导热微分方程式描写物体的温度随时间和空间变 化的关系；没有涉及具体、特定的导热过程。是通 用表达式。
1.导热问题的完整数学描述：
t t 2 0 2 x y
2 2
有无穷多解
导热微分方程 + 定解条件
2.定解条件定义：使得微分方程获得某一特定问题 唯一解的附加条件。分为初始条件和边界条件
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2δ
h, t∞
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2、数学描述
由于平板对称，因此只取平板的一半进行研究， 以平板的中心为坐标原点建立坐标系，如图所示。
0, t t0
x 0, t x 0
x , - t x h(t x t )
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t t a 2 x
导出微元体总热流量③ +
微元体内热源发热量②=
热力学能的增加④
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①导入微元体的热量(Fourier Law)
沿x轴方向、经x表面导入的热量：
t Φx dydz x
沿 x 轴方向、经 x+dx 表面导出 的热量(Taylor 展开法第一项)
Φxdz
z
dx
dy
y x
④ =①-③+ ②
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6. 导热微分方程与Fourier导热定律的关系 导热微分方程： 描述物体内部温度随时间和空间变化的一 般关系(t,τ, x, y, z) 描述物体内部温度梯度和热流密度间的 Fourier导热定律： 关系(q, t)
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三、定解条件
2
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基本特点
1.
t 0
2. 物体中的温度分布存在着两个不同阶段(非周 期性导热) ①非正规状况：物体中的温度分布主要受初始 温度分布控制 ②正规状况：初始温度分布影响逐渐消失，物体 中不同时刻温度分布主要取决于边界条件及物性 3. 在垂直于热量传递方向的每一个截面上，导 热量处处不同
Bi
h



1h
物体内部导热热阻 物体表面对流换热热阻
(1) Bi，表示表面传热系数 h （Bi=h / ），对流换热热阻 0。平壁的表面温度几乎 从冷却过程一开始，就立刻降到流体温度 t 。
III BC I BC
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(2) Bi0，表示物体的导热系数很大、导热热阻 0（Bi=h/ ）。任何时间物体内的温度分布都趋于 均匀一致。
②确定广义热源项 与分析肋片导热问题类似，发生热量交换的边界 不是计算边界，因此界面上交换的热量折算成整个 物体的体积热源
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Ah(t t ) -VΦ
Ah(t t ) ΦV
dt Vc -hA(t t ) d
热力学能增量
③没有BC，只有 IC
方程式可改写为
hA h(V / A) a BiV FoV 2 Vc (V / A)
式中BiV是特征尺度l用V/A表示的毕渥数。
a Fo 2 l
FoV是特征尺度l用V/A表示的傅里叶数，无量纲时 间
a FoV (V / A) 2
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2.非稳态导热量计算 导热体在时间 0 ~ 内传给流体的总热量可以从两 种角度分析：Fourier导热定律以及热力学第一定律
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非稳态导热的分类
周期性：物体中各点温度及热流密度随时 间作周期性变化(不是研究重点)
非稳态导热
非周期性：物体的温度随时间推移逐渐 趋向于一个恒定温度
t f ( x, y , z , )
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1
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界面上所发生的热扰动传递到内部一定深度需要一 定时间
Φ1
Φ2
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3.建立坐标系，取分析对象（微元体） 在直角坐标系中进行分析
dz
z y dx
dy
x
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4.能量变化的分析
由于是非稳态导热，微元体的温度随时间变化， 因此存在内能的变化；从各个界面上有导入和导出 微元体的热量；内热源产生的热量。
导入微元体总热流量① +
Φx dx
③导出微元体的热量(Fourier Law)
Φx dx
Φx t Φx dx Φx - dxdydz x x x
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沿x轴方向导入与导出微元体净热量
Φx Φx dx
同理可得：
t dxdydz x x
Bi
sin( n ) cos[( n ) ]
x
t t
tg ( n )
n
Bi h Fo a 2
热阻对比，边界条件 傅里叶数—表示过程进行的深度 无量纲距离
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x
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二、集总参数的简化分析法
1、集总体的概念(lumped parameter method) (1). Bi0 内部导热热阻远小于表面换热 热阻的非稳态导热体称为集总体， 任意时刻导热体内部各点温度接近
只为 的函数
1 d 1 d X a d X dx2
2
只为 x 的函数
只能为常数：
1 d 1 d X const 2 a d X dx
2
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3.解的结果
( x, ) 2 e 0 n 1

( n ) 2
a
2
n sin( n ) cos( n )
表面对流换热量
0, t t0
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④求解
令： t t — 过余温度
方程式及边界条件可改写为
d Vc hA d
分离变量得
0, 0 t0 t
hA d d Vc
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1
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对 从0到任意时刻 积分
(3) 0<Bi<，情况介于（1）和（2）之间。
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一、无限大平板的分析解
1. 物理问题描述 厚度 2 的无限大平壁， 、 a 为已知常数，=0时温度为 t0，突 h, t ∞ 然将其放置于侧介质温度为 t 并 保持不变的流体中，两侧表面与 介质之间的表面传热系数为h。
Fourier导热定律:
hA dt Φ( ) cV t0 t hA exp d cV
热力学第一定律: Q0 Vc(t 0 t ) Vc(t 0 t t t )
Q0
(t 0 t ) (t t ) Vc 0 Vc 0 Vc(1 e ) t 0 t hA
hA 0 d Vc 0 d

1
⑤解的分析
t t e 0 t0 t

hA Vc
(1)θ 与几何位置无关，θ=θ(τ) (2)θ 与λ 以及a有关 (3)上述思想可用于物体被加热或冷却
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⑥两个无量纲数
上式中右端的指数可作如下变化
x
例：右图中
x 0, t t w1 x , t tw2
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(2)第二类边界条件:给定边界 上的热流密度(Neumann)
t - n
w
f qw
0 δ
qw
例：右图中
x
t x , - qw x
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均匀，这样导热体的温度只随时间
变化，而不随空间变化，故又称之 为零维问题。源自热与流体研究中心 27热工基础
(2). 优点： 可以处理任意形状的物体
流体温度t∞ 表面换热系数h 体积为V 表面积为A 物性, , c 初始温度t0 >t∞
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(3).数学描写
①控制方程
dt Φ d c
2.理论依据：
t f ( x, y, z, )
热力学第一定律 +
Fourier导热定律
3.基本方法：
对微元体作热平衡
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二、推导
1.物理问题描述 三维的非稳态导热体，且物体内有内热源（导热以 外其它形式的热量，如化学反应能、电能等）。
2.假设条件
(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质； (2) 导热率、比热容和密度均已知； 3]； (3) 内热源均匀分布，强度为 [W/m Φ (4) 导热体与外界没有功的交换。
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t E c dxdydz [J]
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5. 导热微分方程的基本形式
t t t t c ( ) ( ) ( ) Φ x x y y z z
非稳态项 内能增量 三个坐标方向净导入的热量 内热源项
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①初始条件(initial condition)
0,t f x, y, z
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②常见的边界条件有三类(boundary condition)
(1)第一类边界条件:指定边界上 tw1 的温度分布(Dirchlet)
tw2
tw f
0
δ