解析几何作业答案
一、填空题
1. 2．()1,0 3.12 4.22
13-=y x
5.
6．y 2=8x 7．14- 8．
552 9.点P （x 1,x 2）在圆222=+y x 内10．5 11．－1
12.1⎫⎪⎪
⎣⎭
13.若点P 在两渐近线上的射影分别为M 、N ，则PM PN ⋅必为定值2222
a b a b + 14． 1,12⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
15．④ 16．)2,(--∞ ∪),2(∞+ 17．a ＝－2 18．②③ 二、计算题
1．【解】（Ⅰ）设F 、B 、C 的坐标分别为（－c ，0），（0，b ），（1，0），则FC 、BC
的中垂线分别为12c x -=，11
()22b y x b -=-． 联立方程组，解出21,2
.2c
x b c
y b -⎧
=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
21022c b c m n b
--+=+>，即2
0b bc b c -+->，即（1＋b ）
（b －c ）>0， ∴ b >c ． 从而22b c >即有222a c >，∴21
2
e <．又0e >，∴0e <
<2．
（Ⅱ）直线AB 与⊙P 不能相切．由AB
k b =，22102
PB b c b b k c
--=--
＝2
(1)b c b c +-． 如果直线AB 与⊙P 相切，则b ·2
(1)
b c
b c +-＝－1．解出c ＝0或2，与0＜c ＜1矛盾，
所以直线AB 与⊙P 不能相切． 2．【解】⑴因为入射光线与反射光线垂直，所以入射光线与准线所成的角为︒45，
即︒=∠45FAO ，所以b c =
，所以椭圆的离心率为2
．
⑵由⑴知,==b c a ，可得()()0,,2,A c B c c -，又AF AB ⊥，所以过,,A B F 三点的圆的
圆心坐标为,22c c ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，半径12r FB ==， 因为过,,A B F 三点的圆恰好与直线
330x y -+=相切，所以圆心到直线330x y -+=的距离等于半径r ，
即
，得1c =，
所以1,b a ==2
212
x y +=．
3．【解】（1）抛物线24y x =的准线方程为1x =-．∵AF BF λ+=0，∴A ，B ，F 三点共线．由抛物线的定义，得|AB |=122x x ++．设直线AB ：(1)y k x =-，而12
121212,,0,0,0.y y k x x y y k x x -=
>><∴>-由2(1),4,
y k x y x =-⎧⎨=⎩得22222(2)0k x k x k -++=．
∴212212
2(2)
,1,k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪⋅=⎩|AB |=122x x ++= 222(2)2524k k ++=．∴2169k =． 从而43k =
，故直线AB 的方程为4(1)3y x =-，即4340x y --=．（2）由2
4340,4,x y y x --=⎧⎨=⎩
求得A （4，4），B （
1
4
，－1）．设△AOB 的外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，则 0,1616440,111()0.164F D E F D E F ⎧⎪=⎪++++=⎨
⎪⎪+++-+=⎩解得29,43,40.
D E F ⎧
=-⎪⎪⎪=-⎨⎪
=⎪⎪
⎩
故△AOB 的外接圆的方程为2229304
4
x y x y +--=．
4．【解】（1）设11(,)P x y 是双曲线上任意一点，该双曲的两条渐近线方程分别是20x y -=和20x y +=. 点11(,)P x y
它们的乘积是
⋅2211|4|455x y -=
是一个常数.
（2）设的坐标为(,)x y ，则222||(3)PA x y =-+2
2(3)14
x x =-+-25124()4
5
5
x =-+
||2x ≥， ∴ 当125
x =时，2
||PA 的最小值为
4
5，即||PA
5．【解】（1）
PQ 为圆周的1,.4
POQ π
∴∠=O ∴点到直线1l
设1l 的方程为21(2),.7y k x k =+=∴=1l ∴的方程为2).y x =+ （2）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，半焦距为c ，则2
2.a c
=椭圆与圆O 恰有两个
不同的公共点，则1a =或 1.b =当1a =时，
222
13,,24
c b a c ==-=∴所求椭圆方程为22413y x +=； 当1b =时，222222,1, 2.b c c c a b c +=∴=∴=+=所求椭
圆方程为22 1.2x y +=
（3）设切点为N ，则由题意得，在Rt MON ∆中，
2,1MO ON ==，则30NMO ∠=，N 点的坐标
为
)2
3,21(-，若椭圆为2
2 1.2x y +=其焦点F 1,F 2分别为点
A,B 故2
3232212
1=⨯⨯=∆F NF S ，
若椭圆为2
2413y
x +=，其焦点为)0,21(),0,21(21F F -,此时4
3231212
1=⨯⨯=∆F NF S
6．【解】（1）设M 14
),,(),(),)(,334(11221,1=+∈y y x
x MA y x B y x A R t t 的方程为则
∵点M 在MA 上∴13
311=+ty x ①同理可得
13
3
22=+ty x ② 由①②知AB 的方程为)1(3,13
3ty x ty x -==+即
易知右焦点F （0,3）满足③式，故AB 恒过椭圆C 的右焦点F （0,3）……8分 （2）把AB 的方程0167,14
)1(322
=--=+-=y y y x y x 化简得代入
∴7167283631||=+⋅+=AB 又M 到AB 的距离3323
1|
33
4|
=+=d .
∴△ABM 的面积21
316||21=⋅⋅=d AB S . 7．【解】（Ⅰ）点A 代入圆C 方程， 得
2(3)15m -+=．∵m ＜3，∴m ＝1．圆C ：22(1)5x y -+=．设直线PF 1的斜率为k ，
则PF 1：(4)4y k x =-+，
即440kx y k --+=．∵直线PF 1与圆C
=
解得111,22k k ==或．当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为36
11，不合题,舍去．
当k ＝1
2
时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为－4，∴c ＝4．F 1（－4，0），F 2（4，0）．
2a ＝AF 1＋AF 2
＝
，a =a 2＝18，b 2
＝2．椭圆E 的方程为：221182
x y +=．
（Ⅱ）(1,3)AP =，设Q （x ，y ），(3,1)AQ x y =--，(3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-． ∵221182
x y +=，即22(3)18x y +=，而22(3)2|||3|x y x y +⋅≥，∴－18≤6xy ≤18． 则222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[0，36]．
3x y +的取值范围是[－6，6]．∴36AP AQ x y ⋅=+-的取值范围是[－12，0]. (也可以用三角代换)。