =，故选：D3．在等比数列{a n }中，若满足a 4·a 6＝a 3·a 5，则数列{a n }的公比为（ ） A ．无法确定B ．1C ．-1D ．1或-1 【答案】D【分析】根据等比数列的定义，化简条件即可求解.【详解】因为等比数列{}n a ，且4635a a a a = ， 所以264351a a q a a == ， 所以公比为1±，故选：D4．已知函数sin ,0()ln ,0x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，则f （0）＋f （1）＝（ ）A ．2B ．0C ．1D ．-1【答案】B 【分析】直接根据解析式求出(0)f 和(1)f ，再相加即可得解.【详解】因为sin ,0()ln ,0x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩， 所以(0)sin 00f ==，(1)ln10f ==，所以(0)(1)sin0ln10f f +=+=.故选：B5．1750年，欧拉在给哥德巴赫的一封信中列举了多面体的一些性质，其中一条是：如果用V 、E 和F 表示闭的凸多面体的顶点数、棱数和面数，则有如下关系：2V E F -+=.已知正十二面体有20个顶点，则正十二面体有（ ）条棱A ．30B ．14C ．20D ．26【答案】A【分析】由已知条件得出20V =，12F =，代入欧拉公式2V E F -+=可求得E 的值，即为所求.【详解】由已知条件得出20V =，12F =，由欧拉公式2V E F -+=可得22012230E V F =+-=+-=. 故选：A.6．双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），其中a =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3B ．2CD ．2【答案】B【分析】根据a =以及222c a b =+可得=c ，再根据离心率公式可得结果.【详解】因为a =，c ===，所以2c e a ===. 故选：B .【点睛】关键点点睛：求双曲线离心率的关键是找到,,a b c 的等量关系，由a =，222c a b =+可得所要的等量关系.7．若实数x ，y 满足约束条件30,20,x y x y +-≥⎧⎨-+<⎩则12z x y =+（ ） A ．既无最大值又无最小值B ．有最大值无最小值C ．有最小值无最大值D ．既有最大值又有最小值【答案】A【分析】画出可行域，根据图象，分析即可得答案.【详解】画出可行域，如图所示：因为20x y -+<取不到该直线上的点，所以A 点并不在可行域内，即12y x z =-+不能取到A 点，所以目标函数既无最大值也无最小值，故选：A. 8．在平面直角坐标系xOy 中，O 为正六边形123456A A A A A A 的中心，1(1,0)A ，任取不同的两点i A ，j A (i ，{1,2,3,4,5,6}j ∈)，点P 满足0i j OP OA OA ++=，则点P 落在第一象限或者第二象限的概率为（ ） A ．415 B ．13 C ．12 D ．413【答案】A【分析】利用已知条件写出各点的坐标，找到点P 的坐标，共15种情况，满足题意的有4种，即可得出答案.【详解】由已知条件得：1(1,0)A ，2132A ⎛ ⎝⎭，3132A ⎛- ⎝⎭，4(1,0)A -，51,22A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，61,22A ⎛- ⎝⎭，所以P 点坐标可为3,22⎛-- ⎝⎭，1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，(0,0)，12⎛- ⎝⎭，32⎛- ⎝⎭，(0,，1,2⎛ ⎝⎭，(1,0)-，3,2⎛ ⎝⎭，(1,0)，32⎛ ⎝⎭，12⎛ ⎝⎭，，共15种，其中满足“点P 落在第一象限或者第二象限”的共4种， 所以415P =， 故选：A.9．正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足22nn a S n =-，则a 5＝（ ） A ．8B ．5C ．6D ．7【答案】B 【分析】根据22n n a S n =-，1n =时，得到11a =，当2n ≥时，根据1n n n a S S -=-得到11n n a a -=-或者11n n a a -=-，再求5a 即可.【详解】正项数列{}n a ，22nn a S n =-， 当1n =时，21112121a S a =-=-，()221112110a a a -+=-=，所以11a =.当2n ≥时，221122121n n n n n a a S S a ---=--=-，222121(1)n n n n a a a a -=-+=-， 所以11n n a a -=-或者11n n a a -=-.当11n n a a -=-时，{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，所以n a n =，55a =；当11n n a a -=-时，20a =与{}n a 是正项数列矛盾，所以舍去.故选：B.10．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．()3105π+B ．9πC ．310πD ．14π【答案】A 【分析】由三视图知原几何体是圆台，上底面半径为1r =，下底面半径为2R =，高为3，利用表面积公式即可求解. 【详解】由三视图可得，该几何体为圆台，上底面半径为1r =，下底面半径为2R =，高为310， 由圆台表面积公式可得22π()(3105)πS rl Rl r R =+++=+，故选：A11．在平面直角坐标系中，坐标原点为O ，A （1，0），B （3，0），C(2,22)，则ABC 的内切圆圆心到点O 的距离为（ ）A ．449B 32C ．92D 211 【答案】B【分析】设内切圆圆心为1O ，首先求出内切圆半径，然后可得122O ⎛ ⎝⎭，，然后可算出答案. 【详解】设内切圆圆心为1O ，3AC BC ==，2AB =，由等面积法可得内切圆半径2||||||ABC S r AB BC CA =++△，所以12O ⎛ ⎝⎭，1OO =， 故选：B12．已知正实数a ，b ，c ，则55113432a c c b b a b c a b a c +--+++++的最小值为（ ） A．B．5+C．6 D ．152【答案】C 【分析】令32b c x a b y a c z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，则223523355x y z a x y z b x y z c -++⎧=⎪⎪+-⎪=⎨⎪-+⎪=⎪⎩，代入55113432a c c b b a b c a b a c +--+++++整理化简后利用基本不等式即可求解.【详解】令32b c x a b y a c z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩且0,0,0x y z >>> ，解得223523355x y z a x y z b x y z c -++⎧=⎪⎪+-⎪=⎨⎪-+⎪=⎪⎩， 所以55113444422332a c c b b a x y z x y z x y z b c a b a c x y z+---++-++-++=+++++424286y x z x z y x y x z y z=-++++++≥，当且仅当x y ==时等号成立， 故选：C【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.二、填空题13．若x ＝2是f (x )＝ax 3-3x 的一个极值点，则a ＝________. 【答案】14【分析】由(2)f '=0解得14a =，再验证即可得解. 【详解】因为3()3f x ax x =-，所以2()33f x ax '=-，因为x ＝2是f (x )＝ax 3-3x 的一个极值点，所以(2)1230f a '=-=，故14a =， 经验证当14a =时，2x =是()f x 的一个极值点. 所以14a =. 故答案为：14【点睛】关键点点睛：根据可导函数在极值点处的导数值为0求解是解题关键.14．若2a =，3b =，则a b ⋅的最大值为________.【答案】6【分析】利用数量积的定义化简，结合三角函数的有界性得出最大值． 【详解】cos 6cos a b a b θθ=⋅⋅= ，所以max ()6a b = .故答案为:615．已知平行四边形ABCD ，|AB |＝3，|BC |＝5，则分别以对角线AC ，BD 为直径的两个圆的面积和为________. 【答案】17π【分析】利用余弦定理分别表示出对角线AC ，BD ，进而可得圆的面积和．【详解】两个圆的面积和2222||||(||||)224AC BD S AC BD πππ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由余弦定理可得222||||||2||||cos 3430cos AC AB BC AB BC B B =+-=-，222||||||BD AB AD =+-2||||cos 3430cos 3430cos AB AD A A B =-=+，17πS ∴=.故答案为：17π16．已知椭圆22Γ:110x y +=，将Γ绕坐标原点顺时针旋转90°得到椭圆D '，则椭圆Γ与椭圆D '的公切线方程(切点在第一象限)为________.【答案】y x =-【分析】易得22Γ:110y x '+=，设公切线方程:l y kx m =+，分别与Γ，D '联立，利用Δ0=求解. 【详解】因为22Γ:110x y +=， 由题意得:22Γ:110y x '+=， 设公切线方程:l y kx m =+，与Γ联立22110x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2221102010100k x kmx m +++-=，()()2222Δ400411010100k m k m =-+-=，得22101k m +=，与D '联立22110y x y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222102100k x kmx m +++-=，()()2222Δ4410100k m k m =-+-=，得2210k m +=，联立解得1k =±，m =因为切点在第一象限，所以公切线方程为y x =-三、解答题17．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()2242cos cos cos a c ab C ac B bc A ++=++.（1）求b 的值；（2）若满足cos cos a A b B =，c ＝3，求ABC 的面积.【答案】（1）2b =；（2【分析】（1）利用余弦定理以及已知条件可得24b =，即可得出结果；（2）利用正弦定理以及正弦二倍角公式可得sin 2sin 2A B =，进一步得到22A B =或者22πA B +=，分两种情况讨论，利用余弦定理求角，利用三角形面积公式求解即可得出结果.【详解】（1）由余弦定理可得2cos 2cos 2cos ab C ac B bc A ++222222222222a b c a c b b c a a b c =+-++-++-=++，又()2242cos cos cos a c ab C ac B bc A ++=++， 所以可得24b =.由于0b >，所以2b =.（2）已知cos cos a A b B =，由正弦定理可得sin cos sin cos A A B B =，由正弦二倍角公式可得sin 2sin 2A B =，∵2(02π)A ∈，，2(02π)B ∈，， (0π)A B +∈，，22(02π)A B +∈，， 所以22A B =或者22πA B +=，当22A B =时，A B =，2a b ==，2221cos 28a b c C ab +-==-，sin 8C =，1sin 2ABC S ab C =△；当22πA B +=时，π2A B +=，π2C =， 225a c b =-=，152ABC S ab ==△. 综上：ABC 的面积为374或5. 18．某市模拟考试，共有15000名学生参加考试，随机抽取100名学生，将其成绩分为六段[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100]，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求图中a 的值并利用样本估计全市分数在[80,90)之间的人数；（2）利用样本估计该次考试的全市平均分.(每组数据用该组的区间中点值表示).【答案】（1）0.06a =，人数为7500人；（2）87.【分析】（1）根据6个矩形的面积和为1列式可求出a ，再根据频数=样本容量×频率可求出全市分数在[80,90)之间的人数；（2）用每个区间的中点值乘以相应区间的频率再相加可得结果. 【详解】（1）1(0.010.020.040.050.02)0.065a =-++++=， 全市分数在[80,90)之间的人数15000(0.040.06)57500=⨯+⨯=人.（2）设全市平均分为x ，则72.50.01577.50.02582.50.045x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯87.50.06592.50.05597.50.02587+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.【点睛】关键点点睛：掌握用频率分布直方图求平均数的方法是解题关键.19．如图甲，已知直角梯形ABCD ，//AB CD ，224AB CD BC ===，2ABC π∠=，E 为AB 的中点，将ADE沿DE 折起，使点A 到达点F (如图乙)，且23∠=FEB π.（1）证明：DE ⊥平面FEB ；（2）求四棱锥F-BCDE 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）433. 【分析】（1）根据BE CD =，AB CD ∥，π2ABC ∠=，易得DE EB ⊥，DE EF ⊥，再利用线面垂直的判定定理证明.（2）过F 作FG BE ⊥交BE 的延长线于点G ，易得FG ⊥平面BCDE ，即为四棱锥的高，再求得BCDE S ，代入锥体的体积公式求解.【详解】（1）因为BE CD =，AB CD ∥，π2ABC ∠=， 所以DE AB ⊥，所以DE EB ⊥，DE EF ⊥，又EB EF E =， 所以DE ⊥平面FEB .（2）如图所示：过F 作FG BE ⊥交BE 的延长线于点G ，则FG EB ⊥，FG DE ⊥，又EB DE E =，所以FG ⊥平面BCDE ， 又233FEG ππ∠π=-=，2FE =，所以2sin 3FG π=⋅=4BCDE S =，所以13F BCDE V Sh -==. 20．已知函数()e x f x a b =+，若()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为1y x =+.（1）求a ，b ；（2）证明：任取[0,)x ∈+∞，()2sin f x x >.【答案】（1）1a =，0b =；（2）证明见解析.【分析】（1）根据()e x f x a b =+，求导，分别求得(0)f '，(0)f 联立求解.（2）由（1）知()x f x e =，易知当1≥x 时，成立；当01x ≤<时，令2sin ()ex x g x =，用导数法证明max ()1g x <即可.【详解】（1）因为()e x f x a b =+，所以()e x f x a '=，(0)1f a '==，(0)1f a b =+=，解得1a =，0b =.（2）由（1）知()x f x e =， 当1≥x 时，e e 22sin x x ≥>≥，故成立；当01x ≤<时，令2sin ()e xx g x =，π2(cos sin )4()e e x xx x x g x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭'==， 当0,4x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增；当,14x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减，max 142()14e e g x g ππ⎛⎫==<<= ⎪⎝⎭， 故任取[0,)x ∈+∞，()2sin f x x >.21．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0），焦点为F ，过F 的所有弦中，最短弦长为4.（1）求p 的值；（2）在抛物线C 上有两点A ，B ，过A ，B 分别作C 的切线，两条切线交于点Q ，连接QF ，AF ，BF ，求证：|QF |2＝|AF |·|BF |.【答案】（1）2p =；（2）证明见解析.【分析】（1）分别求过F 的直线斜率存在时和斜率不存在时与抛物线相交的弦长，作比较可得最短为2p 可得答案；（2）设2114y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，2224y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，设过A 点且与抛物线相切的直线AQ l ：与抛物线联立解得12k y '=，可得AQ l 与 BQ l 的方程，联立得Q 坐标，求出||||AF BF 和2||QF 可得答案.【详解】（1）当过F 的直线斜率不存在时，此时弦长为2p ；当过F 的直线斜率存在时，设直线方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 联立222y px p y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩，，可得22222(2)04p k k x p k x -++=， 弦长为21222(2)222p k p x x p p p p k k +++=+=+>， 所以弦长最短为24p =，所以2p =.（2）证明：设2114y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，2224y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 设过A 点且与抛物线相切的直线AQ l ：2114y y k x y ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，联立221144y x y y k x y ⎧=⎪⎛⎫⎨=-+ ⎪⎪⎝⎭⎩'，，可得2211044k y k y y y ''--+=， 211104k y k y '⎛⎫'∆=--= ⎪⎝⎭，解得12k y '=， 可得AQ l ：21122y y y x =+，同理可得BQ l ：22222y y y x =+， 联立得121242y y y y Q +⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 2212||||1144y y AF BF ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 2222222221212121212()||111144164444y y y y y y y y y y QF ⎛⎫⎛⎫+⎛⎫=-+=+++=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以2||||||QF AF BF = .【点睛】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，本题关键是求出AQ l 和BQ l的方程，从而得到121242y y y y Q +⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 22．在极坐标系中，已知点π2A ⎫⎪⎭，B （1，π），C （1，0）. （1）求A ，B ，C 三点的直角坐标；（2）已知M 是△ABC外接圆上的任意一点，求|MA |2＋|MB |2＋|MC |2的值.【答案】（1）(0A ，(10)B -，，(10)C ，；（2）8.【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式cos ρθ=，sin ρθ=计算可得结果；（2）利用三角形△ABC 的外接圆的参数方程设M的坐标，然后用两点间的距离公式计算可得结果.【详解】（1）由π2A ⎫⎪⎭知ρ=2πθ=，所以π02A x==，π2A y (0A ， 由(1π)B ，知1ρ=，θπ=，所以1cos π1B x ==- ，1sin π0B y == ，所以(10)B -，， 由(10)C ，知1ρ=，0θ=，1cos01C x == ，1sin 00C y == ，所以(10)C ，.所以A ，B ，C三点的直角坐标分别为(0A ，(10)B -，，(10)C ，. （2）因为||2AB ==，||2AC ==，||2BC ==，所以ABC 是边长为2的等边三角形，故外接圆圆心坐标为10O ⎛ ⎝⎭，外接圆半径为2π2sin 3r ==所以外接圆的参数方程为cos 3()x y ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，为参数，，设)M αα+，所以222224cos 4sin 8sin 4||)3333MA ααααα=+=+-+，222224cos 4sin 4sin 1||1))13333MB ααααα=++=+++++，222224cos 4sin 4sin 1||1))13333MC ααααα=-+=++++， 所以222||||||MA MB MC ++=224cos 4sin 48αα++=.【点睛】关键点点睛：第（2）问利用三角形△ABC 的外接圆的参数方程设M 的坐标，然后用两点间的距离公式计算是解题关键.23．（1）已知y ＞2，224x y xy +=+，求x 的值；（2）若22x y xy +=，求22441x y x y +--+的最小值.【答案】（1）2x =；（2）1.【分析】（1）由224x y xy +=+可得(2)(2)0x y --=，然后可得答案；（2）由22x y xy +=可得(2)(2)4x y --=，然后2222441(2)(2)7x y x y x y +--+=-+--，可得答案.【详解】（1）已知224x y xy +=+，可得(2)(2)0x y --=.由于2y >，所以可得2x =.（2）由题可得(2)(2)4x y --=，2222441(2)(2)72(2)(2)71x y x y x y x y +--+=-+-----=≥， 当且仅当222x y -=-=±时取等号，故22441x y x y +--+的最小值为1.。