即τmax 、τmin作用面上
1
x
y
2
3.
m m a in x x 2y (x 2y)2x 2
max
max
min
2
例：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的 破坏现象。
解：圆轴扭转时横截面边缘处切应力最大
T M
WP WP 作应力状态图
x y 0
x
m m a in x x 2y (x 2y)2x 2
x 2 y x 2 yc o s2 xsin 2
x 2ysin2xcos2
x 2 y x 2 yc o s2 xsin 2
x 2ysin2xcos2
⑴ σx 、τx 是法线与x 轴平行的面上的正应力与切应力，即x
面上的正应力与切应力；σy 、τy 是法线与y 轴平行的面上的正应 力与切应力，即y 面上的正应力与切应力。
单元体任意部分平衡
由截面法和平衡条件可求 得任意方位面上的应力，即 点在任意方位的应力。
二、应力状态的分类
1.主平面 单元体上无切应力的平面。
2.主应力 作用在主平面上的正应力。
3.应力状态的分类 任何点的应力状态总可找到三对互相垂直的主平 面构成的六面体，作用三对主应力，且有：
1 2 3
（按代数值大小排序）
即对于同一点互相垂直面上的正应力之和是常量。
三、最大切应力及其作用平面的位置
求与z 轴平行所有截面上的最大切应力及方位
x 2ysin2xcos2
d 0 d
(xy )c o s 21 2x s in 21 0
解得：
tan21
x y 2x
可确定两个相互垂直
的截面 1,1 90
代入平面应力状态下任意斜截面上切应力表达式
第十三章 应力状态分析 §13-1 引言
一、应力状态的概念
1. 点的应力状态 过受力构件内一点所作各截面上的应力情况，即
过受力构件内一点所有方位面上的应力总体。
2. 一点应力状态的描述 以该点为中心取无限小正六面体（单元体）为研
究对象，单元体三对互相垂直的面上的应力可描述 一点应力状态。
单元体三对面的应力已知 ，单元体平衡
2.
tan20
2x x y
即σmax 、σmin 作用面是互相垂直的面，为α0截面和 α0+90o截面。
3. σmax作用面方位角度α0
x y 0 45o
x y
0 45o
x y
x 0 x 0
0 45o 0 45o
4.
m m a in x x 2y (x 2y)2x 2
m axm inxy
x 63.7MPa y 0 x76.4MPa
主应力作用面的方位角
0 1 2 a r c ta n (x 2 xy) 1 2 a r c tg (2 6 3 7 .6 7 .4 ) 3 5 3 6 .6 .3 9 1 o o
x y
1 3 3 .6 9 o 3 5 6 .3 1 o
解：⑴ 求C 点所在截面的剪力、弯矩 F
FS 2 50kN MFl 25kNm
8 ⑵ 求C 点在横截面上的正应力、切应力
CM Iz y2 2 5 0 0 1 0 6 3 0 0 6 30 0 1 0 1 1 0 2 /3 1 /2 41 .0 4 M P a C 3 2 F b h S(14 h y 2 2)2 2 3 0 0 5 0 6 0 1 0 0 3 1 0 6(1 4 6 0 1 0 5 2 0 2 1 0 1 0 6 6)
01 2arctan(x2xy) 4455oo
圆轴扭转时表面各点σmax所在平面连成倾角为45o的螺旋面， 由于铸铁抗拉强度低，所以试件沿此螺旋面断裂破坏。
例：一薄壁圆筒受扭转和拉伸同时作用如图。已知圆筒的平 均直径d = 50mm，壁厚t = 2mm，外力偶M = 600N·m，拉力F
= 20kN。薄壁管截面的抗扭系数可近似取为WP= πd2t / 2。试用
63.7sin240o(76.4)cos240o 2
10.7M Pa
x 63.7MPa y 0 x76.4MPa
⑶ 求D 点的主应力和主方向及最大切应力
Hale Waihona Puke m m a in x x 2y (x 2y)2x 2
63.7 2
(63.7)2(76.4)2 2
114.6M P a
50.9M
P
a
1 1 1 4 . 6 M P a2 03 5 0 . 9 M P a
D 点最大切应力
m a x1 23 1 1 4 .6 2 ( 5 0 .9 ) 8 2 .7 5 M P a
§13-3 平面应力状态应力分
一、应力圆方程
析的图解法
x 2 y x 2 yc o s2 xsin 2 x 2 y x 2 yc o s2 xsin 2
x 2ysin2xcos2
,τx )和E(σy ,τy )两点
连接DE与横坐标轴交于 C 点，以点C 为圆心、CD 半径作圆
三、应力圆的应用
1. 确定单元体斜截面上的应力
以CD为基线，沿与α角转向相同方向转2α到新半
径CH，则H 点坐标表示截面α的σα、τα 。
H点横坐标
O CCHcos(202)
O C C H c o s 2 0 c o s 2 C H s in 2 0 s in 2
1 1 1 4 . 6 M P a2 03 5 0 . 9 M P a
ca 到σ1 对应点逆时针转过67.5o
1
67.5o 2
33.8o
ca 到σ3 对应点顺时针转过112.5o
3
112.5o 2
56.3o
由应力圆可得
max82.75M Pa
§13-4 复杂应力状态的最大应力
一、三向应力圆
· 三向应力状态 · 二向应力状态 · 单向应力状态
三个主应力都不等于零。 两个主应力不等于零。 只一个主应力不等于零。
§13-2 平面应力状态应力分 析的解析法
一、任意斜截面上的正应力和切应力
Fn 0: F 0:
d A (x d A c o s) s i n (x d A c o s) c o s
1.07M Pa
x 2ysin2xcos2
1.04sin80o0.469cos80o 2
0.59M Pa
二、主应力及主平面位置
求与z 轴平行所有截面上的最大（小）正应力及方位
d d
0 x 2 yx 2 xy 2 ( 2 ys c io n s2 2 0 ) x s x i(n 2 2 c o s2 0)0
(y d A s i n ) c o s (y d A s i n ) s i n 0
d A (x d A c o s) c o s (x d A c o s) s i n
(y d A s i n ) c o s (x d A s i n ) s i n 0
平面应力状态下任意斜截面上应力表达式
D63.7M Pa D76.4MPa
⑵ 作出D点的应力状态图
x 63.7MPa y 0
120o
x 76.4MPa
作应力圆，将ca 沿逆时针转240o 得d 点（或将cb 沿逆时针转60o 得d 点），该点坐标为所求截面的应力
120o 50.3M Pa 120o 10.7MPa
由应力圆可得
⑵ 正应力：拉应力为正，压应力为负；切应力：对单元体 内任意点的矩顺时针为正，反之为负。
⑶ 斜截面角度：从x 轴正向转到斜截面外法线所转过的角度， 逆时针转为正，顺时针转为负。
例：矩形截面简支梁在跨中作用集中力F。已知F =100kN，l = 2m ，b = 200mm ，h = 600mm ，α =40o，求离支座l /4 处截面C点 在斜截面n-n上的应力。
= 20kN。薄壁管截面的抗扭系数可近似取为WP= πd2t / 2。试用
图解法求过点D 指定斜截面上的应力、点的主应力和主方向及 最大切应力。
解：⑴ 求D 点在横截面上的正应力、切应力
D F A N F d t 5 2 0 0 2 1 0 3 1 0 6 6 3 .7 M P a
D W T P d M 2 t/2 2 5 0 2 ( 6 2 0 0 1 )0 9 7 6 .4 M P a
x 2ysin20xcos200
解得：
tan20
2x x y
可确定两个相互垂直
的截面 0,0 90
代入平面应力状态下任意斜截面上正应力表达式，得：
m m a in x x 2y (x 2y)2x 2
1. x 2ysin20xcos200
0 0
即σmax 、σmin 作用面上τ = 0，即α0截面为主平面，σmax、 σmin为主应力。
m mainx
(x
y
2
)2
x2
1.
tan21
x y 2x
tan20
2x x y
即τmax 、τmin 作用面是互相垂直的面，为α1截面和
α1+90o截面，且α1=α0+45o 。
2. (xy )c o s 21 2x s in 21 0
1 x 2 y x 2 yc o s2 1 xsin 2 1
单元体作用三个主应力
1 2 3
平行于主应力σ1 方向的任意斜面 I 上的正应力和切应力与 σ1无关，可由应力圆 I 表示。
x 2ysin2xcos2
2.确定主应力的大小及主平面的方位 A、B点对应的横坐标分别表示对应主平面上的主应力。 ⑴ A、B点对应正应力的极值
m m a in x O C C A x 2y( x 2y)2x 2
⑵ CA、CB夹角为180o，所以两主平面的夹角为90o。