对于一元二次方程不相等的实数根
，则有下列两个
关系式：
以上叙述的规律称之为韦达定理。

该定理只阐述了一元二次方程两根之和以及两根之积和系数的关系，所以在解题过程中，目标就是要通过恒等变换（不改变原来的值）出现。

以下是经常涉及到的几种变换。

（1）
（2）
（4）
（5）2212121212()x x x x x x x x +=+
Let’s go!
一元二次方程根与系数的关系练习题
A 组
1．一元二次方程2
(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )
A ．2k >
B ．2,1k k <≠且
C ．2k <
D ．2,1k k >≠且
2．若12,x x 是方程2
2630x x -+=的两个根，则
1211
x x +的值为( ) A ．2 B ．2- C ．
12
D ．
92
变换原理：
3．若t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式24b ac ∆=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是( )
A ．M ∆=
B ．M ∆>
C ．M ∆<
D ．大小关系不能确定
4．若实数a b ≠，且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，则代数式11
11
b a a b --+--的值为( )
A ．20-
B ．2
C ．220-或
D ．220或
5．如果方程2()()()0b c x c a x a b -+-+-=的两根相等，则,,a b c 之间的关系是 ______
6．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．
7．若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．
8．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程2
0x qx p ++=的两实根，则p = _____ ，
q = _____ ．
9．已知实数,,a b c 满足26,9a b c ab =-=-，则a = _____ ，b = _____ ，c = _____ ．
10．对于二次三项式21036x x -+，小明得出如下结论：无论x 取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．
11．若0n >，关于x 的方程2
1(2)04x m n x mn --+
=有两个相等的的正实数根，求m
n
的值．
12．已知关于x 的一元二次方程2
(41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足
121112
x x +=-，求m 的值．
13．已知关于x 的方程2
2
1(1)104
x k x k -++
+=的两根是一个矩形两边的长． (1) k 取何值时，方程存在两个正实数根？
(2) k 的值．
14.已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根.求m 的值.
B 组
1．已知关于x 的方程2
(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x ． (1) 求k 的取值范围；
(2) 是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请您说明理由．
2．已知关于
x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x 的方程
22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．
3．若12,x x 是关于x 的方程22(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1． (1) 求实数k 的取值范围； (2) 若
121
2
x x =，求k 的值．
4.已知关于x 的方程2
2
1(1)104
x k x k -++
+=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．
5.已知12,x x 是一元二次方程2
4410kx kx k -++=的两个实数根．
(1) 是否存在实数k ，使12123
(2)(2)2
x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．
(2) 求使
12
21
2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．
课后总结：在解决一元二次方程的根与系数关系时，一定注意暗含的两
个前提条件，即
只有这样才能达到事半功倍的效果。

思路及讲解 A 组
1. B
2.A
3.A 提示：
4.A
提示：由题意可知：
5. 提示:
=0
6、3
7、9或-3提示：
8
、
9、
提示：思路转换
应该是方程
的根则
10、正确 提示：方程
11.4 思路点拨：由题意可知
12.
21
(1)1650 (2)2m m ∆=+>=-
13．3
(1) (2)22k k ≥=
14.-3
B 组
1．
13
(1)112
k k <
≠且 (2) 不存在 2．1m = (1)当3k =时，方程为310x +=，有实根；(2) 当3k ≠时，0∆>也有实根．
3．(1) 3
14
k k ≥≠且 ； (2) 7k =． 4. 分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是120x x =>，二是12x x -=，所以要分类讨论．
解：(1) ∵方程两实根的积为5
∴ 2
22121[(1)]4(1)034
,41215
4
k k k k x x k ⎧∆=-+-+≥⎪⎪⇒≥=±⎨
⎪=+=⎪⎩ 所以，当4k =时，方程两实根的积为5． (2) 由12||x x =得知： ①当10x ≥时，12x x =，所以方程有两相等实数根，故3
02
k ∆=⇒=
； ②当10x <时，12120101x x x x k k -=⇒+=⇒+=⇒=-，由于
3
02
k
∆>⇒>，故1k =-不合题意，舍去．
综上可得，3
2
k =时，方程的两实根12,x x 满足12||x x =． 5.解：(1) 假设存在实数k ，使12123
(2)(2)2
x x x x --=-成立．
∵ 一元二次方程2
4410kx kx k -++=的两个实数根
∴ 2
400(4)44(1)160
k k k k k k ≠⎧⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎩，
又12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根
∴ 1212114x x k x x k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩
∴ 222121212121212(2)(2)2()52()9x x x x x x x x x x x x --=+-=+- 93
9
425
k k k +=-
=-⇒=，但0k <．
∴不存在实数k ，使12123
(2)(2)2
x x x x --=-
成立．
(2) ∵ 222121212211212()44
224411
x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-
++
∴ 要使其值是整数，只需1k +能被4整除，故11,2,4k +=±±±，注意到0k <，
要使
12
21
2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为2,3,5---．。