大一第一学期期末高等数学上试题及答案
Last revision on 21 December 2020
1、(本小题5分)
2、(本小题5分)
3、(本小题5分)
4、(本小题5分)
5、(本小题5分)
6、(本小题5分)
（第七题删掉了）
8、(本小题5分)
9、(本小题5分)
10、(本小题5分)
11、(本小题5分)
12、(本小题5分)
13、(本小题5分)
14、(本小题5分)
15、(本小题5分)
16、(本小题5分)
二、解答下列各题
(本大题共2小题，总计14分)
1、(本小题7分)
2、(本小题7分)
三、解答下列各题
( 本大题6分 )
(答案)
一、解答下列各题
(本大题共16小题，总计77分)
1、(本小题3分)
2、(本小题3分)
3、(本小题3分)
4、(本小题3分)
5、(本小题3分)
6、(本小题4分)
8、(本小题4分)
9、(本小题4分)
10、(本小题5分)
解：
)
,
(+∞
-∞
函数定义域
11、(本小题5分)
12、(本小题6分)
解：dx x t dt
='() 13、(本小题6分)
14、(本小题6分)
解：定义域，且连续(),-∞+∞
15、(本小题8分)
16、(本小题10分)
二、解答下列各题
(本大题共2小题，总计13分)
1、(本小题5分)
2、(本小题8分)
三、解答下列各题
( 本 大 题10分 )
一、填空题（每小题3分，本题共15分）
1、.______)31(lim 2
0=+→x x x 。
2、当 时，⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=00
e )(2x k x
x x f x
在0=x 处连续．
3、设x x y ln +=,则______=dy dx
4、曲线x e y x -=在点（0，1）处的切线方程是
5、若⎰+=C x dx x f 2sin )(，C 为常数，则=)(x f 。
二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1、若函数x x
x f =)(，则=→)(lim 0x f x （ ）
A 、0
B 、1-
C 、1
D 、不存在
2、下列变量中，是无穷小量的为（ ） A. )0(1
ln +→x x B. )1(ln →x x C. )
0(cosx →x D. )2(422→--x x x
3、满足方程0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的（ ）．
A ．极大值点
B ．极小值点
C ．驻点
D ．间断点
4、下列无穷积分收敛的是（ ）
A 、⎰+∞0sin xdx
B 、dx e x ⎰+∞-02
C 、dx x
⎰+∞01 D 、dx x ⎰+∞01 5、设空间三点的坐标分别为M （1，1，1）、A （2，2，
1）、B （2，1，2）。
则
AMB ∠=
A 、3π
B 、4π
C 、2π
D 、π
三、计算题（每小题7分，本题共56分）
1、求极限 x x x 2sin 2
4lim 0-+→ 。
2、求极限 )11
1(lim 0--→x x e x
3、求极限 2cos 1
02lim x dt e x
t x ⎰-→
4、设)1ln(25x x e y +++=，求y '
5、设)(x y f =由已知⎩⎨⎧=+=t y t x arctan )1ln(2，求22dx y
d
6、求不定积分 dx x x ⎰+)32sin(1
2
7、求不定积分 x x e x d cos ⎰
8、设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<+=0
110
11
)(x x x e x f x ， 求
⎰-2
0d )1(x x f
四、应用题（本题7分）
求曲线2x y =与2y x =所围成图形的面积A 以及A 饶y 轴旋转所产生的旋转体的体积。
五、证明题（本题7分）
若)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且0)1()0(==f f ，1)2
1(=f ，证明： 在(0,1)内至少有一点ξ，使1)(='ξf 。
参考答案
一。
填空题（每小题3分，本题共15分）
1、6e
2、k =1 ．
3、x
x +1 4、1=y 5、x x f 2cos 2)(= 二．单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1、D
2、B
3、C
4、B
5、A
三．计算题（本题共56分，每小题7分）
1.解：x x x 2sin 24lim 0
-+→81)24(2sin 2lim 21)24(2sin lim 00=++=++=→→x x x x x x x x 2.解 ：2
1lim 11lim )1(1lim )111(lim 0000=++=+--=---=--→→→→x x x x x x x x x x x x x x xe e e e xe e e e x x e e x 3、解： 2
cos 1
02
lim x dt e x t x ⎰-→e x xe x x 212sin lim 2cos 0-=-=-→ 4、解： )11
1(1122x x x y ++++=' 211x +=
5、解：t
t t t dx dy 211211
2
2=++= 6、解：C x d x dx x x
++=++-=+⎰⎰)32cos(21)332()32sin(21)32sin(12 7、 解： ⎰⎰=x x e x x x e d cos d cos
8、解：⎰⎰⎰⎰--+==-011
01120d )(d )(d )(d )1(x x f x x f x x f x x f … 四． 应用题（本题7分）
解：曲线2x y =与2y x =的交点为（1，1）， 于是曲线2x y =与2y x =所围成图形的面积A 为
A 绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积为：
五、证明题（本题7分）
证明： 设x x f x F -=)()(，
显然)(x F 在]1,21[上连续，在)1,2
1(内可导， 且 02
1)21(>=F ，01)1(<-=F . 由零点定理知存在]1,2
1[1∈x ，使0)(1=x F . 由0)0(=F ，在],0[1x 上应用罗尔定理知，至少存在一点 )1,0(),0(1⊂∈x ξ，使01)()(=-'='ξξf F ，即1)(='ξf …。