学科教师辅导讲义
【知识梳理】
(1)两个向量平行的充要条件
a ∥
b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝O.（λ不等于0） (2)两个向量垂直的充要条件 a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.
课堂练习与讲解：
(1)若向量(,1),(4,)a x b x ==r r ，当x ＝__2___时a r 与b r 共线且方向相同；
(2)已知(1,2),(3,)OA OB m =-=u u u r u u u r ，若OA OB ⊥u u u r u u u r ，则m = 3
2 ；
(3)已知向量(2,3)a =，(,6)b x =，且a b P ，则x 为___4__________．
(4)已知向量5,(1,2)a b ==r r
，且b a ρρ⊥，则a ρ的坐标是__(25,5-)或___(25,5)-____。

(5)若()
221,2,a b a b a ==-⊥r r r r r
，则b a ρρ与的夹角为_____045______。

(6)已知平面向量(1,2)a =r ，(2,)b m =-r
，且a r //b r ，则23a b +r r ＝（ B ）
A 、(5,10)--
B 、(4,8)--
C 、(3,6)--
D 、(2,4)-- (7)已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为（ C ）
A ．17
B ．18
C ．19
D ．20
(8)已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ，(,7)c k =r ，若()a c -r r
∥b r ，则k = 5 ． (9)已知平面向量a =,1x （）
，b =2
,x x （－）， 则向量+a b （ C ） A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于y 轴
D.平行于第二、四象限的角平分线
(10)已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是（ D ） A ．-2
B ．0
C ．1
D ．2
（11）已知(1,1),(4,)a b x ==r r ，2u a b =+r r r ，2v a b =+r r r ，且//u v r r ，则x ＝__ 4 ____；
（12）以原点O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=︒，则点B 的坐标是_（1，3）或（3，-1）_____ __；
（13）已知(1,2)n =r 向量n m ⊥r u r ，且n m
=r u r ，则m u r 的坐标是 _ (2,1)-或(2,-1)___
(14)已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r
，且A 、B 、C 三点共线，则 k= 3
4
-
_ (15)已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =u u u r u u u r ，则顶点D 的坐标为（ A ）
A ．722⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
B ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
C ．(32)，
D ．(13)，
(16)已知向量(2,4)a =， (1,1)b =．若向量 ()b a b λ⊥+，则实数λ的值是 -3 ．
(17)已知a,b 是非零向量,且满足(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是 60° ．
(18)（2009浙江卷文）已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c = （ B ） A ．77(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93
-- (19)已知向量a 、b 不共线，c k =a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c //d ，那么 （ D ）
A ．1k =且c 与d 同向
B ．1k =且c 与d 反向
C ．1k =-且c 与d 同向
D ．1k =-且c 与d 反向
(20)已知点(1,2)A -,若向量AB u u u r 与(2,3)a =r
同向, ||AB u u u r =213,则点B 的坐标为 ( 5, 4 )或（-3，-8） .
(21)已知向量(3,4),(sin ,cos ),a b αα==r r 且//a b r r
,则tan α=（ C ）.
A ．
34 B. 34- C. 43 D. 43
- (22)若
，且
，则向量
与
的夹角为（ C ）
A. 30°
B. 60°
C. 120°
D. 150° (23)若平面向量a ，b 满足
1=+b a ，b a +平行于x 轴，)1,2(-=b ，则=a （-1，1）或（-3，1） .
(24)设向量a r ，b r ，c r 满足0a b c ++=r r r r ，()a b c -⊥r r r ，a b ⊥r r
，若｜a r ｜=1,则 ｜a r ｜22||b +r +｜c r ｜2
的值是 4 .
(25)（本题12分）已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝（1，2） ⑴若|c |52=，且a c //，求c 的坐标； ⑵若|b |=
,2
5
且b a 2+与b a 2-垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：⑴设20,52,52||),,(2
2
2
2
=+∴=+∴==y x y x c y x c Θ
23.已知ABC V 和ABC V 所在平面内一点O ,且,OA BC OB CA ⊥⊥,用向量的方法
证明：
OC AB ⊥.
24．如图，一个质量为40N 的物体，由两根绳子,AC BC 悬挂起来，若,AC BC 与铅垂线所成的角分别为30°，45°，且物体静止不动，求绳子,AC BC 需要承受多大的力？
答案：1.C 2.A 3.B 4.C 5.C 6.C 7.A 8.C 9.D 10.B 11.16 12
2233
a b -r
r 13.4 14.26-或 15.612,55⎛⎫
- ⎪⎝⎭
16.750焦耳 17.a b +r r 18.②④⑤
19.()()6,86,8--或 20.221 21略 22略
23.只要证明0OC AB =u u u r u u u r
g
24.(
)(
)
4031,202
31AC BC F N F N =-=-
A
B
C。