在受保守力的作用下，质点
B
从A-->B，所做的功与路径无关，
而只与这两点的位置有关。可引
入一个只与位置有关的函数，A点
的函数值减去B点的函数值，定义
A
为从A -->B保守力所做的功，该函 数就是势能函数。
AG (mgzb mgza )
Mm Mm Af [(G ) (G )] rb ra
h
2
O l （ b）
Ep（r）
（b）弹性势能曲线 （c）引力势能曲线
r0
O （c） （ d）
r
（d）原子相互作用 势能曲线
几种典型的势能曲线
势能曲线提供的信息 1、质点在轨道上任意位置时，质点系所具有的势能 值。 2、势能曲线上任意一点的斜率 的负值，
表示质点在该处所受的保守力。
3、可以表示系统的稳定状态。 3、势能曲线在分子物理、原子物理、核物理、固体 物理等领域中有重要的应用。
b a
m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点.
a
mgz a mgz b
初态量 末态量 重力做功只与质点初、末位置 有关，而与所经过的路径无关。 可见，重力是保守力。
(mg )dz
za
zb
Z
a
O

dr
mg

b
Y
X
2、万有引力的功 两个质点之间在万有引力作用下相对运动时 ，以M所 在处为原点,M指向m的方向为矢径的正方向。m受的 引力方向与矢径方向相反。
mg (l a ) mg (l a) 1 mv 2 2l 2l 2 1 g 得v (l 2 a 2 ) (l a ) 2 2 l
a
EP a a
零
F保 dr
质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用 下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。
重力势能（以地面为零势能点）
E P mgdy mg (0 y ) mgy
y
0
弹性势能（以弹簧原长为零势能点） 0 1 2 1 2 E p kx dx (0 kx ) kx x 2 2 引力势能（以无穷远为零势能点）
O
f mg (l x) / l
a
(lx x ) (l a) 2 注意：摩擦 2 a 2l l 力作负功！
mg Af f d r (l x)dx a a l l 1 2 mg mg
l l
x
(2)对链条应用动能定理： 1 1 2 2 A ＝ A ＋ A mv mv P f 0 2 2 1 v0 0 AP＋A f mv 2 2 l l mg mg (l 2 a 2 ) AP P d r xdx a a l 2l 2 mg (l a) 前已得出： Af 2l
§2－3
机械能守恒定律 能量守恒定律
一、功能原理 回顾：质点系的动能定理
A EK 2 EK1
A外＋A内 A保＋A非保
A外 A内非 A内保 EK 2 EK 1 A外 A保 A非保 EK 2 EK 1
A保
F保 dr EP 0 EP E p
3、保守力的功等于相关势能增量的负值。因此，保守 力做正功时，系统势能减少；保守力做负功时，系统势 能增加。
4、势能是由保守力和相对位置所决定的，故它是属于 整个物体系统所共有的。
一种势能为重力势能，它与依靠重力相互吸引的物体 之间的分离状态相联系。例如，举重运动员施力改变了 重物与地球的相对位置（或称为改变了系统的位形）， 他的力所做的功改变了“重物-地球”系统的重力势能。
1 2 1 2 As ( kxb kxa ) 2 2
A保
mgz GMm r 1 2 kx 2
F保 dr EP 0 EP E p
保守力所作的功等于势能增量的负值。
势能的值与零点的选择有关
零势能点
b
势能为零
A保 F保 dr EP a EP b
f mg
A f dr mg ds
a a b b
a ds f
b
mgds mgsab
a
b
即摩擦力做功与质点运动的具体路程（路径）相关。 可见，摩擦力是非保守力。
保守力：作功的大小只与物体的初末位置有关，而 与所经历的路径无关。 例如：重力、万有引力、弹性力。
（能量不能消失也不能创造，只能从一种形式转换为另一种形式）
三峡大坝 势能转换为动能 动能再转换为电能
*能量守恒定律是自然界中的普遍规律。不仅适用于 机械运动、热运动、电磁运动、核子运动等物理运动 形式，而且也适用于化学运动、生物运动等运动形式。
能量到底是什么呢？
能量是物体所具有的一种特性；
能量是我们用来与物体相联系的一个数， 它能反映物体的某种特性，所以这个数是 一个物理量！
解得v g 2 ( L l 2 ) sin L
X
例题3 一链条总长为l ，质量为m。放在桌面上并使其 下垂，下垂的长度为a，设链条与桌面的滑动摩擦系数 为，令链条从静止开始运动，则：（1）到链条离开 桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？（2）链条 离开桌面时的速率是多少？ l-a 解：(1)建坐标系如图
若A外 A非保 0
系统的机械能增加
若A外 A非保 0 若A外 A非保 0
系统的机械能减少
系统的机械能保持不变（守恒）
如果一个系统中只有保守内力作功，其它内力和一切 外力都不作功，则系统的总机械能保持不变。
机械能守恒定律
机械能守恒定律是从功能原理推导得来的。
应用机械能守恒定律要注意的问题：
A F dr 0
在保守力作用下，物体沿闭合路径运动一周，力所做 的功为零。 非保守力：作功与路径有关的力。
例如：摩擦力。
A F dr 0
二、势能
势能——是与有相互作用的物体构成的系统的位形 相联系的能量。 如果系统的位形改变了，系统的势能也就改变了。
l A m
T P
v0
TB 0 v0 5 gl
完成圆周运动的条件
例题2 一质量为m的均匀绳索长度 D 为L，t=0时放在光滑面ABC上，绳 子在斜面部分长为l，如图所示，求 A 绳索D端滑到B点时的速率。
Y
B
C
解：取绳索、光滑面、地球为系统，机械能守恒。 取AB面为重力势能零点，系统初始状态的机械能为 l l E1 mg ( sin ) L 2 1 2 L 系统末状态的机械能为 E2 mv mg ( sin ) 2 2 由机械能守恒： E1 E2
§2－2
保守力 势能
一、保守力与非保守力
某些力对质点做功的大小与路径无Fra bibliotek，而只与质点的 初末位置有关。这种力称为保守力。
A F dr 0
典型的保守力： 重力、万有引力、弹性力
与保守力相反的是非保守力
典型的非保守力： 摩擦力
1、重力的功
b AG mg dr (mg)k (dxi dyj dzk )
A外 A非保 ( EK EP ) ( EK 0 EP 0 )
机械能E
A外 A非保 E2 E1
外力和系统非保守内力对系统做功之和等于系统机 械能的增量------功能原理 定理 功是机械能变化的量度，所以机械能的变化需要通过做 功来实现，A外反映系统和外界的能量转换，A非保内反映系 统内部机械能和其他形式能量的转换；如系统内有滑动摩 擦力时，A非保内为负值，表明系统的一部分机械能转换成 了系统的内能。 功能原理实际上是动能定理的变形，不同之处在于将保 守力所作的功用势能代替。在运用时应注意：如在考虑机 械能时引入了重力势能，由于物体的重力势能即为内力 （保守力）做功，在计算合外力做功时应剔除重力做功； 同样如引入弹性势能，就不应再考虑弹簧的弹力做功。
1)选择好系统，分清内力与外力。 2)分清系统的内力中的保守力和非保守力，判断 机械能守恒定律的条件是否满足。 3)选择合适的势能零点。
例题：如图所示,一雪橇从高度为50m的山顶上点A沿冰 道由静止下滑.坡道AB长500m.雪橇在水平冰道继续滑行 若干米后停止在C.若雪橇与冰道的动摩擦系数为0.02。 求此雪橇沿水平冰道滑行的路程. FN
另一种势能是弹性势能，它与弹性物体（例如弹簧） 的压缩和伸长的状态相联系。如果你推压或拉长一个弹 簧，你做的功就改变了弹簧的各圈之间的相对位置。你 做功的结果是增加了该弹簧的弹性势能。
三、势能曲线 ——势能随位置变化的曲线。
Ep（h） Ep（l） （a）重力势能曲线
O
O
（ a） 1 2 E p Ep（r） r
F kxi
A F dr
a
b
xb
xa
1 2 1 2 (kxi ) dxi kxa kxb 2 2
1 1 2 2 kxa kxb 2 2
初态量 末态量 弹簧振子

可见，弹性力是保守力。
4、 摩擦力的功
设一质点在粗糙的水平面上运动，滑动摩擦力的方向 始终与质点运动方向相反
A非保－摩擦力的功
A非保
f dr
fds ( mg cos ) s mgs f ds
A B
B
C
mgs cos mgs mgh
三、能量守恒定律
能量都有哪些形式呢？机械能，热能，电磁能，化学 能，原子能，…… （1）能量可以相互转换； （2）孤立系统，能量的总量保持不变。 在一个孤立系统内，不论发生何种变化过程，各种 形式能量之间无论怎样转换，但总的能量将保持不 变，这就是能量守恒定律。