fX
2 ye
y
y 2
y fX y
1 0 ey
y
y0
2y
求随机变量Y=g(X)的密度函数的 另一种方法：公式法
定理2.4.1 若随机变量X和随机变量Y=g(X)的
密度函数分别为 f X (x)， fY (y),
当 y=g(x) 是严格单调可微函数，且g´(x) ≠0
x0 x0
试求：Y X 2 的密度函数
当 y 0 时, FY (y) P{Y y} P{X 2 y}
P{ y X y} FX y FX y
fY
(
y)

FY
(
y
)

y
FX

y FX
y
y

.
P{aX b y} P{X y b}
a
yb FX ( a )
a 0
a 0
例2. 已知随机变量X ~ U(2,4) ,
求Y X 2的概率密度函数。
1
f (x)


2
2 x4
0, 其它
1.当y≤0时， FY ( y) P{Y y} P{ X 2 y} =0
(2)Y ln X
x0 x0
(3)Y e 2X
y3
(1)Y 2X 3
x h( y) 2
fY
( y)
fX (
y
2
3 )
y
3 2 y


1 4
e
(
y3 4
)
,
0
y3 y3
(2) Y ln X x e y
2.当y≥0时， FY ( y) P{Y y} P{ X 2 y}
P{ y X y}
FX ( y ) FX ( y )
2.当y≥0时，
1 f ( x) 2
2 x4
0, 其它
FY ( y) P{Y y} FX ( y) FX ( y)
若X取值x 时，Y 取值为y=g(x)，
则称Y为随机变量X的函数。
记为：Y=g(X)
例1 设随机变量X的分布律为
X －1 0
1
2
pk 0.2 0.3 0.4 0.1
求Y=2X 2 +1的分布律．
Y的可能取值为： 1,3,9
P{Y=1}= P{ X 0)
0.3
P{Y=3}= P{X 1} P{X 1} 0.2 0.4
Y ~ N a b,a 2
例：
已知X ~ N (0,1), 则Y 2X 1的概率密度函数为：
Y ( y)
1
y12
e 24
2 2
y
设试求随：机变(1量)YX的2密X度函3数的为密f度( x函) 数012 e
x
2,
已知
求Y=g(X)
密度函数 f X(x) 分布函数 FX(x)
f Y(y)=?
FY(y)=?
基本方法：分布函数法
第一步：求Y的分布函数 FY (y)
第二步： 对FY(y) 求导，得到 fY(y)
例题讲解
例1：已知随机变量X的分布函数FX(x),
则随机变量Y=aX+b (a>0)的分布函数
FY(y)= P{Y y}
问题的提出
例1： 测量圆轴截面的直径d,而关心的却是
截面积： S 1 d 2
4
d 为随机变量, S 就是随机变量d 的函数。
例2：在无线电接受中， 某时刻收到的信号是一个已知分布的随机变量X, 若把这个信号通过平方检波器， 则输出的信号为Y=X2,需要求Y的概率分布
随机变量的函数
定义：
设X是一个随机变量 g(x)是连续函数
P{Y=1
3
9
pk 0.3 0.6 0.1
设随机变量X的分布律为
X -2 -1 0
1
3
P1
1
1
1
1
5 2 5 15 30
求Y=X2 的分布律．
Y0
1
4
9
1
11
1
1
pk 5
2 15
5
30
若X为连续型随机变量， y=g(x)为连续函数, 则Y=g(X)为连续型随机变量.
fY ( y) FY ( y) FX ( y ) FX ( y )
f X ( y )( y )y f X ( y )( y )y
fX(
y) 1 0 ( 2y
y )y
1 =01
2 2y
2 y 4
设随机变量X的密度函数为
f ( x) 2xe x 2 , 0
则
fY ( y) f X [h( y)] h( y)
其中x=h(y)为Y=g(x)的反函数
例题讲解
例1 设随机变量X服从[90，110]上的均匀分布,
求 Y=0.1X+10的密度函数。
1
f ( x) 20 0
90 x 110 其他
y=0.1x+10─严格单调可微
y 10 x h( y) 0.1
e 2σ2
2 πσ
h( y) y b a
fY ( y) f X [h( y)] h( y)
( yb μ)2
1

e
a 2σ2
1
2 πσ
|a|
[ y(baμ)]2

1

e
2(aσ )2
2π |a|σ
Y ~ N a b,a 2
重要结论
设X ~ N (, 2 ),Y aX b, （a 0),则
1 2
ln
y


1 2
ln
y


1 4

y
3 4
0
0 y1 其它
f (x)

1
e

2
x
2,
0
x0 x0
fY y
fX ey
ey

y

1 e
ey
2 ey

y
2
(3)Y e 2 X
x 1 ln y 2
f (x)

1
e

2
x
2,
x0
0
x0
fY y
f
X


fY ( y)
f X [h( y)] h( y)

f
X

y 0.110

1 0.1


1
20
1 0.1
90 y 10 110; 0.1
0
其他
设X ~ N (, 2 ),Y aX b, （a 0),则
f (x)
1
( x μ)2