x x0
f (x) A (x x0 )
(3)定义 对于函数 f (x)，如果当 x 从x0右边无限地趋近
于 x0 时，函数 f (x)无限地趋近于一个常数A，则称A为
函数 f (x)当 x→ x0时的右极限，记为：
lim f (x) A 或
x x0
f (x) A (x x0 )
定理2. lim f (x)存在 lim f (x) ，lim f (x)
x x0
x x0
x x0
均存在且相等。
1
例3.
讨论函数
f
(x)
2x
1
1在x
0处是否有极限。
2x 1
1
解：lim x0
f
(x)
2x
lim
x0
1
1
=1??
2x 1
1
2x 1
lim f (x) lim
x0
x0
1
1
2x 1
1
lim
x0
f
(x)
lim
x0
2x
1
1
1 ， lim x0
f
(x) 不存在。
2. 无穷小的比较
两个无穷小的代数和、积仍为无穷小， 那么两个无穷小的商会是什么呢？
例如：当 x 0时, x, sin x,1 cos x, 3 x 等都是无穷小。
而 lim sin x 1，lim1 cos x 0，lim 3 x
x0 x
x0 x
x0 x
两个无穷小的商实际反映了在变化过程中 趋于零的速度快慢程度。为此引入定义
u
若 为无穷小且 0，则 1 为无穷大。
4. 无穷小(量)的基本性质
定理1. 设 和 为无穷小，则 也是无穷小 推论. 有限个无穷小的代数和仍为无穷小。 定理2. 设 为无穷小，u 有界，则 u 也是无穷小。 推论1. 常数乘以无穷小仍是无穷小。 推论2. 无穷小乘以无穷小仍是无穷小。
解：原式 elim (cos x0
x
1)
1 x2
1
e 2
例12. 求lim ln(1 x) x0 x
1
解：原式 limln(1 x) x lne 1 x0
例13. 求
ex 1 lim
x0 x
解：令 ex 1 t ，则 x ln(1 t) ， 当 x 0时，t 0
limex 1 lim t 1 x0 x t0 ln(1 t)
若 lim n
xn
A，c 为常数，则lim n
cxn
cA
推论2.
若 lim n
xn
A，则
lim an
An
法则3.
若
lim
n
xn
A，lim n
yn
B，且 B
0，则lim n
xn yn
A B
例1. 求下列数列的极限：
(1)
x1
1 2
，x2
1 4
，x3
1，L 8
；
(1) x1 0.9，x2 0.99，x3 0.999，L 。
例5.问当 n
时，1 sin n
1 n2
是 1的几阶无穷小？ n
3. 无穷小的主部
定义2. 给定无穷小 ，若存在无穷小 ，使得( )
为 的高阶无穷小，即lim 0或 ( )，
则称 为 的主部，此时 ( )。
４. 等价无穷小的代换定理
定理1. 如果、、、 均为无穷小， ~ ， ~
xx0
xx0
xx0
法则2. 若 lim f (x) A，lim g(x) B，则 lim[ f (x) g(x)] A B
xx0
xx0
xx0
推论1. 若 lim f (x) A，c为常数，则 lim cf (x) cA
xx0
xx0
推论2. 若 lim f (x) A，则 lim f (x)n An
有限个无穷小的乘积仍是无穷小。
推论3. 若 为无穷小，limu A，则 u也为无穷小 若 为无穷小，limu A(A 0)，则 也为无穷小。
u
(六) 两个重要极限
1. 两个重要极限
重要极限1： limsinx 1 x0 x
重要极限2： lim(1 1)x e，
1
lim(1 x) x e
第一章 极限和连续
§1.1 极限 （一） 数列的极限
1. 数列
数列常表示为 xn : x1, x2,L , xn,L
其中xn 称为数列的通项。例如： 2，4，6，L ，2n，L ；1，2，3，L ， n ，L
2 3 4 n1
单调数列：若n, xn xn1 则称xn为单调增数列， 若n, xn xn1 则称xn为单调减数列，
定理4 (保号性) 若 lim f (x) A 且 A 0 (或 A 0 )， x x0
则在点 x0 的某个邻域内，有 f (x) 0 (或 f (x) 0 )。
推论：若 f (x) 0 (或 f (x) 0 )且 lim f (x) A， xx0
则 A 0 (或 A 0)。
定理5 (夹逼定理) 设函数 f (x)，g(x)，h(x)在 点 x0 的
当 x→ x0时的极限，记为：
lim f (x) A 或
xx0
f (x) A (x x0)
(2)定义 对于函数 f (x)，如果当 x 从x0左边无限地趋近
于 x0 时，函数 f (x)无限地趋近于一个常数A，则称A为
函数 f (x)当 x→ x0时的左极限，记为：
lim f (x) A 或
•
0
(
•a
)
推论：若
xn
0
(或
xn
0
)且
lim
n
xn
a
，
则 a 0 (或 a 0)
极限存在准则
准则1.单调有界数列必有极限。
有界是数列收敛的必要条件， 单调有界是数列收敛的充分条件。
例1. 数列{(1 1)n}的极限存在。
n
lim(1 1)n e 2,7182818L
n
n
准则2. (夹逼准则)设有三个数列{xn }, { yn }, {zn }满足条件：
n(n 1)
x1
x 1
2
例6. 计算 lim n 1 x 1
1
x0
x
n
(五) 无穷小(量)和(无穷大量)
1. 无穷小(量)
定义：极限为零的数列和函数称为无穷小。
“0”是作为无穷小的唯一的常数。
如果
lim
n
xn
0 ，则称数列
xn为无穷小。
如果 lim f (x) 0，则称函数 f (x) 为x 时的无穷小。 x
某个邻域内( x0 可除外)满足条件：g(x) f (x) h(x)
且有 lim g(x) lim h(x) A，则 lim f (x) A。
x x0
x x0
x x0
极限运算法则
法则1. 若 lim f (x) A，lim g(x) B，则 lim[ f (x) g(x)] A B
x0
x0
在讨论分段函数的分割点的极限时， 一定要考虑左、右极限。
无极限举例：
1) f (x) 1，x 0 x
2) f (x) x ，x 0 x
3) f (x) sin 1，x 0 x
4) f (x) arctan 1，x 0 x
(四) 函数极限的性质
定理3 (唯一性) 若 lim f (x)存在，则极限值必唯一。 xx0
2x 1
x 1，x 0
例4.
讨论函数
f
(x)
0 ，x 0
在 x 0处是否有极限。
x 1，x 0
解：lim f (x) lim (x 1) 1，
x0
x0
lim f (x) lim (x 1) 1，
x0
x0
lim f (x) lim f (x) ， lim f (x) 不存在。
x0
(1)定义 对于函数 f (x)，如果当 x→∞ 时， f (x) 无限趋近 于常数A，则称A为函数 f (x) 当 x →∞时的极限，记为：
lim f (x) A 或 f (x) A (x )
x
(2)定义 对于函数 f (x)，如果当 x→+∞ 时， f (x) 无限趋近 于常数A，则称A为函数 f (x) 当 x →+∞时的极限，记为：
且lim 存在，则 lim lim 。
定理2. 如果、 为无穷小，且lim 0，
则 ~ 。
当 x 0 时，常见的等价无穷小
sin x ~ x, arcsinx ~ x, tan x ~ x,arctanx ~ x 1 cos x ~ x2 ,ln(1 x) ~ x,ex 1 ~ x
)
a +
表示 n 很大时， xn 几乎都凝聚在点 a 的近旁。 有极限的数列称为收敛数列，反之称为发散数列。
(二) 收敛数列的性质
定理1（唯一性）若数列{xn}收敛，则其极限值唯一。
(
•
)(
•
)
A
B
定理2（有界性）收敛数列必有界
定理3
(保号性)若
lim
n
xn
a 且 a 0 (或 a 0)
则必存在N，当 n N 时恒有 xn 0 (或 xn 0 )
如果 lim xx0
f
(x) 0 ，则称函数
f (x) 为x
x0 时的无穷小。
为了讨论方便，记无穷小 为lim 0。
定理1 (极限与无穷小的关系)
limu A 的充要条件是 u A ，其中lim 0。
2. 无穷大 定义：绝对值无限增大的数列或函数称为无穷大。