2013高考理数冲刺押题系列专题05 圆锥曲线（上）（教师版）【名师备考建议】鉴于圆锥问题具有综合性强、区分度高的特点，名师给出以下四点备考建议：1、主观形成圆锥的知识结构；椭圆、双曲线、抛物线，在这三类曲线身上是有很多的基本性质具有相关性，因此，在复习备考的过程中，应当主观的形成对三类圆锥曲线方程以及性质的认识，形成一张深刻记忆的知识列表；同时对基本的题型也要有一定的把握；2、认真研究三年高考的各种题型；由于圆锥曲线的难度系数较高，不易把握，但仍然有理可循；复习备考的过程中，无论是老师还是学生都应当认真研究近三年文理科的出题方向，至于从何研究，可以从近三年的质检卷、名校卷以及高考卷中得到启示，努力理清每一道问题的思路、做法，这样可以有效的培养解题意识；3、熟练掌握部分题型的解题模式；三轮复习中，由于做题的经验得到一定的积累，多多少少对题目的解题方法和手段有了一定的认识，比如，直线与圆锥曲线的问题，大部分是必须联立直线与圆锥曲线的方程进行解题，这是一种模式；再比如，圆锥曲线的探究性问题，可以先采用一些特殊值进行计算，得到结论以后加以证明；这都是必须熟练掌握的解题模式；4、调整对待圆锥曲线的心理状态；由于圆锥曲线问题的综合性较强，并且经常作为倒二题出现，这就要求学生合理的分配自己的时间；如果实在无法求解，无须在此问题上进行逗留，以免失去了做压轴题和检查的时间；对于优等生来说，必须精益求精；对于中等生来说，只需尽其所能；对于差等生来说，一定不必强求.【高考冲刺押题】【押题1】1（a＞b＞0，过点和(0,)A b-(,0) B a的直线与原点的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）已知定点，若直线与椭圆交于、两点．问：是否存在实数，使以为直径的圆过点? 如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．ECD kkDC2(0)y kx k=+≠(1,0)E-23【押题2】已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 过点)3,2(A ，且离心率21=e ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在过点)4,0(-B 的直线l 交椭圆于不同的两点M 、N ，且满足716=⋅ON OM （其中点O 为坐标原点），若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．【详细解析】（1）∵椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 过点)3,2(A ，且离心率21=e∴7164348644348484316222222121=+-=+-++=+=⋅kk k k k y y x x ON OM【押题3】如图，已知抛物线24y x 的焦点为F ．过点(2,0)P 的直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点M ，N ．（1）求12y y 的值；（2）记直线MN 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k .证明：12k k 为定值．【深度剖析】 押题指数：★★★★★名师思路点拨：（1）因为直线直线AB 不平行于x 轴，所以设AB 的方程为2x my =+，联立直线与抛物线的方程，利用根与系数的关系可以算出128y y =-；（2）11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，44(,)N x y ，可知112234k y y k y y +=+，再将这个式子与（1）中结论配合证明即可.名师押题理由：本题考查了探究性的定值问题，需要化归与转化能力：1、直线的方程；2、根与系数的关系；3、两点间的斜率公式；4、抛物线的方程.【押题4】已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆Ω，它的离心率为12，一个焦点是()1,0-,过直线:4l x =上一点M 引椭圆Ω的两条切线，切点分别是A ，B. （1）求椭圆Ω的方程；（2）若在椭圆Ω：()222210x y a b a b+=>>上的点()00,x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=.求证:直线AB 恒过定点C ，并出求定点C 的坐标.（3）是否存在实数λ，使得AC BC AC BC λ+=⋅恒成立？（点C 为直线AB 恒过的定点）若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.所以()2212122212121111999y y y y AC BC y y y y t t t -⎛⎫-+=-== ⎪+++⎝⎭222222610812121449144427399t t t t t t ⎛⎫+ ⎪+++⨯⎝⎭===-++， 即43AC BC AC BC +=⋅，故存在实数43λ=，使得AC BC AC BC λ+=⋅.【押题5】已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)3,Q 为椭圆C 的左顶点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知过点6(,0)5-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.① 若直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小;② 若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.【详细解析】（1）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，且222a b c .由题意可知：1b，3ca ；解得24a ；∴ 椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）由（Ⅰ）得(2,0)Q -.设1122(,),(,)A x y B x y . （ⅰ）当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65x =-.∴QA QB ⊥. 即QAB ∆为直角三角形.假设存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形，则QA QB =.【深度剖析】 押题指数：★★★★★名师思路点拨：（1）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由“椭圆C 过点(0,1)，3”可以求出椭圆方程；（2）（ⅰ）联立直线与椭圆的方程，算出A ，B 两点的坐标，可以求得AQ BQ ⊥，由此确定角度；（ⅱ）联立直线和椭圆的方程，可以求得∴QA QB ⊥,即QAB ∆为直角三角形；取AB 的中点M ，连接QM ，要是QAB ∆为等腰三角形，则QMAB ，转为为证明这两个向量的数量积是否为0即可.名师押题理由：本题体现向量背景下的圆锥曲线问题，知识点综合性强： 1、直线的方程；2、椭圆的方程；3、椭圆的参数关系；4、椭圆的离心率； 5、根与系数的关系；6、向量数量积的基本运算；7、等腰三角形的性质.【名校试题精选】【模拟训练1】如图，已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴上，抛物线上的点A 到F的距离为2，且A 的横坐标为1. 过A 点作抛物线C 的两条动弦AD 、AE ，且AD 、AE 的斜率满足 2.AD AE k k ⋅=（1） 求抛物线C 的方程；（2） 直线DE 是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标； 若不过某定点，请说明理由.12122()4y y y y ++=，所以21n m =-，代入DE 方程得：21x my m =+-，即(2)1y m x +=+………………………………………12分故直线DE 过定点(1,2).--…………………………………………………14分【深度剖析】名校试题来源：2012-2013陕西省西安一中高三上学期期末测试 难度系数：★★★ 综合系数：★★★★★名师思路点拨：（1）利用抛物线的定义可以求出p ，进而求出抛物线的方程；（2）先求出直线DE 的方程“x my n =+”，利用“2AD AE k k ⋅=”得到关于m 、n 的数量关系，进而得到定点的坐标.【模拟训练2】已知椭圆,22)0(1:2222=>>=+e b a by a x C 的离心率左、右焦点分别为F 1、F 2，点)3,2(P ，点F 2在线段PF 1的中垂线上。

】（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线m kx y l +=:与椭圆C 交于M 、N 两点，直线F 2M 与F 2N 的倾斜角互补，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标.【深度剖析】名校试题来源：2012-2013辽宁省五校协作体高三第一学期期末考试 难度系数：★★★★ 综合系数：★★★★★名师思路点拨：（1）“F 2在线段PF 1的中垂线上”说明“122||||F F PF ”，再结合题设条件建立关于建立关于参数a 、b 、c 的方程组，进而求出椭圆的方程；（2）联立直线和椭圆的方程，利用“220F M F N k k +=”，找出直线MN 方程的参数关系，进而求出定点坐标.【模拟训练3】已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，左、右两个焦点分别为1F 、2F ，上顶点),0(b A ，21F AF ∆为正三角形且周长为6. （1）求椭圆C 的标准方程及离心率；（2）O 为坐标原点，P 是直线A F 1上的一个动点，求||||2PO PF +的最小值，并求出此时点P 的坐标．∵PM PO =，222MF PM PF PO PF ≥+=+，…… 10分【深度剖析】名校试题来源：2012-2013广东省珠海市高三上学期期末考 难度系数：★★★★ 综合系数：★★★★★名师思路点拨：（1）由题设条件可以列出“⎪⎩⎪⎨⎧+==++=222622c b a c a a c a ”，进而确定椭圆的方程；（2）由平面几何知识可知“222MF PM PF PO PF ≥+=+”，将问题转化为去求2MF 的长度.【模拟训练4】已知(2,0)A -，(2,0)B ，(,)C m n ． （1）若1m =，3n =ABC ∆的外接圆的方程；（2）若以线段AB 为直径的圆O 过点C （异于点,A B ），直线2x =交直线AC 于点R ，线段BR 的中点为D ，试判断直线CD 与圆O 的位置关系，并证明你的结论．【详细解析】（1）法1：设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，∴42nt m =+，【深度剖析】名校试题来源：2012-2013广东省佛山市高三上学期质量检测 难度系数：★★★★ 综合系数：★★★★★名师思路点拨：（1）设出圆的一般方程，带入点坐标进行求解；（2）直线与圆相切，证明圆心到直线的距离等于半径即可.【模拟训练5】椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的一个焦点1(2,0)F -，点14P 在椭圆E 上．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设点C 的坐标为(1,0)，椭圆E 的另一个焦点为2F ．试问：是否存在椭圆上的点Q 及以C 为圆心的一个圆，使圆C 与直线12,QF QF 都相切，如存在，求出Q 点坐标及圆C 的方程， 如不存在，请说明理由．【详细解析】因为点在椭圆上，所以822020=+y x ，【模拟训练6】已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>652（１）求椭圆C 的方程；（２）已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点.①若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值； ②已知点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅为定值.【深度剖析】名校试题来源：2012-2013广东省“六校教研协作体”高三联考难度系数：★★★★综合系数：★★★★★名师思路点拨：（1）易知“6ca=、15222b c⨯⨯=，结合椭圆的参数关系可以求出a、b、c的值；（2）1、联立直线和椭圆的方程，利用根与系数的关系计算k；2、利用向量的数量积公式将其转化为根与系数的表达式进行探究.【模拟训练7】已知左焦点为F(－1，0)的椭圆过点E(123．过点P(1，1)分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为线段AB 的中点，求k 1；（3）若k 1+k 2=1，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．直线MN 的方程为2211222211121063()92323k k k k k y x k k k k ---=--++， 即 21211222221211110610632()992323k k k k k k k y x k k k k k k --=+⋅+--++， 亦即 2121106293k k y x k k -=--． 此时直线过定点2(0,)3-．…………………………………………………………15分 当k 1k 2=0时，直线MN 即为y 轴，此时亦过点2(0,)3-． 综上，直线MN 恒过定点，且坐标为2(0,)3-．……………………………………16分【深度剖析】名校试题来源：2012-2013江苏省南通市高三数学调研难度系数：★★★★综合系数：★★★★★名师思路点拨：（1）利用椭圆的定义求出椭圆的标准方程；（2）设A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，利用点差法确定k 1的值；（3）求出直线MN 的方程，利用根与系数的关系以及k 1+k 2=1探究直线过哪个定点.【模拟训练8】已知两定点()()2,0,2,0E F-，动点P 满足0PE PF ⋅=，由点P 向x 轴作垂线PQ ，垂足为Q ，点M 满足()21PM MQ =-，点M 的轨迹为C. （I ）求曲线C 的方程；（II ）若线段AB 是曲线C 的一条动弦，且2AB =，求坐标原点O 到动弦AB 距离的最大值.【详细解析】【深度剖析】名校试题来源：2012-2013山东省潍坊市高三上学期期末考试难度系数：★★★★★综合系数：★★★★★名师思路点拨：（1）先求出动点P的轨迹方程，在利用PQ⊥x轴，求出曲线C的轨迹方程；（2）设出直线的方程y kx b=+，利用点到直线的距离关系计算出d；联立直线与椭圆的方程可以得到k和b的关系式，将d转化成b或k的函数进行讨论.【模拟训练9】已知椭圆M的对称轴为坐标轴, 2且抛物线242y=的焦点是椭圆M的一个焦点．（1）求椭圆M的方程；（2）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段,OA OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点. 求点O到直线l的距离的最小值．222222∆=-+-=+->，①…………7分k m k m k m164(12)(24)8(24)0【深度剖析】名校试题来源：2012-2013北京市昌平去区高三上学期期末质量抽查难度系数：★★★★★综合系数：★★★★★名师思路点拨：（1））由已知抛物线的焦点为，又c e ==由，可以求出椭圆的方程；（2）联立直线和椭圆的方程，列出点O 到直线l的距离：d =，结合基本不等式的条件进行判断.【模拟训练10】设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，线段OF 1、OF 2的中点分别为B 1、B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．过 Ｂ1作直线l 交椭圆于P 、Q 两点．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若22QB PB ⊥，求直线l 的方程；（3）设直线l 与圆O ：x 2+y 2=8相交于M 、N 两点，令|MN|的长度为t ，若t∈[4,，求△B 2PQ 的面积S 的取值范围．【深度剖析】名校试题来源：2012-2013江苏省南京市高三第一次模拟难度系数：★★★★★综合系数：★★★★★名师思路点拨：（1）利用△AB 1B 2是直角三角形，可以得到c=2b ，利用面积可知24b =，进而椭圆的标准方程；（2）联立直线与椭圆的方程，将问题转化为22B P B Q ⋅进行计算，注意配合使用根与系数的关系；（3）设直线:l )2(+=x k y ，将面积构造为关于k 的函数，转化为题为求函数的值域问题.。