2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（一）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}02|>-=x x A ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛=121|xx B ，则（ ）A ．{}20|≤<=x xB A B ．{}0|<=x x B AC ．{}2|<=x x B AD ．R B A =2.已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z 满足ai a i z +=+3，若复数z 是纯虚数，则（ ） A ．3=a B ．0=a C ．0≠a D ．0<a3.我国数学家邹元治利用下图证明了购股定理，该图中用勾()a 和股()b 分别表示直角三角形的两条直角边，用弦()c 来表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（ ）A ．4925 B ．4924 C ．74 D ．754.已知等差数列()n a 的前n 项和为n S ，且π=69S ，则=5tan a （ ）A ．33 B ．3 C.3- D ．33- 5.已知函数())(R a xax x f ∈+=，则下列结论正确的是（ ） A ．)(,x f R a ∈∀在区间()∞+，0内单调递增B ．)(,x f R a ∈∃在区间()∞+，0内单调递减 C.)(,x f R a ∈∃是偶函数D ．)(,x f R a ∈∃是奇函数，且()x f 在区间()∞+，0内单调递增 6.()()421x x -+的展开式中x 项的系数为（ ）A ．-16B ．16 C. 48 D ．-487.如图是某个集合体的三视图，则这个几何体的表面积是（ ）A ．424++πB ．4242++π C. 2242++π D ．4222++π 8.若10,1<<<>b c a ，则下列不等式不正确的是（ ） A ．b a 20182018log log > B ．a a c b log log < C.bca c a a c a )()(->- D ．()()bca b c a b c ->-9.执行如图所示的程序框图，若输出的n 值为11，则判断框中的条件可以是（ ）A ．?1022<SB ．?2018<S C. ?4095<S D ．?4095>S 10.已知函数()⎪⎪⎭⎫⎝⎛π≤ϕ>ϕϕ+ϖ=20)sin(2，x x f 的部分图象如图所示，将函数()x f 的图象向左平移12π个单位长度后，所得图象与函数)(x g y =的图象重合，则（ ）A ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=32sin 2x x g B ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=62sin 2x x g B ．C.()x x g 2sin 2= D ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=32sin 2x x g 11.已知抛物线x y C 4:2=的焦点为F ，过点F 作斜率为1的直线l 交抛物线C 于Q P ,两点，则QFPF 11+的值为（ ） A ．21 B ．87C. 1 D ．2 12.已知数列{}n a 中，()*+∈+=-=N n a a a n a n n n ,1,211，若对于任意的[]*∈-∈N n a ,2,2，不等式12121-+<++at t n a n 恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．(][)+∞-∞-,22, B ．(][)+∞-∞-,12, C. (][)+∞-∞-,21, D ．[]2,2-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()()1,3,,1=λ=b a ，若向量b a -2与()2,1=c 共线，则向量a 在向量c 放心上的投影为 ．14.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤=+,1,2,4x y x y x 则13+-=y x z 的最大值是 ．15.过双曲线()0,012222>>=-b a bx a y 的下焦点1F 作y 轴的垂线，交双曲线于B A ,两点，若以AB 为直径的圆恰好过其上焦点2F ,则双曲线的离心率为 ．16.一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若B c C b A a cos cos cos 2+=. (1)求角A 的大小；(2)若点D 在边AC 上，且BD 是ABC ∠的平分线，4,2==BC AB ，求AD 的长.18. 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥1CC 底面ABC ,且BC AC BC AC CC ⊥==,221,D 是棱AB 的中点，点M 在侧棱1CC 上运动.(1)当M 是棱1CC 的中点时，求证：//CD 平面1MAB ； (2)当直线AM 与平面ABC 所成的角的正切值为23时，求二面角11C MB A --的余弦值.19. 第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行,这是2017年我国重要的主场外交活动,对推动国际和地区合作具有重要意义.某高中政数处为了调查学生对“一带一络"的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制),如茎叶图所示. (1)写出该样本的众数、中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数； (2)从所轴取的70分以上的学生中再随机选取4人. ①记X 表示选取4人的成绩的平均数,求)87(≥X P ；②记ξ表示测试成绩在80分以上的人数,求ξ的分布列和数学期望.20.已知椭圆 )0(12222>>=+b a b y a x C ：的左、右焦点分别为21,F F ,离心率为31，点P 在椭圆C 上，且21F PF ∆的面积的最大值为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线)0(2:≠+=k kx y l 与椭圆C 交于不同的两点N M ,，若在x 轴上存在点G ，使得GN GM =，求点G 的横坐标的取值范围.21. 设函数e R a a x a e x f x,),ln(2)(∈+--=为自然对数的底数.(1)若0>a ,且函数)(x f 在区间),0[+∞内单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若320<<a ，试判断函数)(x f 的零点个数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为141622=+x y ，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3)3sin(=π+θρ. (1)求直线l 的直角坐标方程和椭圆C 的参数方程；(2)设),(y x M 为椭圆C 上任意一点，求132-+y x 的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数|2|)(-=x x f .(1)求不等式4)2()(≤++x f x f 的解集；(2)若)2()()(x f x f x g +-=的最大值为m ，对任意不想等的正实数b a ,，证明：||)()(b a m a bf b af -≥+.试卷答案一、选择题1-5: DBBCD 6-10: ABCCA 11、12：CA二、填空题13.0 14.31-15.21+ 16.π34 三、解答题17.解：(1)在ABC ∆中，∵B c C b A a cos cos cos 2+=,∴由正弦定理，得B C C B A cos sin cos sin cos sin 2+=A CB sin )sin(=+=，∵0sin ≠A ，∴21cos =A ， ∵()π∈，0A ， ∴3π=A . (2)在ABC ∆中，由余弦定理得A AC AB AC AB BC cos 2222⋅-+=，即AC AC 24162-+=,解得131+=AC ,或131-=AC （负值，舍去）∵BD 是ABC ∠的平分线，4,2==BC AB ，∴21==BC AB DC AD ,∴313131+==AC AD . 18.解：(1)取线段1AB 的中点E ，连结EM DE ,. ∵1,EB AE DB AD ==, ∴1//BB DE ，且121BB DE =. 又M 为1CC 的中点， ∴1//BB CM ,且121BB CM =. ∴DE CM //,且DE CM =. ∴四边形CDEM 是平行四边形. ∴EM CD //.又⊂EM 平面⊄CD M AB ,1平面M AB 1, ∴//CD 平面1MAB .(2)∵1,,CC CB CA 两两垂直，∴以C 为原点，1,,CC CB CA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Cxyz ，如图,∵三棱柱111C B A ABC -中，⊥1CC 平面ABC ， ∴MAC ∠即为直线AM 与平面ABC 所成的角. 设1=AC ，则由23tan =∠MAC ，得23=CM . ∴()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0,0,2,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,01M B B A C .∴()2,1,1,23,0,11-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=AB AM , 设平面1AMB 的一个法向量为()z y x n ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,02,0231z y x n AB z x n AM 令2=z ，得1,3-==y x ，即)2,1,3(-=n . 又平面11B BCC 的一个法向量为)0,0,1(=CA , ∴14143|,cos |=⋅=nCA n CA n CA , 又二面角11C MB A --的平面角为钝角， ∴二面角11C MB A --的余弦值为14143-. 19.解：(1)众数为76，中位数为76.抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人， 故从该校学生中人选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率为32128=，故该校这次测试成绩在70分以上的约有2000323000=⨯（人）(2)①由题意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94. 当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类. 一类是82，88，93，94，共1种； 另一类是76，88，93，94，共3种. 所以 3524087(48==≥C X p . ②由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3，4701)0(484404===ξC C C P , ()35870161483414====ξC C C P , 35187036)2(482424====ξC C C P ,()35870163481434====ξC C C P , 701)4(480444===ξC C C P . ξ的分别列为ξ1234P701358 3518358 701 ()2701435833518235817010=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξ∴E20.解：(1)由已知得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==⨯⨯=,,22221,31222b a c b c a c解得1,8,9222===c b a ，∴椭圆C 的方程为18922=+y x .(2)设()()2211,,,y x N y x M ，MN 的中点为()00,y x E ，点()0,m G ，使得GN GM =, 则MN GE ⊥.由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,189,222y x kx y 得()036369822=-++kx x k ，由0>∆，得R k ∈.∴8936221+-=+k kx x ， ∴89162,891820020+=+=+-=k kx y k k x . ∵,MN GE ⊥∴kk GE 1-=，即k k k k 189180891622-=+--+， ∴kk k k m 8928922+-=+-=. 当0>k 时，21289289=⨯≥+k k （当且仅当kk 89=，即322=k 时，取等号）， ∴0122<≤-m ； 当0>k 时，21289-≤+k k （当且仅当kk 89=，即322-=k 时，取等号），∴1220≤<m ， ∴点G 的横坐标的取值范围为⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-122,00,122U . 21.解：(1)∵函数()x f 在区间[)∞+，0内单调递增， ∴01)('≥+-=ax e x f x在区间[)∞+，0内恒成立. 即x ea x-≥-在区间[)∞+，0内恒成立. 记()x ex g x-=-，则01)('<--=-x e x g 恒成立，∴()x g 在区间[)∞+，0内单调递减, ∴()()10=≤g x g ，∴1≥a ，即实数a 的取值范围为[)∞+，1. (2)∵320<<a ，ax e x f x+-=1)('， 记)(')(x f x h =，则()01)('2>++=a x e x h x， 知)('x f 在区间()+∞-,a 内单调递增. 又∵011)0('<-=a f ，01)1('>+-=aa e f ， ∴)('x f 在区间()+∞-,a 内存在唯一的零点0x ， 即01)('000=+-=ax ex f x ， 于是ax ex +=01，()a x x +-=00ln . 当0x x a <<-时，)(,0)('x f x f <单调递减； 当0x x >时，)(,0)('x f x f >单调递增. ∴()())ln(200min 0a x a ex f x f x +--==a a ax a x x a a x 3231210000-≥-+++=+-+=， 当且仅当10=+a x 时，取等号. 由320<<a ，得032>-a ， ∴()()00min >=x f x f ，即函数()x f 没有零点. 22.解：(1)由33sin =⎪⎭⎫⎝⎛π+θρ， 得3cos 23sin 21=θρ+θρ， 将θρ=θρ=sin ,cos y x 代入，得直线l 的直角坐标方程为063=-+y x . 椭圆C 的参数方程为ϕ⎩⎨⎧ϕ=ϕ=(sin 4,cos 2y x 为参数）.(2)因为点M 在椭圆C 上，所以设)sin 4,cos 2(ϕϕM ， 则1sin 4cos 34132-ϕ+ϕ=-+y x913sin 8≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛π+ϕ=， 当且仅当13sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛π+ϕ时，取等号， 所以9132max =-+y x .23.解：(1)不等式()4)2(≤++x f x f ， 即42≤+-x x ，此不等式等价于⎩⎨⎧≤--≤,42,0x x x 或⎩⎨⎧≤+-≤<,42,20x x x 或⎩⎨⎧≤+->.42,2x x x解得01≤≤-x ，或20≤<x ，或32≤<x .所以不等式()4)2(≤++x f x f 的解集为{}31|≤≤-x x .(2)()|||2|)2()(x x x f x f x f --=+-=， 因为()2|2|2=--≤--x x x x ，当且仅当0≤x 时，取等号，所以()2≤x g ，即2=m ，因为b a ,为正实数，所以()()22-+-=+a b b a a bf b af()()b ab a ab b ab a ab 2222---≥-+-=b a m b a -=-=2，当且仅当()()022≤--a b 时，取等号.即()()()||b a m a bf b af -≥+.。