1.1.3 瞬时变化率——导数 同步检测 (二)
一、基础过关
1．下列说法正确的是________(填序号)．
①若f′(x 0)不存在，则曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处就没有切线；
②若曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处有切线，则f′(x 0)必存在；
③若f′(x 0)不存在，则曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线斜率不存在；
④若曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处没有切线，则f′(x 0)有可能存在．
2．已知y ＝f(x)的图象如图所示，则f′(x A )与f′(x B )的大小关系是________．
3．已知f(x)＝1x ，则当Δx→0时，f 2＋Δx －f 2Δx
无限趋近于________． 4．曲线y ＝x 3＋x －2在点P 处的切线平行于直线y ＝4x －1，则此切线方程为
____________．
5．设函数f(x)＝ax 3＋2，若f′(－1)＝3，则a ＝________.
6．设一汽车在公路上做加速直线运动，且t s 时速度为v(t)＝8t 2＋1，若在t ＝t 0时的加速度为6 m/s 2，则t 0＝________ s.
二、能力提升
7．已知函数y ＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y ＝12
x ＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.
8．若函数y ＝f(x)的导函数在区间上是增函数，则函数y ＝f(x)在区间上的图象可能是________．(填序号)
9．若曲线y＝2x2－4x＋P与直线y＝1相切，则P＝________.
10．用导数的定义，求函数y＝f(x)＝1
x
在x＝1处的导数．
11．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10.求：
(1)它们的交点；
(2)抛物线在交点处的切线方程．
12．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y ＝6平行，求a的值．
三、探究与拓展
13．根据下面的文字描述，画出相应的路程s关于时间t的函数图象的大致形状：
(1)小王骑车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
(2)小华早上从家出发后，为了赶时间开始加速；
(3)小白早上从家出发后越走越累，速度就慢下来了．
答案 1．③ 2．f′(x A )<f′(x B )
3．－14
4．4x －y －4＝0或4x －y ＝0
5．1
6．38
7．3
8．①
9．3
10．解 ∵Δy ＝f(1＋Δx)－f(1)＝
11＋Δx －11 ＝1－1＋Δx
1＋Δx ＝－Δx 1＋Δx ·1＋1＋Δx
， ∴Δy Δx ＝－11＋Δx ·1＋1＋Δx ，
∴当Δx 无限趋近于0时，
－1
1＋Δx ·1＋1＋Δx
无限趋近于－12
， ∴f′(1)＝－12. 11．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3y ＝13. ∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．
(2)∵y ＝x 2＋4，
Δy Δx
＝x ＋Δx 2＋4－x 2＋4Δx Δx
2＋2x·Δx
Δx ＝Δx ＋2x ， ∴Δx→0时，Δy Δx
→2x. ∴y′|x ＝－2＝－4，y′|x ＝3＝6，
即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0；
在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.
12．解 ∵Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)
＝(x 0＋Δx)3＋a(x 0＋Δx)2－9(x 0＋Δx)－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)
＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，
∴Δy Δx
＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a)Δx ＋(Δx)2. 当Δx 无限趋近于零时，
Δy Δx
无限趋近于3x 20＋2ax 0－9. 即f′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9
∴f′(x 0)＝3(x 0＋a 3)2－9－a 2
3
. 当x 0＝－a 3时，f′(x 0)取最小值－9－a 2
3
. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，
∴该切线斜率为－12.
∴－9－a 2
3
＝－12. 解得a ＝±3.又a<0，
∴a ＝－3.
13．解 相应图象如下图所示．。