v i 0 0 0 1 xi v j 0 0 0 1 x j vm 0 0 0 1 xm
a1 a2 a3 yi a 4 y j a5 yj a6
假定
位移在此处易弹性变形：
u a1 a2 x
u f ( x)
（1）
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在结点1、2上，式（1）应分别有结点位移
u1 a1 a2 0
u2 a1 a2l
式中：l —— 单元长度 由式（2）解得：
（2）
a1 u1
a2 u 2 u1 l
飞机、船体等复杂结构进行应力、变形分析）
平衡问题 → 稳定问题与动力问题（对结构在地震力与波浪力作
用下的动力反应进行分析） 弹性问题 → 弹塑性与粘弹性问题，疲劳与脆性断裂问题 固体力学 → 流体力学、热传导与热应力问题（如焊接残余应力、 原子反应堆结构的热应力）、磁场问题（感应电动机的磁场分 析），以及建筑声学与噪音问题。 工程力学 → 力学的其它领域（如冰川与地质力学、血管与眼球 力学等）
0 a1 a 0 2 0 a3 yi a 4 y j a5 yj a6
（15）
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有限元分析方法
式（14）~（15）：
ui a1 a2 xi a3 yi u j a1 a2 x j a3 y j u m a1 a2 xm a3 ym
（8）
表示为矩 阵形式：
f1 EA 1 1 u1 f l 1 1 u 2 2
（9）
f
单元刚度：
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e
K
e
式中： K
e
（10）
EA K l

e
k k
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ui 1 x i u 1 x j j u m 1 xm yi a1 a yj 2 ym a3
vi a4 a5 xi a6 yi v j a4 a5 x j a6 y j vm a4 a5 xm a6 ym
由式（15）解得 a1 ~ a6，再代入式（14），得到：
u N i ui N j u j N m u m v N i ui N j u j N m u m
（17）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
式中 Ni，Nj，Nm ——是（x,y）和单元三结点坐标的函数。
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有限元分析方法
有限元分析方法
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有限元分析方法
一、绪论
问题的提出
均态连续变化的、复杂几何形状等问题难以用传统解析法、实验法解决
有限元法——数值解法
研究对象 离散 多个单元体 分析 代数方程组 求解
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（1）有限元法特点
整体
离散
单元
综合
整体
多至成千上万
（2）有限元法应用的发展
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（16）
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ui 1 xi u 1 x j j um 1 xm
yi yj yj
0 0 0 a1 a 0 0 0 2 0 0 0 a3 a4 a5 a6
• • • 先将弹性连续体离散化，变为有限个三角形 单元在角点铰接的组合体； 分析每一个三角形单元受力与变形的关系， 列方程； 将各单元再进行组装，将全部关系式综合为 代数方程组。
现代有限元法的条件：计算机应用
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有限元分析方法
（3）有限元法应用的范围
弹性力学平面问题 → 空间问题和板壳问题（对拱坝、涡轮叶片、
x bi 1 y 2A 0 xy ci ui u 0 j um cm vi bm v j vm
F K
构件整体刚度矩阵：
k1 k1 K k2 k k 1 1 k2 0
0 k2 k2
（13）
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刚度叠加原理： 构件中若干单元间公共结点的刚度等于该结点在各相关独立单元中相应刚 度项之和。
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（4）近来研究较多的问题
新型单元的研究 有限元法的数学基础：变分法（把有限元法归结为求泛函的极值问题）、加
权余数法（直接从基本微分方程出发） 向新领域的扩展：专门化问题 通用程序编制，设计自动化的研究
（5）本课主要讲授内容
有限元位移法——取结点位移作为基本未知量 一维（杆件）有限元数学模型 二维（平面）有限元数学模型 刚度矩阵及线性方程组解法 有限元建模：单元网格划分、边界条件、载荷的简化 有限元计算程序
（14）
ui 1 xi u 1 x j j um 1 xm v i 0 0 v j 0 0 vm 0 0
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yi yj yj 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 xi
1 xj 1 xm
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（1）单元位移插值函数
设单元内一点的位移（ u, v）与其坐标值（x, y）成线性关系
u a1 a2 x a3 y v a4 a5 x a6 y
式中a1~a6为为待定系数 将点 i, j, m的坐标值和位移值分别代入上式，有：
10
有限元分析方法
•多单元杆件：
根据式（9）有： 单元1有：
f11 k1 k1 u1 f k 12 1 k1 u2
f 22 k 2 f k 23 2 f 32 k3 f 33 k3 k 2 u 2 k2 u3 k 3 u3 k3 u 2
观察式（11）：
力F1只对单元1有作用，所以其相对结点位移u1、u2的刚度不变。 力F3只对单元3有作用，所以其相对结点位移u2、u3的刚度不变。 力F2作用在单元1、2的公共结点上，其大小要使两单元都在该点上产生位 移，所以其相对u2的刚度值等于原两独立单元的相应刚度之和。 观察式（13）： 构件整体刚度矩阵等于各单元刚度矩阵的组装。
（5）
（3）单元应力与结点位移的关系
E x E x (u2 u1 ) l
杆单元的轴向力为：
（6）
E——弹性模量
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EA F xA (u2 u1 ) l
（7）
A——横截面积
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（4）单元结点力与结点位移的关系——单元刚度矩阵
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三、二维弹性平面问题的有限元分析
二维弹性平面问题——构件呈平板状，且厚度很小，另外所受外力均作 用在其平面内。 以三结点三角形为例（其它有矩形单元、六结点三角形等）

已知单元三结点坐标为 [ xi yi xj yj xm ym ]
单元三结点位移为 {δ}e = [ui vi uj vj um vm] T
（3）
（3）代入（1）得单元位移插值函数：
u2 u1 u u1 x l
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（4）
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（2）单元应变与结点位移的关系
应变——单元长度的伸长 将（4）式对x求导得应变:
du u 2 u1 x dx l
应力：产生单位应变所需的力。 根据虎克定律：

古代：圆周率的近似算法 近代：力学中的刚架位移法
要点：
刚架
拆
杆件
组合
刚架

将复杂刚架的计算问题转化为简单杆件的 分析与综合问题

现代有限元法： 上述思路
推广应用
弹性力学平面问题
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有限元分析方法
弹性力学：
外力 作用 物体 变形 产生 应力
外力去除 全部或部分恢复
分析过程：
f11 k1 (u1 u2 )
F2 f12 f 22
3
矩阵形 F1 式
结点3： F 即：
f 23 k2 (u3 u2 )
k1 k F 2 1 F3 0
（12）
k1 k1 k 2 k2
0 u1 u (11） k2 2 k2 u3
在式（7）中，F表示杆件的轴力（内力），规定其正负号为：拉力为正，压力为负。
图示结点力f1、f2表示结点1、2对单元的作用力，其符号为：与坐标轴x方向相同为正， 相反时为负。
f1 F
则有：
EA EA (u2 u1) (u1 u2 ) l l
EA f2 F (u 2 u1 ) l
vi 1 x i v 1 x j j vm 1 xm yi a 4 a yj 5 ym a6
ui , j ,m a1 a2 xi , j ,m a3 yi , j ,m v i , j ,m a4 a5 xi , j ,m a6 yi , j ,m