第一章习题细杆OL 绕O 点以角速ω转动，并推动小环C 在固定的钢丝AB 上滑动。

图中的d 为已知常数，试求小球的速度及加速度的量值。

解 如题1.4.1图所示，A BOCLxθd 第1.4题图OL 绕O 点以匀角速度转动，C 在AB 上滑动，因此C 点有一个垂直杆的速度分量22x d OC v +=⨯=⊥ωωC 点速度dx d d v v v 222sec sec cos +====⊥⊥ωθωθθ 又因为ωθ=&所以C 点加速度θθθω&⋅⋅⋅⋅==tan sec sec 2d dt dv a ()2222222tan sec 2d x d x d +==ωθθω矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T t c a 2sin1π 式中c 及T 为常数，试求运动开始t 秒后升降机的速度及其所走过的路程。

已知升降机的初速度为零。

解 由题可知，变加速度表示为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T t c a 2sin1π 由加速度的微分形式我们可知dtdv a =代入得dtT t c dv ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2sin 1π 对等式两边同时积分dt T t c dv t v⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=002sin 1π可得 ：D Ttc T ct v ++=2cos2ππ（D 为常数）代入初始条件：0=t 时，0=v ，故cT D π2-=即⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=12cos 2T t T t c v ππ 又因为dtds v =所以dt T t T t c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+12cos 2ππ =ds对等式两边同时积分，可得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=t T t T T t c s 2sin 22212πππ一质点沿位失及垂直于位失的速度分别为r λ及μθ，式中λ及μ是常数。

试证其沿位矢及垂直于位失的加速度为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-r rr μλμθθμλ,222解 由题可知质点的位矢速度r λ=//v (1)沿垂直于位矢速度μθ=⊥v (2)又因为 ， 即 r r λ=& (3)μθθ==⊥r v &rμθθ=& (4) 对③求导(5) 对④求导θμμθθ&&&&rr r +-=2(6)根据课本的推导可知 沿位矢方向加速度()2θ&&&r r a -= （7） 垂直位矢方向加速度()θθ&&&&r r a 2+=⊥ （8）把（3）（4）（5）（6）代入（7）（8）式中可得rr a 222//θμλ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⊥r a μλμθr r// v rr r 2试自θθsin ,cos r y r x ==出发，计算x &&及y &&。

并由此推出径向加速度r a 及横向加速度θa 。

解 由题可知⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ①②对①求导θθθ&&&sin cos r r x -= ③ 对③求导 θθθθθθθcos sin sin 2cos 2&&&&&&&&&r r r r x ---=④对②求导 θθθcos sin &&&r r y +=⑤对⑤求导 θθθθθθθsin cos cos 2sin 2&&&&&&&&&r r r r y -++=⑥对于加速度a ，我们有如下关系见题1.7.1图题1.7.1图θθsin cos y x a r &&&&+= ⑾把④⑥代入 ⑾得2θ&&&r r a r -= 同理可得θθθ&&&&r r a 2+=一飞机在静止空气中每小时的速率为100千米。

如果飞机沿每边为6千米的正方形飞行，2()cos (2)sin x r r r r θθθθθ=--+&&&&&&&&&即2()sin (2)cos y r r r r θθθθθ=--+&&&&&&&&&即sin cos a x y θθθ=-+&&&&且风速为每小时28千米，方向与正方形的某两边平行，则飞机绕此正方形飞行一周，需时多少？解 正方形如题1.14.1图。

CD3v由题可知h km v v /28==风牵设风速B A →,h km v /100=相,当飞机B A →，h km h km v /128/)28100(1=+= h km h km v D B /96/28100,222=-=→h km h km v D C /72/)28100(,3=-=→=→4,v A D h km h km /96/2810022=-故飞机沿此边长6h km /正方形飞行一周所需总时间min 16515192499667269661286==⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=h h t2风v 相题1.14.2图风v v 题1.14.3图小船M 被水冲走后，由一荡桨人以不变的相对速度朝岸上A 点划回。

假定河流速度1 2沿河宽不变，且小船可以看成一个质点，求船的轨迹。

解 以A 为极点，岸为极轴建立极坐标如题.图.题1.17.1图船沿垂直于r 的方向的速度为，船沿径向r 方向的速度为和沿径向的分量的合成，即①--② ②/①得 ，对两积分： 设为常数，即C r k k +=+-αα11cos 2sin ln ln 代入初始条件0r r =时，0ϕϕ=.设,200αϕ=有,cos 2sin ln ln 01010αα+--=k k r C 得101110sin cos cos sin αααα-++-⋅=k kk k r r将质量为m 的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。

设阻力与速度平方成正比，即22gv mk R =。

如上抛时的速度为0v ，试证此质点又落至投掷点时的速度为Ck, 2,12Crsin ln 2 tan ln ln 12 d rdrcot sin 1 22 1 1 cos sin dtdr dtd r12sin 122011vk v v +=解 质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降阶段.取向上为正各力示意图如题1.19.1图，上升时 下降时 题1.19.1图则两个过程的运动方程为： 上升22yg mk mg y m &&&--= ① 下降：②对上升阶段:()221v k g dtdv+-= ()221v k g dyvdvdt dy dy dv +-== 即gdy vk vdv-=+221 对两边积分gdy vk vdv h v ⎰⎰-=+022010所以()2221ln 21v k gk h +=③ 即质点到达的高度. 对下降阶段：2 2 y g mk mgy m即()21221ln 21v k gk h --= ④ 由③=④可得202011vk v v +=重为W 的不受摩擦而沿半长轴为a 、半短轴为b 的椭圆弧滑下，此椭圆的短轴是竖直的。

如小球自长2轴的端点开始运动时，其初速度为零，试求小球在到达椭圆的最低点时它对椭圆的压力。

gdy v kvdv h v2 2 0 12 2 gv k -g dyvdvdt dy dy dv解 建立如题1.28.1图所示直角坐标.题1.28.1图椭圆方程 12222=+by a x ① 从A 滑到最低点B ，只有重力做功.机械能守恒.即221mv mgb =②设小球在最低点受到椭圆轨道对它的支持力为N 则有：③ρ为B 点的曲率半径. B A →的轨迹：221axb y --=得2221ax abx y -='；2322211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=''a x ab y 又因为()223211ab y y k ='+''==ρ所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⨯+=+=2222212a b W mgh a b mg mv mg N ρ 故根据作用力与反作用力的关系小球到达椭圆最低点对椭圆压力为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2221a b W 方向垂直轨道向下.检验下列的力是否是保守力。

如是，则求出其势能。

()a 233206y bx y abz F x -=，y bx abxz F y 43106-=，218abxyz F z =()b ()()()z F y F x F z y x k j i F ++=2v mmgN解 （a ）保守力F 满足条件0F =⨯∇对题中所给的力的表达式 ，代入上式 即()()()22=+--+-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂∂∂∂∂=⨯∇kj i kj i F F F k j i F zyxy 40abx 6abz y 40bx 6abzy 18abz y 18abz 18abxz 18abxz y F x F x F z F z F y F z y x 333322x y z x y z所以此力是保守力，其势为()()()()()()()()()()()324,,0,,20,,0,0,4300000233z y,x,0,0,0x6518106d 206F abxyz y bx dz abxyz dy y bx abxzx y bx y abz dz F dy F dx V z y x y x y x x ,x,,,zy-=-----++-=⋅-=⎰⎰⎰⎰⎰drF(b)同（a ），由=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂∂∂∂∂=⨯∇k j i k j i F y F x F x F z F z F y F F F F z y x x y zx y z zyx所以此力F 是保守力，则其势能为dzF dy F dx F d V BABABx Az z z y y y x x ⎰⎰⎰⎰---=⋅-=rF已知作用在质点上的力为za y a x a F z a y a x a F z a y a x a F z y x 333231232221131211++=++=++= 式中系数()3,2,1,=j i a ij 都是常数。

问这些ij a 应满足什么条件，才有势能存在？如这些条件满足，试计算其势能。

解 要满足势能的存在，即力场必须是无旋场，亦即力为保守力，所以0=⨯∇F 即⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂x F zF x F yF z F yF zx yx yz 得⎪⎩⎪⎨⎧===311321122332aa a a a a ()3,2,1,=j i a ij 为常数满足上式关系，才有势能存在。