2014年全国高考数学试题分类汇编（数列）1.【2014·陕西卷（理文4）】根据右边框图，对大于2的整数N ， 得出数列的通项公式是（ ）.2n Aa n = .2(1)n B a n =-.2n n C a = 1.2n n D a -=【答案】C2.【2014·安徽卷（文12）】如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC =A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1A C 的垂线，垂足为3A ；…，以此类推，设1BA a =，12AA a =，123A A a =，…，567A A a =，则7a =_____ ___.【答案】143.【2014·江西卷（文13）】在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取最大值，则d 的取值范围_________. 【答案】718d -<<-4.【2014·全国卷Ⅰ（理17）】已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由.【解析】：(Ⅰ)由题设11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，两式相减()121n n n n a a a a λ+++-=，由于0n a ≠，所以2n n a a λ+-= …………6分（Ⅱ）由题设1a =1，1211a a S λ=-，可得211a λ=-，由(Ⅰ)知31a λ=+BA 1C第12题图AA 2A 3 A 4A 5A6假设{n a }为等差数列，则123,,a a a 成等差数列，∴1322a a a +=，解得4λ=； 证明4λ=时，{n a }为等差数列：由24n n a a +-=知数列奇数项构成的数列{}21m a -是首项为1，公差为4的等差数列2143m a m -=- 令21,n m =-则12n m +=，∴21n a n =-(21)n m =- 数列偶数项构成的数列{}2m a 是首项为3，公差为4的等差数列241m a m =- 令2,n m =则2nm =，∴21n a n =-(2)n m = ∴21n a n =-（*n N ∈），12n n a a +-=因此，存在存在4λ=，使得{n a }为等差数列. ………12分 5.【2014·全国卷Ⅱ（理17）】已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. （Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112na a a ++<…+.【解析】 （1）的等比数列。

公比为是首项为3,2321}21{∴).21(3211321a ∴.*N ∈.n 13,111n 11=+++=++=++==++a a a a a a a n n n n n (2)由（1）知1322n n a +=，故3-11223-1n n n n a a ==，，111a =，当1n >时，-11213-13n n n a =<； 所以12-112311-1111111313311-13332321-3n n n n a a a a ++++<++++==<（），故123111132n a a a a ++++< 6.【2014·山东卷（理19）】已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列。

（I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）令n b =,4)1(11+--n n n a a n求数列}{n b 的前n 项和n T 。

【解析】（I ）,64,2,,2141211d a S d a S a S d +=+===4122421,,S S S S S S =∴成等比解得12,11-=∴=n a a n （II ）)121121()1(4)1(111++--=-=-+-n n a a n b n n n n n)121121()121321()7151()5131()311(++---+-+-+++-+=n n n n T n n 为偶数时，当1221211+=+-=∴n nn T n)121121()121321()7151()5131()311(++-+-+---+++-+=n n n n T n n 为奇数时，当12221211++=++=∴n n n T n⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=∴为奇数为偶数n n n n n nT n ,1222,1227.【2014·山东卷（文19）】在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项. （Ｉ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设(1)2n n n b a +=，记1234(1)n n n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T .【解析】（1）由题意知2111()(3)a d a a d +=+，即2111(2)(6)a a a +=+， 解得12a =，所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =.8.【2014·浙江卷（理19）】已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*∈=N n a a a nb n 221 .若{}na 为等比数列，且.6,2231b b a +== （1）求n a 与n b ； （2）设()*∈-=N n b a c nn n 11。

记数列{}n c 的前n 项和为n S . （i ）求n S ；（ii ）求正整数k ，使得对任意*∈N n ，均有n k S S ≥．【解析】本题主要考查等差数列与等比数列的概念、通项公式、求和公式、不等式性质等基础知识，同时考查运算求解能力。

满分14分。

（I ）由题意，()()*∈=N n a a a nb n 221 ，326b b-=，知3238b b a -==，又由12a =，得公比2q =（2q =-舍去），所以数列{}n a 的通项公式为2()n n a n N *=∈， 所以()()1121232n n n n n a a a a ++==，故数列{}n b 的通项公式为，()1()n b n n n N *=+∈；（II ）（i ）由（I ）知，11111()21n n n n c n N a b n n *⎛⎫=-=--∈ ⎪+⎝⎭，所以11()12n nS n N n *=-∈+； （ii ）因为12340,0,0,0c c c c =>>>；当5n ≥时，()()11112n n n n c n n +⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦，而()()()()()11112120222n n n n n n n n n ++++++--=>，得()()51551122n n n ++≤<，所以当5n ≥时，0n c <，综上对任意n N *∈恒有4n S S ≥，故4k =．9.【2014·天津卷（文理19）】已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合{}0,1,2,1,q M =-，集合{}112,,1,2,,n n i A x x x x q x q x M in -+?==++.（Ⅰ）当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ； （Ⅱ）设,s t A Î，112n n s a a q a q -=+++，112n n t b b q b q -=+++，其中,i i a b M Î，1,2,,i n =. 证明：若n n a b <，则s t <.【解析】本小题主要考查集合的含义和表示，等比数列的前n 项和公式，不等式的证明等基础知识和基本方法. 考查运算能力、分析问题和解决问题的能力.（Ⅰ）解：当2q =，3n =时，{}0,1M =，{}12324,,1,2,3i A x x x x x M x i ==+?+.可得，{}0,1,2,3,4,5,6,7A =. （Ⅱ）证明：由,s t A Î，112n n s a a q a q -=+++，112n n t b b q b q -=+++，,i i a b M Î，1,2,,i n =及n n a b <，可得()()()()11222111n n n n n n a b q a b q s t a b a b q -----=-+-++-+-()()()21111n n q q q q q q --?+-++--()()11111n n q q q q----=--10=-<. 所以，s t <.10.【2014·辽宁卷（理17）】已知首项都是1的两个数列（），满足.(1) 令，求数列的通项公式； (2) 若，求数列的前n 项和.【解析】（1）因为，所以1112,2n nn n n na a c cb b +++-=-= 所以数列{}nc 是以首项11c =，公差2d =的等差数列，故2 1.n c n =- （2）由13n n b -=知1(21)3n n n n a c b n -==- 于是数列前n 项和0111333(21)3n n S n -=⋅+⋅++-⋅1231333(21)3n n S n =⋅+⋅++-⋅相减得121212(333)(21)32(22)3n n n n S n n --=+⋅++--⋅=--⋅所以(1)3 1.n n S n =-⋅+11.【2014·湖南卷（理20）】已知数列{n a }满足*111,||,.n n n a a a p n N +=-=∈ （1）若{n a }是递增数列，且12,3,23a a a 成等差数列，求p 的值； （2）若12p =，且{21n a -}是递增数列，{2n a }是递减数列，求数列{n a }的通项公式． 【解析】（I ）因为{}n a 是递增数列，所以11nn n n n a a a a p ++-=-=。

而11a =，因此又123,2,3a a a 成等差数列，所以21343a a a =+，因而230p p -=，解得1,03p p == 当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾。

故13p =.（Ⅱ）由于{}21n a -是递增数列，因而21210n n a a +-->，于是 但2211122n n -<，所以()()2122210n n n n a a a a +--+-< ① 212221aa a an n n n -<-+-. ② 又①，②知，2210n n a a -->，因此222121211(1)()22n nn n n a a -----== ③因为{}2n a 是递减数列，同理可得，2120n n a a +-<故22121221(1)22nn n nna a ++⎛⎫ ⎪⎝⎭--=-= ④ 由③，④即知，11(1)2n n n na a ++--=。