σn= σm
摩擦切应力为 K的接触面
σn= σm
摩擦切应力为 K的接触面
α
0 β α α σm σ1 K σ3 σ3 K K β
0
β σm σ1 α
K β σm 0
σm K
σm
代数值最大的 σm 主应力σ1的作用线
σ1
0
K σm
K
σ3
σm
K
σ1
σ3
摩擦切应力为K的接触表面的滑移线
（4）库仑摩擦接触表面:摩擦力为某一中间值的接触表面
σ1方向（第一主方向）
K
K
σ3方向
π
4
σ3方向
K
σ1方向
K
α K
σ1 K
β σ1
π
K
判断σ1、σ3方向 判断变化趋势
β
确定滑移线族别
4
α
按最大切应力K的时针转向或按第一主方向确定滑移线族别
8. 2
汉基应力方程
汉基应力方程
σ m − 2kω = C1 → 沿α 线 σ m + 2 k ω = C 2 → 沿β 线
-----(9)
k ( k − p ) − ( −k ) = −2（ p = 2（ + ） k1 2
（5）、平冲头单位长度上的极限压力
π
π
+ ） 4 4
π
P = 2b × 1 × p = 2kb（2 + π）
3、用图解法和数值积分法建立滑移线场
建立滑移线场从已知的边界条件开始 已知两相交滑移线OA和OB，作出该两条滑移线所包围的塑性区 OACB内的滑移线场 （1）图解法：滑移线场的节点编号是用一有序数组（m，n）表 示，其中m为 线的序号 n为β 线的序号
第三：由一族直线与另一 族的曲线相互正交而构成 的，此种滑移线场称为一般 简单应力状态的滑移线场
第四，具有边界线的简单应力状态 的滑移线场。这种场的特点是直线滑 移线是边界线（曲线滑移线的渐屈线〕 的切线，曲线滑移线乃是边界线的渐 开线。
常见的滑移线场类型
直线滑移线场，两族直线 简单滑移线场，一直一曲 有心和无心扇形场 直线与简单滑移线场组合 正交曲线滑移线场
情况2：
⎧σ 3 = 0 ⎪σ − σ = 2 K ⎪ 1 3 ⎨ ⎪σ 1 = 2 K ⎪σ m = K ⎩
π
4
σ3
无摩擦的接触表面
r=0
（2）无摩擦的接触表面 情况1：
0 β
π
4
α β σm σ1
⎧σ 3 = − p ⎪σ − σ = 2k ⎪ 1 3 ⎨ ⎪σ 1 = 2k − p ⎪σ m = k − p ⎩
1 ⎫ ym,n − ym,n −1 = ( xm,n − xm,n −1 ) tan[ (ωm,n + ωm ,n −1 )] ⎪ ⎪ 2 ⎬ 1 ym,n − ym−1,n = −( xm,n − xm−1,n ) cot[ (ωm,n + ωm−1,n )]⎪ ⎪ ⎭ 2
解方程组得
1 1 ym−1,n − ym,n −1 + xm ,n −1 tan[ (ωm ,n + ωm,n −1 )] + xm−1,n cot[ (ωm,n + ωm−1,n )] 2 2 xm,n = − 1 1 tan[ (ωm,n + ωm,n −1 )] + cot[ (ωm ,n + ωm−1,n )] 2 2 1 ym ,n = ym,n −1 + ( xm ,n − xm,n −1 ) tan[ (ωm,n + ωm,n −1 )] 2
0 < τ xy < K
1 −1 τ xy ω = ± cos 2 K
τ = τ xy
0
σy
ω
α
r
β
y
σy
σm
K
β
τ xy
σm β
K
σ3
2ω
σ1
τ xy
0
σ
σx
τ xy
K K
τ xy
σx
α
x a
σm
σx
σm
σm
σy
τ xy
a)
b)
摩擦切应力为某一中间值的接触面处的滑移线
8. 5 三角形均匀场与简单扇形场组合问题及实例
由此可见，滑移线弯曲得越厉害，静水压力变化得就越剧烈。
性质２：在已知的滑移线场内，只要知道一点的静 水压力，即可求出场内任意一点的平均应力，从而 可以计算出各点的应力分量。
由于滑移线已知，即已知滑移线上各点的夹 σa 角 ，如又知道 ，那么 σ b , σ c , σ d 可以求出。 由此可见，如果正确地绘出了滑移线场，又知 道了场内一点的静水压力，那么全部区域内的静水 压力问题都解决了。
将无限接近的剪应力方向连接起来，即到两族正交曲线，称为滑移线，其中沿第 一剪切方向所得的滑移线称为 α族，沿第二剪切方向所得的滑移线称为 β 族。
第一主方向顺时针转45所得的滑移线为 β 线，线两旁的最大剪应力组成 逆时针方向
β
第一主方向顺时针转45所得的滑移线为α 线，线两旁的最大剪应力组成 逆时针方向
第8章 滑移线法
主要内容
8. 8. 8. 8. 8. 1 2 3 4 5 滑移线场的基本概念 汉基应力方程 滑移线场的几何性质 应力边界条件 三角形均匀场与简单扇形场组合问题及实例
8. 1 滑移线场的基本概念
处于塑性平面应变下，设Z轴方向的应变为零。则塑性变形体内 一点P的应力状态可用塑性流动平面内平面应力单元体表示。
C1、C2在同一条滑移线上为常数
α
σ ma − σ mb = ±2k (ωa − ωb )
正号用于α 线，负号 β线
若采用静水压力，为： 则汉基应力方程为：
pm + 2kω = C1 → 沿α 线
注： (1) 由此方程可知，在塑性区内，沿任意一滑移线上，Ｃ1或Ｃ2为一 常数，它们的数值可以根据边界条件定出； (2) 如果利用滑移线网络的特性绘出滑移线场，那么就可以解出塑性 区内任意一点的 σ m 值，从而求出任意一点的 σ x , σ y ,τ xy 。 (3) 从族滑移线中的一条滑移线转至另一条时，一般来说，Ｃｌ会改 变。同样，从族滑移线中的一条滑移线转至另一条时，Ｃ2也会改 变。
⎧σ 1 = 0 ⎪σ − σ = 2k 3 ⎪ 1 ⎪ ⎨σ 3 = −2k ⎪σ = (σ + σ ) / 2 = − k 1 3 ⎪ md ⎪θ d = −π / 4 ⎩
（4）、代入汉基应力方程 因CD是β族滑移线，由汉基定理：
σ c − σ d = −2k (θc − θ d ) = −2kθcd
α
dy Δy = = tgω, dx Δx dy Δy = = cot ω, dx Δx
(沿α 线) (沿β 线)
-----(8)
以弦代替圆弧，取 弦的斜率等于端点 斜率的平均值。 由汉基第一定理得
ωm ,n − ωm −1,n = ωm ,n −1 − ωm −1,n −1
ωm ,n = ωm −1,n + ωm ,n −1 − ωm −1,n −1
正交对数螺线
正交圆摆线
等半径圆弧
自由表面或均布法向应力
粗糙平行刚性板压缩
8. 4
应力边界条件
塑性加工问题的应力边界条件，有四种情况： （1）自由表面 塑性加工时塑性区可能扩展到自由表面， 如平冲头压入半无限体工件:
情况1：
⎧σ 1 = 0 ⎪σ − σ = 2 K ⎪ 1 3 ⎨ ⎪σ 3 = −2 K ⎪σ m = − K ⎩
-----(1)
τ
τxy
σy （σm,+K） y τyx
π
4
σ3 σm +K σy
σ1 σ
P
τxy 0 -K
ω
τyx
σ1
K
x σx σ2= σm
2ω （σm,-K）
σm
σ1的作用线
σx
x
塑性平面应变状态下一点的应力 状态、应力莫尔圆及物理平面
σx −σ y tan 2ω = − 2τ xy
-----(2)
pma − pmb = ±2k (ωa − ωb ) 负号用于α 线，正号 β线
pm − 2kω = C 2 → 沿β 线
8. 3 滑移线场的几何性质
性质１：在同一条滑移线上，由点ａ 到点ｂ，平均应力的变化与滑移线 的切线的转角成正比。
σ a − 2kϕa = σ b − 2kϕb σ a − σ b = 2k (ϕa − ϕb ) Δσ = 2k Δϕ
σm σ1
σ3 K K
情况2：
⎧σ 1 = p ⎪σ − σ = 2k σm K K ⎪ 1 3 σ3 ⎨ ⎪σ 3 = 2k + p ⎪σ m = k + p 无摩擦接触表面处的滑移线 ⎩
0
代数值最大的 主应力σ1的作用线
σm α
（3）粘着摩擦接触表面 τ xy = ± K 高温塑性加工且无润滑时，如热挤压、热轧和热锻等，工件与工具间 易出现全粘着现象，以致接触表面上的摩擦应力为最大。 一族滑移线与表面相切，另一族与之正交
1 (σ 1 − σ 3 ) = k 2 1 (σ 1 + σ 3 ) = σ m 2
z σz= σm= σ2
σm +K
σy
σ1 τyx -K
σ1作用线
τσm xy
σx σ3
0 σx x
σy ττyx xy y
P
σ1 = σ m + k σ2 =σm σ3 = σm − k
σ x = σ m − k sin 2ω σ y = σ m + k sin 2ω τ xy = k cos 2ω