抽象函数的证明一、定义域问题例1.已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。

解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21x ，所以)(2x f 中的2x 满足412x从而函数f （x ）的定义域是［1，4］评析：一般地，已知函数))((x f 的定义域是A ，求f （x ）的定义域问题，相当于已知))((x f 中x 的取值范围为A ，据此求)(x 的值域问题。

例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[，，求函数)]3([log 21x f 的定义域。

解：)(x f 的定义域是]21[，，意思是凡被f 作用的对象都在]21[，中，由此可得4111)21(3)21(2)3(log 11221xxx 所以函数)]3([log 21x f 的定义域是]4111[，评析：这类问题的一般形式是：已知函数f （x ）的定义域是A ，求函数))((x f 的定义域。

正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。

这类问题实质上相当于已知)(x 的值域B ，且A B ，据此求x 的取值范围。

例2和例1形式上正相反。

二、求值问题例3. 已知定义域为R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①51)6(1)2(f f ，；②)()()(y f x f y x f ，求f （3），f （9）的值。

解：取32yx，，得)3()2()6(f f f因为51)6(1)2(f f ，，所以54)3(f 又取3yx得58)3()3()9(f f f 评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取32yx，，这样便把已知条件51)6(1)2(f f ，与欲求的f （3）沟通了起来。

赋值法是解此类问题的常用技巧。

三、解析式问题例 4. 设对满足10xx ，的所有实数x ，函数)(x f 满足xxx f x f 1)1()(，求f （x ）的解析式。

解：在)1(1)1()(x x x f x f 中以x x 1代换其中x ，得：)2(12)11()1(xx x f xx f 再在（1）中以11x 代换x ，得)3(12)()11(x x x f x f )3()2()1(化简得：)1(21)(23x x xxx f 评析：如果把x 和xx 1分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。

通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。

四、单调性问题例 5.设f （x ）定义于实数集上，当0x时，1)(x f ，且对于任意实数x 、y ，有)()()(y f x f y x f ，求证：)(x f 在R 上为增函数。

证明：在)()()(y f x f y xf 中取0y x ，得2)]0([)0(f f 若0)0(f ，令00yx ，，则0)(x f ，与1)(x f 矛盾所以0)0(f ，即有1)0(f 当0x时，01)(x f ；当0x 时，1)(0x f x ，而1)0()()(f x f x f 所以0)(1)(x f x f 又当0x时，01)0(f 所以对任意R x ，恒有0)(x f 设21x x ，则1)(01212x x f x x ，所以)()()()]([)(11211212x f x x f x f x x x f x f 所以)(x f y 在R 上为增函数。

评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。

五、奇偶性问题例6. 已知函数)0)((xR x x f ，对任意不等于零的实数21x x 、都有)()()(2121x f x f x x f ，试判断函数f （x ）的奇偶性。

解：取1121x x ，得：)1()1()1(f f f ，所以0)1(f又取121x x 得：)1()1()1(f f f ，所以0)1(f 再取121x x x ，则)()1()(x f f x f ，即)()(x f x f 因为)(x f 为非零函数，所以)(x f 为偶函数。

六、网络综合问题例7.定义在R 上的函数f （x ）满足：对任意实数m ，n ，总有)()()(n f m f n m f ，且当x>0时，0<f （x ）<1。

（1）判断f （x ）的单调性；（2）设)}1()()(|){(22f y f x f y x A，，}1)2(|){(R a y ax f y x B ，，，若BA ，试确定a 的取值范围。

解：（1）在)()()(n f m f n m f 中，令01n m ，，得)0()1()1(f f f ，因为0)1(f ，所以1)0(f 。

在)()()(n f m f n mf 中，令xnx m，因为当0x时，1)(0x f 所以当0x 时1)(00x f x ，而1)0()()(f x f x f 所以01)(1)(x f x f 又当x=0时，01)0(f ，所以，综上可知，对于任意R x，均有0)(x f 。

设21x x ，则1)(001212x x f x x ，所以)()()()]([)(11211212x f x x f x f x x x f x f所以)(x f y 在R 上为减函数。

（2）由于函数y=f （x ）在R 上为减函数，所以)1()()()(2222f y xf y f x f 即有122yx又)0(1)2(f y ax f ，根据函数的单调性，有02yax 由BA ，所以直线02y ax 与圆面122yx 无公共点。

因此有1122a，解得11a 。

评析：（1）要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题：一是f （0）的取值问题，二是f（x ）>0的结论。

这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。

由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。

专题讲解专题一、一、求表达式：1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知()211xf x x ,求()f x .解：设1xux ,则1u xu ∴2()2111u u f u u u ∴2()1xf x x2.凑配法：在已知(())()f g x h x 的条件下，把()h x 拼凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f xxxx ，求()f x解：∵22211111()()(1)()(()3)f xxx xx xx xx x又∵11||||1||xx xx ∴23()(3)3f x x xxx ，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例3．已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x +2x +4,求()f x .解:设()f x =2axbx c，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c =22222()24ax bx a c xx比较系数得2()41321,1,2222a c aab cb∴213()22f x x x4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当x >0时,()lg(1)f x x ,求()f x 解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。

∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x ,∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x ∴当x <0时()lg(1)f x x ∴lg(1),0()lg(1),0x x f x x x例5．一已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1g x x ，求()f x ,()g x .解：∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x ,()()g x g x ,不妨用-x 代换()f x +()g x =11x ………①中的x ,∴1()()1f x g x x 即()f x －1()1g x x ……②显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x再代入①求出2()1x g x x二、利用函数性质，解()f x 的有关问题1.判断函数的奇偶性：例7 已知()()2()()f x y f x y f x f y ,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ,求证()f x 为偶函数。

证明：令x =0, 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y ……①在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵(0)f ≠０∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y ∴()()f y f y ∴()f x 为偶函数。

2.确定参数的取值范围例8：奇函数()f x 在定义域（-1，1）内递减，求满足2(1)(1)0f m f m 的实数m的取值范围。

解：由2(1)(1)0f m f m 得2(1)(1)f m f m ，∵()f x 为函数，∴2(1)(1)f m f m又∵()f x 在（-1，1）内递减，∴221111110111m mm m m 3.解不定式的有关题目例9：如果()f x =2axbx c 对任意的t 有(2)2)f t f t ,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小解：对任意t 有(2)2)f t f t ∴x =2为抛物线y =2ax bx c 的对称轴又∵其开口向上∴f (2)最小，f (1)=f (3)∵在［2，＋∞）上，()f x 为增函数∴f (3)<f (4),∴f (2)<f (1)<f (4)常见抽象函数解法1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。

例1、已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。

分析：由题设可知，函数f （x ）是的抽象函数，因此求函数f （x ）的值域，关键在于研究它的单调性。

解：设，∵当，∴，∵，∴，即，∴f （x ）为增函数。

在条件中，令y ＝－x ，则，再令x ＝y ＝0，则f （0）＝2 f （0），∴ f （0）＝0，故f （－x ）＝f （x ），f （x ）为奇函数，∴f （1）＝－f （－1）＝2，又f （－2）＝2 f （－1）＝－4，∴ f （x ）的值域为［－4，2］。