函数单调性的充要条件及应用
郑定华
1. 有关结论
新教材第三册中给出了函数的单调性的充分条件：
一般地，设函数y f x =()在某个区间有导数，如果在这个区间内y'>0，那么f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y'<0，那么f(x)为这个区间内的减函数。

利用这一结论求复杂函数的单调区间十分方便，但要解决单调性的逆向问题，利用单调性的充要条件更加方便。

函数单调性的充要条件：
（1）对于可导函数y f x =()，如果方程f x '()=0在某个区间上至多有孤立解，那么在这个区间上，f(x)为增函数的充要条件是f x '()≥0；f(x)为减函数的充要条件是f x '()≤0。

（2）连续函数y f x =()在闭区间[a ，b]与开区间（a ，b ）上具有相同的单调性。

2. 应用
例1. 若函数f x x ax a x ()()=-+-+1312
1132在区间（1，4）内为减函数，且在区间（6，+∞）内为增函数，求实数a 的取值范围。

解：f x x ax a '()()=-+-21，其图象开口向上，对称轴为直线x a =
2 由f x ()在区间（1，4）内为减函数知f x '()≤0对x ∈[]14，恒成立
⇔≤≤⎧⎨⎩
f f '()'()1040 即11016410-+-≤-+-≤⎧⎨⎩
a a a a ()() 解得a ≥5
由f x ()在区间（6，+∞）内为增函数知f x '()≥0对x ∈+∞[)6，恒成立 ⇔≥f x '()|min 0
⇔≤≥⎧⎨⎪⎩⎪a f 2660'()或a f a 262
0≥≥⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪'() 解得a ≤7
综上，得57≤≤a
例 2. 已知函数f x x bx cx ()=+++321在区间(]-∞-，2上单调递增，在区间[-2，2]上单调递减，且b ≥0
（1）求f x ()的表达式；
（2）设02<≤m ，若对任意的x x m m]122，，∈-[，不等式|()()|f x f x m 1216-≤恒成立，求实数m 的取值范围。

解：（1）f x x bx c '()=++322，其图象开口向上
因为f(x)在区间(]-∞-，2上单调递增，在区间[-2，2]上单调递减
所以当x =-2时，f x ()取得极值
故f'()-=20，得c b =-412
所以f x x bx b '()=++-324122
因为f(x)在区间[-2，2]上单调递减
所以f x '()≤0对x ∈-[]22，恒成立
⇔-≤≤⎧⎨⎩
f f '()'()2020 即12441201244120-+-≤++-≤⎧⎨⎩
b b b b 解得b ≤0
又b ≥0，所以b ＝0
于是c =-12
所以f x x x ()=-+3121
（2）对任意的x x m m]122，，∈-[，不等式|()()|f x f x m 1216-≤恒成立，等价于在区间[m m]-2，上，f x f x m ()|()|max min -≤16。

由f x x '()=-<31202，得-<<22x
所以f(x)的减区间为[-2，2]
由02<≤m ，得[[]m m]-⊂≠-222，，
所以f(x)在区间[m m]-2，上单调递减
当x m m]∈-[2，时
f x f m m m ()|()()()max =-=---+2212213
f x f m)m m ()|(min ==-+3121
故f x f x m m m m ()|()|[()()]()max min -=---+--+2122112133
=-++612162m m
≤16m
即32802m m +-≥
解得m ≤-2或m ≥
43 又02<≤m 所以
43
2≤≤m。