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3)
x0
F (0) P ( X 0) P(1 X 0) P( X 0)
P ( 1 X 0, X 0) P ( X 0) 3 01 1 5 dx 4 1 2 4 8
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4) 0 x 1, F ( x ) P ( X x ) P(1 X 0) P( X 0) P(0 X x )
X ~ H (n, N1 , N 2 )
取n 次品数 正品数
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4. 几何分布:
P( X k ) p(1 p)k 1 (k 1,2,)
1 1 p EX , DX 2 p p
在连续独立重复试验中，假设成功的概率为p, 首次取得 成功所进行的试验次数X服从几何分布。几何分布具有 “无记忆性”：
2 (1 cos 2 x ), 0 x f ( x) 2 0, 其 他
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例题： 假设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障 的次数N（t）服从参数为λt 的泊松分布. 求相继两次故障 之间时间间隔T的概率分布。 解：T的可能值为[0，+∞） 当t<0时, FT (t ) P(T t ) 0 当t≥0时，事件{T>t}与{N(t)=0}等价，有
答案：B
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例题2：已知连续型随机变量X的概率密度
ae x , x 0 b f ( x) , 0 x2 4 0 , x 2 同时 EX 0 , 求 a , b 的值，并写出分布函数 F ( x )
解： 1



f ( x )dx ae dx
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(1) 分布函数F(x)是连续函数 （2） f ( x ) 的性质： f ( x ) 0，

f ( x )dx 1
(3) F ( x )与f ( x )的关系
F ( x)
x
f (t )dt
若ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ( x )在x点连续，则f ( x ) F ( x )
（4） P ( X a ) 0 ，P ( X G ) f ( x )dx
n重 A发生的概率
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3. 超几何分布 H (n, N1 , N 2 )
P( X k )
C C C
n N
k N1
n k N2
n, N 1 , k 0,1,2, min
nN 1 EX N1 N 2
N 1次 比如： N ，无放回抽样，这n个产品的次品数 N 2正
x a
作用：描述了随机变量的取值规律
P ( X a ) F (a ) F (a 0) P (a X b) F (b) F (a )
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3. 离散型随机变量：X的可能值为有限个或无穷多个，
P( X xi ) pi , ( i 1,2,) 称为X的概率分布或分布律
3 01 1 3 x1 5 3x dx dx 4 1 2 4 4 0 2 8
5) x 1, F ( x ) 1
0, x 1 3( x 1) , 1 x 0 8 F ( x) 5 3x , 0 x 1 8 1, x 1
(k 0,1)
EX p, DX p(1 p)
2. 二项分布 B( n, p)
P( X k ) Cn pk (1 p)nk
k
(k 0,1,, n)
在n重贝努利试验， P ( A) p ，A发生的总次数
X ~ B(n, p)，比如：有放回抽样，n个产品的次品数
X ~ B( n, p)
P ( X m n / X n) P ( X m )
A C
区 域0 AC的 面 积 半圆面积
1 a 2 2a cos x a sin x 2x 2 1 2 ( 2 x sin2 x ) 1 2 a 2
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0, x 0 1 F ( x ) ( 2 x sin2 x ), 0 x 2 1, x 2
x
0 x
0
2
0
b b dx a 4 2
2 0
0 EX xf ( x )dx xae dx
b b xdx a 4 2
1 a , b1 2
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F ( x)
x

1 x 2 e , x 0 1 x , 0 x 2 2 4 1, x 2
G
P (a X b) P ( a X b)
F (b) F (a ) f ( x )dx
a
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b
例题1：下列 pn 能成为概率分布的是 （
1 （A）pn n ( n 2)
）
(B) pn
1 ( n 2) n( n 1)
1 (C) pn 2 n
答案（C) 因为：F（x）在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线， 故F（x）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数
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例题5：某人参加跳高项目的及格选拔赛，规定一旦 跳过指定高度就被认为及格而入选，但是限制每人 最多只能跳6次，若6次均未通过，则认定落选。若 一位选手在规定高度的过竿率为0.6，求他在测试中 所跳次数的概率分布
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性质 （1）有界
0 F ( x) 1
（2）单调增加 x1 x2 , 则 F ( x1 ) F ( x2 )
F ( ) lim F ( x ) 1
x
F ( ) lim F ( x ) 0
（3）右连续
x
F ( a 0) lim F ( x ) F ( a )
1 5 F (1 0) F ( 1) a b 8 8
3 ab 4 1 -a b 5 7 8 a ,b 16 16 a b 3 4
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例题4：假设F(x)是随机变量X的分布函数，则下列结论 不正确的是（ ） (A) 如果F (a ) 0, 则对任意 x a有F ( x ) 0 (B) 如果 F (a ) 1, 则对任意 x a有F ( x ) 1 (C) 如果 F (a ) 1 / 2, 则 P( X a ) 1 / 2 (D) 如果 F (a ) 1 / 2, 则 P( X a ) 1 / 2 答案：D
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例题6：设随机变量X的绝对值不大于1，且
1 P ( X 0) , 在 X 0 的条件下，X的在 4
其取值范围内服从均匀分布，求X 的分布函数F（x）
1 3 解： P ( X 1) 1, P ( X 0) , P ( X 0) 4 4 在 X 0 的条件下， X的概率密度为
1 , 1 x 1 f ( x) 2 0, 其 他
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1) x 1, F ( x ) 0
2) 1 x 0, F ( x) P( X x)
P(1 X x, X 0) P(1 X x, X 0)
P ( X 0) P ( 1 X x / X 0) 0 3 x1 3( x 1) dx 4 1 2 8
5 , 求 a , b 的值. 8 解： F ( x)是右连续的，特别的， F (1 0) F (1)
同时 P ( 1 X 1)
1 ab 8
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P (1 X 1) F (1) F (1) P ( X 1)
F (1) F (1) ( F (1) F (1 0))
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例题7：随机地向半圆 0 y 2ax x 2 (a为正常数 ) 内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的 面积成正比，X表示原点到该点连线与x轴正方向的夹 角，求X的概率密度
0 x 解： X的 可 能 值 为 ：

2
0 X B
F ( x ) P( X x )
解： X的可能值有1，2，3，4，5，6
P ( X 1) 0.6 P ( X 2) 0.4 0.6 P ( X 3) 0.4 2 0.6 P ( X 4) 0.4 3 0.6 P ( X 5) 0.44 0.6
P( X 6) 0.45 0.6 0.46 0.45
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例题 ： 设随机变量X的分布函数如下：
1 , xa F ( x) 1 x xb c ,
求：a,b,c分别是什么数值。 解
F ( ) 1 c 1 F ( a 0) F ( a ) a 0 b 0
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0, x 0, 1 1 例题 已知 F ( x ) x , 0 x , 2 2 1 1, x . 2 则F（x）是（ ）随机变量的分布函数. （A） 连续型； （B）离散型； （C） 非连续亦非离散型.
第二章 一维随机变量及其分布
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题型一 确定概率分布中的未知参数
1.随机变量：是样本点的实值函数，即
X : R 即取值带有随机的变量
研究X的取值规律： (1) X的可能值有哪些 （2）取这些可能值的概率是多少
2. 分布函数：对任意实数 x,
F ( x) P( X x)
定义域为 ( , ) ，值域为[0,1]


解：



[F ( x a ) F ( x )]dx [


xa