[基金项目]长江大学精品课程（概率论与数理统计）
Dirichlet 积分的计算方法
赵天玉（长江大学 信息与数学学院，湖北 荆州 434023）
[摘要] 著名的Dirichlet 积分在物理学等领域有广泛的应用．本文以积分变换为研究工具，采用数学物理方法，给出了计算Dirichlet 积分的六种方法． [关键词] Dirichlet 积分；Fourier 变换；Laplace 变换；广义函数
The Calculation Method of Dirichlet Integral
ZHAO Tian-yu
(School of Information and Mathematics, Yangtze University, Jingzhou ,434023, China)
Abstract The famous Dirichlet integral is widely used in physics and other fields. In this paper, the integral transform as a research tool, using the methods of mathematical physics, six kinds of calculation methods for Dirichlet integral is given.
Keywords Dirichlet integral ; Fourier transform; Laplace transform; Generalized function
积分
sin 2
x dx x π
+∞
=⎰
是著名的Dirichlet 积分，在光学、电磁学、无线电技术和有阻尼的机械振动等领域有广泛的应用[1]
．因为该积分收敛非绝对收敛，被积
函数的原函数不能用初等函数表示，不能用传统的牛顿－莱布尼茨公式求出该积分值，所以该积分在《数学分析》和《复变函数》教材中作为典型例子来讨论，寻求该积分的种种不同的计算方法一直是人们感兴趣的研究课题．文献[2-3]总结了该积分多种不同的计算方法，但这些方法多数不但比较复杂，需要较高的分析技巧，而且需要较广的数学知识．在多年的教学实践中，作者发现用数学物理方法很容易解决这个问题．本文首先综述了计算Dirichlet 积分的传统经典方法，即含参变量积分法和围道积分法，然后以积分变换和广义函数为研究工具，采用数学物理方法，给出了计算Dirichlet 积分四种新方法．
1 含参变量积分方法
我们知道，含参变量积分
sin ()(0)px x
F p e dx p x
+∞
-=
>⎰ （1） 11
000cos cos px
px
e
xydy dx dx e xydy +∞
+∞--⎛⎫=
= ⎪⎝⎭
⎰⎰⎰⎰
由于cos px
px
e
xy e
--≤，积分
px e dx +∞
-⎰收敛，由Weierstrass M 判别法，含参变量积分
cos px
e xydx +∞
-⎰
在[0,1]上一致收敛．由于cos px e xy -在[0,)[0,1]+∞⨯上连续，根据积分顺序交换定理[4]
，11
22
1
()cos arctan px
p F p dy e
xydx dy p y p
+∞
-===+⎰⎰⎰
． 又由阿贝尔(Abel) 判别法知，积分（1）在0p ≥时一致收敛，根据连续性定理[4]，
()F p 在0p ≥时连续，故
000
sin 1(0)lim ()lim arctan 2
p p x dx F F p x p π
+++∞
→→====⎰
2 围道积分方法
设()iz
e f z z =，12,L L 分别是实数轴上[,]R r --与
[,]r R 线段，,r R C C 分别是以原点为圆心，以r 与R 为
半径的上半圆周，Γ是如图1所示的积分路径．由Cauchy-Goursat 定理知，()0f z dz Γ
=⎰，即
1
2
()()()()0R
r
L L C C f z dz f z dz f z dz f z dz +++
=⎰⎰⎰⎰
（2）
经化简1
2
sin ()()2R
L L r
x
f z dz f z dz i dx x +=⎰⎰⎰
，由小圆弧引理[5]，0lim ()r
r C f z dz i π+→=-⎰，由Jordan 引理[5]，lim
()0R
R C f z dz →+∞
=⎰
．在式（2）两边令0,r R +→→+∞，并整理
得：
sin 2
x dx x π
+∞
=⎰
3 Fourier 变换方法
图1 围道积分路径
设1,1;
()0, 1.t f t t ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则它的Fourier 变换为[()]()j t F f t f t e dt ω+∞
--∞
=⎰sin 2ωω=
()F ω．
当1t <时，有1
1
()[()]()2j t
f t F F F e d ωωωωπ
+∞
--∞
==⎰
2
sin cos t
d ωωωπ
ω
+∞
=
⎰
，
特别取0t =得：
sin 2
d ω
π
ωω
+∞
=
⎰
．
4 能量积分方法
设()f t 在Fourier 变换下的象函数为()F ω，则有
2
2
1[()]()2f t dt F d ωωπ+∞
+∞
-∞
-∞
=⎰⎰
（3）
式（3）称为Parseval 等式[6]
，其中2[()]f t dt +∞
-∞
⎰称为()f t 的能量积分.
将上文中Fourier 变换方法的()f t 和()F ω应用在式（3）中，可以得到
22
0sin 2
d ω
π
ωω+∞
=
⎰
．又由分部积分法，
22
sin d ω
ωω+∞
=
⎰
sin 2sin u
d du u
ω
ωω
+∞
+∞
=⎰
⎰
，故 0
sin 2
u du u π
+∞
=⎰
． 5 Laplace 变换方法
设()sin f t t =，则它的Laplace 变换为0
[()]()st L f t f t e dt +∞
-=
⎰
21
1
s =
+()F s ．
又0sin lim 1t t t →=，()arctan 2s
F s ds s π
∞
=-⎰，由Laplace 变换象函数的积分性质[6]，有sin t L t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦()arctan 2s
F s ds s π∞=-⎰，特别取0s =得：0
sin 2
t dt t π
+∞
=⎰
． 6 广义函数方法
单位脉冲函数()t δ也叫狄拉克(Dirac)函数，简称δ-函数，它是一个广义函
数，是弱收敛函数序列的弱极限[6]，即对于任何一个无穷次可微的函数()f t ，有
sin ()()lim
()(0)t
t f t dt f t dt t ωωδωπ+∞
+∞
→+∞-∞
-∞
=>⎰⎰ （4）
在式（4）中特别取()1f t =，由δ-函数的筛选性质知，左边()1t dt δ+∞
-∞
=⎰，右边
积分中作换元变换u t ω=得：0
sin 1sin 2
sin lim lim t u u
dt du du t u u
ωωωπππ+∞+∞+∞
→+∞→+∞-∞-∞
==
⎰⎰⎰
．故 0
sin 2
u du u π
+∞
=⎰
. 参考文献
[1] 梁昌洪．复变函数札记[M ]．北京：科学出版社，2011．
[2] 匡继昌．Dirichlet 积分九种解法的思路分析[J ]．高等数学研究，2012，15 ( 4) ：62~ 66.
[3] 张瑰，张梅. 对Dirichlet 积分的几种简便证明[J ]．高等数学研究，2005，8（4）：28~29. [4] 华东师范大学数学系. 数学分析（下册）[M].第三版.北京：高等教育出版社，2001. [5] 姚端正，梁家宝．数学物理方法[M ]．第二版.武汉：武汉大学出版社，1997． [6] 张元林．积分变换[M ]．第四版.北京：高等教育出版社，2003．。