第三节 基本不等式(对应学生用书第50页)一、基本不等式 基本不等式2a b +(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当a=b 时取等号.(3)其中2a b+称为正数a,b 的算术平均数,a,b 的几何平均数.1.概念理解(1)基本不等式成立的条件是a,b 都是正数,在解题时,如果a,b 为负数,可提取负号,创造变量为正数的条件,再利用基本不等式解题. (2)在运用基本不等式解题时,注意一定要验证它们成立的条件是否满足.2.与之相关联的结论 几个常用的不等式 (1)a 2+b 2≥2ab(a,b ∈R).(2)ab ≤(2a b +)2(a,b ∈R). (3)(2a b +)2≤222a b +(a,b ∈R).(4)b a +ab≥2(ab>0).(5)211a b+2a b+≤(6)a+1a ≥2(a>0),当且仅当a=1时取等号;a+1a≤-2(a<0),当且仅当a=-1时取等号.二、利用基本不等式求最值问题1.两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若a,b 为正实数,且a+b=M,M 为定值,则ab ≤24M ,等号当且仅当a=b 时成立.(简记:和定积最大)2.两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若a,b 为正实数,且ab=P,P 为定值,则a+b ≥等号当且仅当a=b 时成立.(简记:积定和最小)1.理解辨析利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:一正、二定、三相等.(1)“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值; (3)“三相等”即检验等号成立的条件,判断等号能否取到,只有等号能成立,才能利用基本不等式求最值. 2.与基本不等式相关联的结论 用f(x)+()b f x ≥或f(x)+()b f x ≤求最值时,若使等号成立的条件不存在,常借助函数y=x+b x (b>0)的图象和单调性求式子的最值.1.已知a,b ∈R,a,b ≠0,则“a>0,b>0”是“2a b +≥( C )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:当a>0,b>0时,显然2a b +.当2a b +,有两个结论出现:0,0,a b ab ⎧+≥⎪⎨≥⎪⎩ 所以a>0,b>0. 故选C.2.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1a +4b的最小值是( C ) (A)72 (B)4 (C)92(D)5 解析:依题意,得1a +4b =12(1a +4b )·(a+b)= 12[5+(b a+4a b )]≥1292,当且仅当2,4,0,0,a b b aa b a b +=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪>>⎩即a=23,b=43时取等号,即1a +4b 的最小值是92.故选C. 3.若实数x,y 满足xy=1,则x 2+2y 2的最小值为 . 解析:因为x 2+2y 2≥当且仅当x 2=2y 2时取“=”, 所以x 2+2y 2的最小值为答案4.已知a,b 为正数且a+b=1,则(1+1a )(1+1b)的最小值为 . 解析:因为a+b=1,所以原式=(1+a b a +)(1+a b b +) =(2+b a )(2+a b ) =5+2(b a +a b)≥9, 当且仅当a=b=12时取等号, 所以最小值为9. 答案:9(对应学生用书第50～52页)考点一 利用基本不等式求最值【例1】 (1)(2018·浙江六校联考)已知x>0,y>0,且x+y+1x+1y =5,则x+y 的最大值是( )(A)3 (B)72 (C)4 (D)92(2)(2018·嘉兴高三测试)已知a>0,b>0,且满足3a+b=a 2+ab,则2a+b 的最小值为 ;(3)已知正实数a,b 满足1a +2b=3,则(a+1)(b+2)的最小值是 ;(4)已知实数x,y>0,且xy=2,则3322848x y x y +++的最小值是 .解析:(1)由x+y+1x+1y =5, 得5=x+y+x yxy +,因为x>0,y>0, 所以5≥x+y+2()2x yx y ++=x+y+4x y+, 所以(x+y)2-5(x+y)+4≤0, 解得1≤x+y ≤4,所以x+y 的最大值是4.故选C. (2)由a>0,b>0,3a+b=a 2+ab,可得b=231a aa-->0, 解得1<a<3. 故2a+b=2a+231a aa --=a-1+21a -+3 ≥当且仅当a-1=21a -, 即时取等号.故2a+b 的最小值为(3)因为a>0,b>0, 所以3 =1a+2b≥ab ≥89.当且仅当12,123,a b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即2,343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立, 所以ab 的最小值是89,又1a +2b=2b aab +=3, 所以2a+b=3ab,所以(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=4ab+2≥4×89+2=509. (4)因为x,y>0,且xy=2,所以3322848x y x y +++=2222(2)(24)44x y x xy y x y xy +-+++=22(2)[(2)6](2)x y x y xy x y ++-+ =2(2)2x y x y++=(x+2y)-122x y+, 令x+2y=t,则t=x+2y ≥f(t)=t-12t在[4,+∞)上单调递增, 所以当t=4时有最小值4-124=1,当且仅当x=2,y=1时,取等号. 答案:(1)C(3)509(4)1 (1)利用基本不等式解决最值问题的关键是构造和为定值或乘积为定值,主要有两种思路:①对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解;②条件变形,进行“1”的代换求目标函数最值.(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过变形使之能运用基本不等式,常用的方法还有:拆项法、变系数法、凑因数法、分离常数法、换元法、整体代换法等.1.(2018·杭州二中月考)若正数a,b 满足1a +1b=1,则11a -+91b -的最小值为( B )(A)1 (B)6 (C)9 (D)16解析:因为正数a,b 满足1a +1b=1, 所以b=1a a ->0,解得a>1,同理b>1, 所以11a -+91b -=11a -+911aa --=11a -+9(a-1)≥=6,当且仅当11a -=9(a-1), 即a=43时等号成立, 所以11a -+91b -的最小值为6.故选B. 2.已知log 2(x+y)=log 2x+log 2 y,则1x+1y = ,x+2y 的最小值为 .解析:由log 2(x+y)=log 2 x+log 2 y 得, x+y=xy 且x>0,y>0,所以1x+1y =1. x+2y=(x+2y)(1x + 1y ) =3+x y +2y x≥当且仅当x y =2yx,即. 答案:1考点二 利用基本不等式证明不等式 【例2】 已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1.求证:1a +1b+1c≥9. 证明:因为a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1, 所以1a+1b +1c =a b c a +++a b c b +++a b c c ++=3+b a +c a +a b +c b +a c +b c =3+(b a +a b )+(c a +a c)+(c b +b c)≥3+2+2+2=9, 当且仅当a=b=c=13时,取等号.利用基本不等式证明不等式的策略(1)若要证明的不等式不能直接使用基本不等式,则考虑利用拆项、配凑等方法对要证不等式进行变形,使之达到能使用基本不等式的条件;(2)若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和要证不等式之间的联系,当已知条件中含有1时,要注意1的代换; (3)解题时要时刻注意取得等号的条件能否成立.1.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:1a +1b +1ab ≥8. 证明:1a +1b +1ab =2(1a +1b), 因为a+b=1,a>0,b>0.所以1a +1b =a b a ++a b b +=2+a b +ba≥2+2=4. 所以1a +1b +1ab ≥8(当且仅当a=b=12时等号成立).2.已知a>0,b>0,a+b=1,证明 2.证明:因为a>0,b>0,且a+b=1,≤1122a +++1122b ++=32a b ++=42=2.当且仅当a+12=1,b+12=1, 即a=b=12时等号成立. 考点三 基本不等式的综合应用【例3】 运货卡车以每小时x(50≤x ≤100)千米的速度匀速行驶130千米,假设汽油的价格是每升2元,而卡车每小时耗油(2+2360x )升,司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式;(2)当x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值. 解:(1)设所用时间为t=130x (小时), y=130x×2×(2+2360x )+14×130x,x ∈[50,100]. 所以,这次行车总费用y 关于x 的表达式是y=2340x +1318x,x ∈[50,100]. (2)y=2340x +1318x=13018x ⨯+2130360⨯x ≥,当且仅当13018x ⨯=2130360⨯x,即时,等号成立.故当千米/时时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为元.有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值;(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数;(3)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围;(4)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解.1.某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少10层,每层2 000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).(1)写出楼房每平方米的平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式;(2)该楼房应建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少?最少值是多少?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平)均购地费用=购地总费用建筑总面积解:(1) 依题意得y=(560+48x)+2160100002000x=560+48x+10800(x≥10,x∈N*).x(2)因为x>0,所以48x+10800x≥当且仅当48x=10800x,即x=15时取到“=”, 此时,楼房每平方米的平均综合费用的最小值为560+1 440=2 000(元).故当该楼房建造15层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值为2 000元.2.为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在某年年初举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t(t ≥0)万元满足x=4-21k t +(k 为常数).如果不搞促销活动,则该产品的年销量只能是1万件.已知这一年生产该产品的固定投入为6万元,每生产1万件该产品需要再投入12万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分).(1)将该厂家这一年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数;(2)该厂家这一年的年促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?解:(1)由题意有1=4-1k ,得k=3,故x=4-321t +. 故y=1.5×612x x +·x-(6+12x)-t=3+6x-t =3+6(4-321t +)-t =27-1821t +-t(t ≥0). (2)由(1)知,y=27-1821t +-t=27.5-[912t ++(t+12)].912t ++(t+12)≥2故y=27-1821t +-t=27.5-[912t ++(t+12)]≤27.5-6=21.5. 当且仅当912t +=t+12,即t=2.5时,等号成立,y 有最大值21.5. 所以,该厂家这一年的年促销费用投入2.5万元时,厂家利润最大,最大利润为21.5万元. 考点四 易错辨析【例4】 已知x<54,求函数y=4x-2+145x -的最大值. 解:因为x<54,所以5-4x>0. y=4x-2+145x - =-(5-4x+154x -)+3≤当且仅当5-4x=154x -,即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,y max =1.运用基本不等式求最值,当条件不满足和或积为定值时,可以通过“拆、拼、凑”的技巧把求最值的代数式化为ax+b x (ab>0)等形式,本题就是一个典型例子,盲目使用条件是本题的易错点.1.(2017·天津卷)若a,b ∈R,ab>0,则4441a b ab ++的最小值为 .解析:因为a,b ∈R,ab>0,所以4441a b ab ++≥2241a b ab +=4ab+1ab≥=4,当且仅当222,14,a b ab ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩即22a b ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩时取得等号. 故4441a b ab ++的最小值为4.答案:4 2.设常数a>0,若9x+2a x≥a+1对一切正实数x 成立,求a 的取值范围.解:常数a>0,若9x+2a x ≥a+1对一切正实数x 成立,故(9x+2a x )min ≥a+1, 又9x+2a x≥6a,当且仅当9x=2a x,即x=3a 时,等号成立. 故6a ≥a+1,解得a ≥15. 即a 的取值范围为[15,+∞).(对应学生用书第53页)类型一 利用基本不等式比较大小1.设0<a<b,则下列不等式中正确的是( B )2a b+2a b +<b2a b +2a b +<b解析:因0<a<b,所以a 2<ab<b 2,即又因a+b<2b,所以2a b+<b,2a b+,所以2a b +<b.故选B.类型二 利用基本不等式求最值2.(2018·金华模拟)已知x>0,y>0,且x+2y=xy,若x+2y-m 2-2m>0恒成立,则实数m 的取值范围是( B )(A)[-4,2) (B)(-4,2) (C)(-3,3) (D)[-3,3]解析:由x>0,y>0,x+2y=xy 变形得,2x+ 1y =1,所以x+2y=(x+2y)(2x +1y )=4y x +x y +4≥4+4=8,当且仅当4y x =x y ,即x=2y 时等号成立,又2x+1y =1,得x=4,y=2,即当x=4,y=2时,x+2y 取得最小值,且最小值为8.由x+2y-m 2-2m>0恒成立,得(x+2y)min >m 2+2m,从而8>m 2+2m,解得-4<m<2.所以实数m 的取值范围是(-4,2).故选B.3.(2018·杭州质检)已知正数x,y 满足x 2+2xy-3=0,则2x+y 的最小值是 . 解析:由题意得y=232x x-,所以2x+y=2x+232x x -=2332x x +=32(x+1x)≥3, 当且仅当x=y=1时,等号成立. 答案:34.函数f(x)=lg 2x x -,若f(a)+f(b)=0,则3a +1b的最小值为 .解析:依题意得0<a<2,0<b<2,且lg (2a a -·2b b-)=0, 即ab=(2-a)(2-b),2a b +=1, 3a+1b =2a b +(3a +1b )=12(4+3b a +a b )≥12,当且仅当3ba =ab ,即-1时取等号,因此3a +1b 的最小值是答案5.若a>0,b>0,不等式3a +1b ≥3ma b+恒成立,则m 的最大值为 .解析:因为a>0,b>0,不等式3a +1b ≥3m a b +恒成立, 所以m ≤[(a+3b)( 3a +1b )]min .因为(a+3b)(3a +1b)=6+9b a +a b ≥=12,当且仅当a=3b 时取等号, 所以m 的最大值为12. 答案:12类型三 基本不等式的综合应用6.(2018·天津卷)已知a,b ∈R,且a-3b+6=0,则2a +18b的最小值为 .解析:因为a-3b+6=0,所以a-3b=-6, 所以2a +18b=2a +2-3b ≥×2-3=14, 当且仅当3,360a b a b =-⎧⎨-+=⎩时等号成立,即3,1a b =-⎧⎨=⎩时取到等号. 答案:147.规定一种运算:a ⊗为正实数).若1⊗k=3,则k 的值为 ,此时函数的最小值为 .解析:1⊗+1+k=3,即-2=0,=1=-2(舍去),所以k=1,≥1+2=3,当且仅当x=1时取“=”. 答案:1 38.已知a>0,b>0,设M=max(a,b a +9ab),则M 的最小值为 . 解析:在同一坐标系中作出函数y=a,y=9b ba+的图象(图略),可得M=09,,,b b a a a a ⎧+⎪⎪⎨⎪>⎪⎩0<a ≤a 0, 其中a 0是函数y=a,y=9b ba +图象的交点横坐标,即20a =b+9b ≥6(当且仅当b=3时,取得“=”),所以M 的最小值为a 0,而a 0所以M答案。