4．6 相似多边形
1．下列图形不相似的是(D )
A ．所有的圆
B ．所有的正方形
C ．所有的等边三角形
D ．所有的菱形
(第2题)
2．如图，六边形ABCDEF ∽六边形GHIJKL ，相似比为2∶1，则下列结论正确的是(B )
A ．∠E ＝2∠K
B ．B
C ＝2HI
C ．六边形ABCDEF 的周长＝六边形GHIJKL 的周长
D ．S 六边形ABCDEF ＝2S 六边形GHIJKL
(第3题)
3. 如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积比是(B )
A. 3∶4
B. 5∶8
C. 9∶16
D. 1∶2
4．把一个多边形改成和它相似的多边形，如果面积缩小为原来的13，那么边长缩小为原来的(B ) A.13 B.33
C. 3 D ．3 5. 已知四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似，且点A 与A 1，B 与B 1，C 与C 1是对应点，AB ＝12，BC ＝18，CD ＝18，AD ＝9，A 1B 1＝8，则四边形A 1B 1C 1D 1的周长为__38__．
6. 用放大镜看一个四边形，如果边长扩大4倍，那么周长扩大__4__倍，面积扩大__16__倍．
7．已知两个矩形花坛是相似的，相似比为2∶3，较小的矩形长为30m ，周长为100m ，则较大的矩形的长为__45__m ，宽为__30__m.
(第8题)
8. 如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，已知AD ＝2，则AB 的长为__1__．
9．如图，图中的两个四边形相似，试求未知边a ，b 的长度和角α的大小．
(第9题)
【解】 ∵四边形ABCD ∽四边形A ′B ′C ′D ′， ∴AD A ′D ′＝AB A ′B ′＝BC B ′C ′
. ∵AD ＝4，A ′D ′＝8，A ′B ′＝10，BC ＝4.5，
∴48＝AB 10＝ 4.5B ′C ′
， ∴a ＝AB ＝5，b ＝B ′C ′＝9.
∵∠A ＝∠A ′＝70°，∠C ＝∠C ′＝80°，∠B ＝75°，
∴∠D ＝360°－70°－80°－75°，∴α＝135°.
10．如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，已知AB ＝4.
(1)求AD 的长；
(2)求矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比．
(第10题)
【解】 (1)由已知，得MN ＝AB ，MD ＝12AD ＝12
BC. ∵矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，
∴DM AB ＝MN BC
. ∴12
AD 2＝AB 2. ∵AB ＝4，∴AD ＝4 2.
(2)矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比为
DM AB ＝2 24＝22
. 11．如图所示，已知正五边形ABCDE 和正五边形A ′B ′C ′D ′E ′，它们相似吗？请说明理由．
(第11题)
【解】 相似．理由如下：
设正五边形ABCDE 的边长为a ，正五边形A ′B ′C ′D ′E ′的边长为b.
∵AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EA ＝a ，
A ′
B ′＝B ′
C ′＝C ′
D ′＝D ′
E ′＝E ′A ′＝b ，
∴AB A ′B ′＝BC B ′C ′＝CD C ′D ′＝DE D ′E ′＝EA E ′A ′＝a b
. 又∵正五边形各内角均为540°5
＝108°， ∴正五边形ABCDE ∽正五边形A ′B ′C ′D ′E ′.
(第12题) 12．如图，根据图中标注的数据，问：矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′是否相似？
【解】 ∵四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′均为矩形，
∴∠A ＝∠A ′＝∠B ＝∠B ′＝∠C ＝∠C ′＝∠D ＝∠D ′＝90°.
若
A ′D ′AD ＝A ′
B ′AB ，即AD －8AD ＝AB －8AB ，则AB ＝AD . 若A ′D ′AD ≠A ′B ′AB ，即AD －8AD ≠AB －8AB
，则AB ≠AD . ∴当AB ＝AD 时，矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′相似；当AB ≠AD 时，矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′不相似．
(第13题)
13. 如图，在Rt △ABC 中，作出三个正方形，若第一个正方形边长为9，第二个正方形边长为6.求第三个正方形的面积．
【解】 ∵四边形ECRF ，PRSG ，QSTH 都是正方形，
∴EF ∥PG ∥QH ，FR ∥GS ∥HT ，
∴∠PFG ＝∠QGH ，∠FGP ＝∠GHQ ，
∴△FPG ∽△GQH ，
∴FP GQ ＝PG QH
. 设QS ＝x ，则有GQ ＝6－x.
∵FP ＝9－6＝3，PG ＝6，
∴36－x ＝6x
，解得x ＝4. ∴第三个小正方形的面积为16.
14. 过去有甲、乙两个庄主，甲庄主的土地面积大约是乙庄主的4倍，土地的形状都接近正方形．有一天两个庄主打赌，乙庄主说：“我骑马绕自己的土地跑一周要1.5 h ，绕你的土地跑一周3.5 h 足够．”甲庄主不信，说：“如果你3.5 h 能跑回来，我这个庄园给你，如果你3.5 h 跑不回来，那么你的庄园归我．”乙庄主说：“一言为定．”然后就催马而去．你认为谁是胜利者？
【解】 把两个庄园看做是相似多边形，面积之比约为4∶1，所以其相似比为2∶1.所以周长之比为2∶1，即甲庄主的庄园周长大约是乙庄主的庄园周长的2倍，绕甲庄主的庄园的土地跑一周只要1.5×2＝3(h)就差不多了．而3 h<3.5 h ，所以乙是胜利者．
15．一种复印纸，整张称为A 1纸，对折一分为二成为A 2纸，再一分为二成为A 3纸……若它们都是相似的矩形，求这种纸的长与宽的比值(精确到千分位)．
【解】 设A 1纸的长为a ，宽为b ，
则A 2纸的长为b ，宽为a 2
. ∵A 1纸和A 2纸是相似矩形，
∴它们的长与宽对应成比例，
∴a b ＝b 12a ， ∴a b ＝21≈1.414.
初中数学试卷。