银川唐徕回民中学2017～2018学年度第二学期高三年级第四次模拟考试数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}{}2|230,| ||2A x x x B x x =--≥=≤，则A B = A. [-2，-1] B. [-1，2) C. [-1，1] D. [1，2)2．设复数iz -=12，则下列命题中错误的是 A. 2z =B. i z -=1C.z 在复平面上对应的点在第一象限D. z 的虚部为i3．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若4a ，10a 是方程2810x x -+=的两根，则13S = A ．58B ．54C ．52D ．564．已知两个单位向量a 和b 夹角为60︒，则向量-a b 在向量a 方向上的投影为 A ．1-B ．1C ．12-D ．125．我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人 取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？右图是 源于其思想的一个程序框图，若输出的2S =（单位：升），则输入k 的值为 A. 6 B. 7 C. 8D. 96. 已知实数,x y 满足10,0,0,+-≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩x y x y的取值范围是A. ()01，B. (]01，C. [)1+∞，D. +⎫∞⎪⎪⎭7．一个棱锥的三视图如图（单位：cm ），则该棱锥的表面积是A ．4+2cmB ．4+2cm432cm D ．2+2cm8. ABC ∆的三个内角分别为A ,B ,C ，则“=B 3π”是“A ,B ,C 成等差数列”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9．已知甲、乙、丙三人中，一人是军人，一人是工人，一人是农民．若乙的年龄比农民的年龄大；丙的年龄和工人的年龄不同；工人的年龄比甲的年龄小，则下列判断正确的是 A ．甲是军人，乙是工人，丙是农民 B ．甲是农民，乙是军人，丙是工人 C ．甲是农民，乙是工人，丙是军人 D ．甲是工人，乙是农民，丙是军人 10．有5名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，则不同的站法有（ ） A ．8种B ．16种C ．32种D ．48种11．已知函数()()()sin 20f x x ϕπϕ=+-<<．将()f x 的图象向左平移3π个单位长度后所得的函数为偶函数，则关于函数()f x ，下列命题正确的是A. 函数()f x 在区间(,)63ππ-上有最小值 B. 函数()f x 在区间(,)63ππ-上单调递增C. 函数()f x 的一条对称轴为12x π=D. 函数()f x 的一个对称点为(,0)3π12. 已知抛物线22y px =（0p >）与双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）有相同的焦点F ，点A是两条曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的 区间是俯视图侧视图(7题图)A ．(0)6π，B ．()32ππ， C. ()43ππ， D ．()64ππ，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．计算定积分211dx x=⎰__________． 14. 在5()+x m 的展开式中，含2x 项的系数为-10，则实数m 的值为 ．15．已知向量,a b →→的夹角为60，||2a →=，(cos ,sin )()b R ααα→=∈，则|2|a b →→+=_______．16．已知函数()24,1{ 1,1x x a x f x lnx x -+<=+≥，若方程()2f x =有两个解，则实数a 的取值范围是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =-的一个零点是π4． （1）求实数a 的值；（2）设()()()cos g x f x f x x x =⋅-+，若∈x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求()g x 的值域．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，M 是PC 上一点，且BM PC ⊥． （1）求证：PC ⊥平面MBD ；（2）求直线PB 与平面MBD 所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）针对国家提出的延迟退休方案，某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和 “不支持”态度的人数如下表所示：（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n 个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了30人，求n 的值；（2）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取10人看成一个总体，从这10人中任意选取3人，求50岁以下人数ξ的分布列和期望；（3）在接受调查的人中，有10人给这项活动打出的分数如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，8.3，9.7，把这10个人打出的分数看作一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6概率．20．（本小题满分12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，其右焦点到椭圆C 外一点)1,2(P 的距离为2，不过原点．．．．O 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且线段AB 的长度为2．（1）求椭圆C 的方程； （2）求AOB ∆面积S 的最大值.21．（本小题满分12分）设函数()()ln f x x k x =-，（k 为常数），()()x f xx x g 11-=．曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行 （1）求k 的值；（2）求()g x 的单调区间和最小值； （3）若ax g a g 1)()(<-对任意0>x 恒成立，求实数a 的取值范围．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．【选修4―4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的方程为224x y +=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2cos21ρθ=. （1）求圆O 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知M ， N 是曲线C 与x 轴的两个交点，点P 为圆O 上的任意一点，证明：22||PM PN +为定值.23．【选修4-5：不等式选讲】已知函数()()3f x x x x =--∈R ． （1）求()f x 的最大值m ；（2）设a ，b ，c +∈R ，且234a b c m ++=，求证：1113234a b c++≥． 唐中2017-2018学年第二学期高三年级模拟四数学（理科）答案一、选择题：（每小题5分，共60分）1-5AD CDC 6-10D A C A B 11-12B B 二、填空题：（每小题5分，共20分）13．ln2 14． -1 15． 32 16．(),5-∞三、解答题17（Ⅰ）解：依题意，得π()04f =……1分即 ππsincos 04422a -=-=……3分 解得 1a =．……5分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 ()sin cos f x x x =-．()()()cos g x f x f x x x =⋅-+ …………6分(sin cos )(sin cos )2x x x x x =--- …………7分22(cos sin )2x x x =- cos22x x =…8分π2sin(2)6x =+．……9分由0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x π得ππ7π2666x ≤+≤ 当π262x π+=即π6x =时，()g x 取得最大值2， …10分当π7266x π+=即π2x =时，()g x 取得最小值-1. …………11分 所以()g x 的值域是[]1,2- …………12分18.（1）连接AC ，由PA ⊥平面ABCD ，BD ⊆平面ABCD 得BD PA ⊥， 又BD AC ⊥，PA AC A = ，∴BD ⊥平面PAC ，得PC BD ⊥， 又PC BM ⊥，BD BC B = ，∴PC ⊥平面MBD ．…………5分 （2）法1：由（1）知PC ⊥平面MBD ，即PBM ∠是直线PB 与平面MBD 所成角，易证PB BC ⊥，而BM PC ⊥， 不妨设1PA =，则1BC =，PC =，PB =在Rt PBC △中，由射影定理得22::2:1PM MC PB BC ==，可得23PM PC ==，所以sin PM PBM PB ∠==， 故直线PB 与平面MBD．…………12分 法2：取A 为原点，直线AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立坐标系A xyz -，不妨设1PA AB ==，则0,0,1)P （，()1,0,0B ，()1,1,0C ，…………7分由（1）知平面MBD 得法向量()1,1,1PC =- ，而()1,0,1PB =-，…………9分 ∴cos ,PB PC <>==， (11)故直线PB 与平面MBD ． (12)19（1）参与调查的总人数为80004000200010002000300020000+++++=， 其中从持“不支持”态度的人数200030005000+=中抽取了30人， 所以30200001205000n =⨯=．…………3分 （2）在持“不支持”态度的人中，50岁以下及50岁以上人数之比为2:3，因此抽取的10人中，50岁以下与50岁以上人数分别为4人和6人，0ξ=，1，2，3，()36310106C p C ξ===，()1246310112C C p C ξ===，()21463103210C C p C ξ===，()343101330C p C ξ===，0123 1.2621030E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 8分（3）总体的平均数为 ()19.48.69.29.68.79.39.08.28.39.7910x =+++++++++=，…………10分 那么与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数有8.2，8.3，9.7，所以任取1个数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率为310．…………12分20．解：（Ⅰ）设椭圆右焦点为()0,c ，则由题意得()⎪⎩⎪⎨⎧==+-,22,21222ac c 得⎩⎨⎧==,2,1a c 或 ⎩⎨⎧==,23,3a c （舍去）…………4分所以椭圆方程为1222=+y x ． …………5分 (Ⅱ)：因为线段AB 的长等于椭圆短轴的长，要使三点A O B 、、能构成三角形，直线l 不．过原点．．．O ，则弦AB 不能与x 轴垂直，故可设直线AB 的方程为y kx m =+，由22,1.2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，并整理，得222(12)4220k x kmx m +++-=. 设),(11y x A ，),(22y x B ，又2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+->,所以122412km x x k +=-+，21222(1)12m x x k-=+ …………7分因为2||=AB ,所以2))(1(2122=-+x x k ，即4]4))[(1(212122=-++x x x x k所以2222248(1)(1)41212km m k k k ⎡⎤-⎛⎫+--=⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即2212(1)1m k =-+， …………9分 因为211k +≥，所以2112m ≤<．又点O 到直线AB 的距离h =，因为1||2S AB h =⋅h =，所以22S h =222(1)m m =-22112()22m =--+ …………11分所以2102S <≤，即S 的最大值为2． …………12分 21．解：（Ⅰ）()()ln f x x k x =- '()ln 1f x k x =--,因为曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行 所以'()0f x =, 所以1k = …………4分 （Ⅱ）()()1111ln g x f x x x x x =-=-+，定义域为{}0x x > ()()2211111'x g x f x x x x x x-=-=-+=令()'0g x =得1x =，当x 变化时，()'g x 和()g x 的变化如下表由上表可知()g x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞，最小值为()10g =。