第3讲 不等式[考情分析] 1.不等式的解法是数学的基本功，在许多题目中起到工具作用.2.线性目标函数的最值常和代数式的几何意义(如斜率、截距、距离等)结合考查；求最值和不等式恒成立问题常用到基本不等式.3.题型多以选择题、填空题形式考查，中等难度． 考点一 不等式的性质与解法 核心提炼1．不等式的倒数性质 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b .(2)a <0<b ⇒1a <1b .(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd.2．不等式恒成立问题的解题方法(1)f (x )>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )min >a ，x ∈I ；f (x )<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )max <a ，x ∈I . (2)f (x )>g (x )对一切x ∈I 恒成立⇔当x ∈I 时，f (x )的图象在g (x )的图象的上方． (3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法．例1 (1)若p >1,0<m <n <1，则下列不等式正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫m n p >1 B.p －m p －n <mn C ．m －p <n －p D ．log m p >log n p答案 D解析 方法一 设m ＝14，n ＝12，p ＝2，逐个代入可知D 正确．方法二 对于选项A ，因为0<m <n <1，所以0<mn <1，又p >1，所以0<⎝⎛⎭⎫m n p <1，故A 不正确；对于选项B ，p －m p －n －m n ＝(p －m )n －m (p －n )n (p －n )＝p (n －m )n (p －n )>0，所以p －m p －n >m n ，故B 不正确；对于选项C ，由于函数y ＝x －p 在(0，＋∞)上为减函数，且0<m <n <1，所以m －p >n －p ，故C 不正确；对于选项D ，结合对数函数的图象可得，当p >1,0<m <n <1时，log m p >log n p ，故D 正确． (2)已知f (x )＝－2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )>0的解集为(－1,3)．若对任意x ∈[－1,0]，f (x )＋m ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，4]C ．[2，＋∞)D ．[4，＋∞)答案 D解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝－b －2＝b 2，－1×3＝－c2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝6，所以f (x )＝－2x 2＋4x ＋6.因为对任意的x ∈[－1,0]，f (x )＋m ≥4恒成立，所以对任意的x ∈[－1,0]，m ≥2x 2－4x －2恒成立，又y ＝2x 2－4x －2在[－1,0]上的最大值为4，所以m ≥4.易错提醒 求解含参不等式ax 2＋bx ＋c <0恒成立问题的易错点 (1)对参数进行讨论时分类不完整，易忽略a ＝0时的情况． (2)不会通过转换把参数作为主元进行求解． (3)不考虑a 的符号．跟踪演练1 (1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3，x <12，1x ，x ≥12，则不等式x 2f (x )＋x －2≤0的解集是________________． 答案 {x |－1≤x ≤1} 解析 由x 2f (x )＋x －2≤0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x <12，3x 2＋x －2≤0或⎩⎨⎧x ≥12，x 2·1x＋x －2≤0，即⎩⎨⎧ x <12，－1≤x ≤23或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x ≤1，∴－1≤x <12或12≤x ≤1，∴原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．(2)若不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－2，65 B.⎣⎡⎭⎫－2，65C.⎣⎡⎦⎤－2，65D.⎣⎡⎭⎫－2，65∪{2} 答案 B解析 当a 2－4＝0时，解得a ＝2或a ＝－2，当a ＝2时，不等式可化为4x －1≥0，解集不是空集，不符合题意； 当a ＝－2时，不等式可化为－1≥0，此式不成立，解集为空集． 当a 2－4≠0时，要使不等式的解集为空集，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4<0，Δ＝(a ＋2)2＋4(a 2－4)<0，解得－2<a <65.综上，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－2，65. 考点二 基本不等式 核心提炼基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋Ag (x )＋Bg (x )(AB >0)，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．例2 (1)下列不等式的证明过程正确的是( ) A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋ab ≥2b a ·a b ＝2 B ．若a <0，则a ＋4a≥－2a ·4a＝－4 C ．若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg b D ．若a ∈R ，则2a ＋2－a ≥22a ·2－a ＝2 答案 D解析 由于b a ，a b 的符号不确定，故选项A 错误；∵a <0，∴a ＋4a ＝－⎣⎡⎦⎤(－a )＋⎝⎛⎭⎫－4a ≤－2(－a )·⎝⎛⎭⎫－4a ＝－4(当且仅当a ＝－2时，等号成立)，故B 错误；由于lg a ，lg b 的符号不确定，故选项C 错误；∵2a >0,2－a >0，∴2a ＋2－a ≥22a ·2－a ＝2(当且仅当a ＝0时，等号成立)，故选项D 正确．(2)(2019·天津)设x >0，y >0，x ＋2y ＝5，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为________．答案 4 3 解析(x ＋1)(2y ＋1)xy ＝2xy ＋2y ＋x ＋1xy ＝2xy ＋6xy ＝2xy ＋6xy.由x ＋2y ＝5得5≥22xy ，即xy ≤524，即xy ≤258，当且仅当x ＝2y ＝52时等号成立．所以2xy ＋6xy≥22xy ·6xy＝43，当且仅当2xy ＝6xy ，即xy ＝3时取等号，结合xy ≤258可知，xy 可以取到3，故(x ＋1)(2y ＋1)xy的最小值为4 3.易错提醒 运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指“正数”；“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“三相等”是指满足等号成立的条件．若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到．跟踪演练2 (1)(2020·北京市中国人民大学附属中学模拟)已知a >0，b >0，且a －b ＝1，则2a ＋1b 的最小值为________． 答案 22＋2解析 ∵a >0，b >0，由a －b ＝1，得a ＝1＋b ，∴2a ＋1b ＝2＋2b ＋1b ≥2＋22b ·1b＝2＋22，当且仅当b ＝22时，等号成立，∴2a ＋1b的最小值为22＋2. (2)(2020·江苏)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________． 答案 45解析 方法一 由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1， 可得x 2＝1－y 45y2，所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15⎝⎛⎭⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45， 当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号．所以x 2＋y 2的最小值为45.方法二 设x 2＋y 2＝t >0，则x 2＝t －y 2. 因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以5(t －y 2)y 2＋y 4＝1， 所以4y 4－5ty 2＋1＝0.由Δ＝25t 2－16≥0，解得t ≥45⎝⎛⎭⎫t ≤－45舍去. 故x 2＋y 2的最小值为45.考点三 线性规划 核心提炼1．截距型：形如z ＝ax ＋by ，求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为y ＝－a b x ＋zb (b ≠0)，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．2．距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，设动点P (x ，y )，定点M (a ，b )，则z ＝|PM |2. 3．斜率型：形如z ＝y －bx －a (x ≠a )，设动点P (x ，y )，定点M (a ，b )，则z ＝k PM .例3 (1)(2020·全国Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y －1≥0，y ＋1≥0，则z ＝x ＋7y 的最大值为________． 答案 1解析 画出可行域如图(阴影部分含边界)．平移直线l 0：x ＋7y ＝0， 当直线l 0过点A 时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，即A (1,0)， ∴z max ＝1＋7×0＝1.(2)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，若y ≥k (x ＋1)－1恒成立，那么k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，3 B.⎝⎛⎦⎤－∞，43 C ．[3，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，12 答案 D解析 作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分(含边界)，其中M (0,2)，N (1,0)．则由图象知x ≥0，由不等式y ≥k (x ＋1)－1恒成立， 得k (x ＋1)≤1＋y ， 即k ≤y ＋1x ＋1恒成立，设z ＝y ＋1x ＋1，所以k ≤z min ，则z 的几何意义是平面区域内的点与定点A (－1，－1)连线的斜率，由图象知AN 的斜率最小， 此时z 的最小值为z ＝0＋11＋1＝12，即k ≤12，即实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12. 规律方法 (1)目标函数是非线性形式时，常考虑其几何意义．(2)含参数的线性规划问题，参数位置一般有两种形式：一是目标函数中含有参数，这时可以准确作出可行域，这类问题的一般特征是其最优解是可知的，因此解题时可充分利用目标函数的斜率特征加以转化；二是在约束条件中含参，可行域的边界线中有一条是动态的，所以要充分依据目标函数及最值等条件数形结合处理，有时还需分类讨论． 跟踪演练3 (1)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝2－2x ＋y的最大值为( )A.132B.14C.12 D ．2 答案 C解析 设m ＝－2x ＋y ，则z ＝2m ，求z 的最大值即求m 的最大值．作出可行域，如图所示(阴影部分含边界)．由m ＝－2x ＋y ，得y ＝2x ＋m ，由图可知，当直线y ＝2x ＋m 过点A 时，m 取到最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，故点A 的坐标为(1,1)，代入y ＝2x ＋m ，得m ＝－1，故z 的最大值为2－1＝12.(2)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，y ≤x －1，x ＋y －2≤0，则z ＝x 2＋y 2的最小值是________．答案 12解析 作出可行域，如图中阴影部分所示(含边界)，z ＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点的距离的平方，直线AB 的方程为x －y －1＝0，原点到直线AB 的距离d ＝|0－0－1|12＋(－1)2＝12，∴z ＝x 2＋y 2的最小值为d 2＝12.专题强化练一、选择题1．(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－2或x >3}，则f (10x )>0的解集为( ) A ．{x |x <－2或x >lg 3} B ．{x |－2<x <lg 3} C ．{x |x >lg 3} D ．{x |x <lg 3}答案 D解析 一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－2或x >3}， 则f (x )>0的解集为{x |－2<x <3}，则f (10x )>0可化为－2<10x <3，解得x <lg 3， 所以所求不等式的解集为{x |x <lg 3}．2．(2020·北京海淀区模拟)设f (x )＝ln x ,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12[f (a )＋f (b )]，则下列关系式中正确的是( ) A ．q ＝r <p B ．q ＝r >p C ．p ＝r <q D ．p ＝r >q答案 C解析 p ＝f (ab )＝ln ab ，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝ln a ＋b 2，r ＝12[f (a )＋f (b )]＝12ln ab ＝ln ab ，函数f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，因为a ＋b 2>ab ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2>f (ab )，所以q >p ＝r .3．(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)∃x >0，使得1x ＋x －a ≤0，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a >2}B ．{a |a ≥2}C ．{a |a <2}D ．{a |a ≤2}答案 B解析 因为1x ＋x －a ≤0，所以a ≥1x＋x ≥21x·x ＝2，当且仅当x ＝1时取等号，所以只需a ≥2. 4．已知a >－1，b >－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 B解析 由a >－1，b >－2，得a ＋1>0，b ＋2>0，a ＋b ＝(a ＋1)＋(b ＋2)－3≥2(a ＋1)(b ＋2)－3＝2×4－3＝5，当且仅当a ＋1＝b ＋2＝4，即a ＝3，b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值是5.5．已知函数f (x )＝x －sin x ，则不等式f (1－x 2)＋f (3x ＋3)>0的解集是( ) A ．(－∞，－4)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞) C ．(－1,4) D ．(－4,1) 答案 C解析 易知函数f (x )在定义域上是奇函数，因为f ′(x )＝1－cos x ≥0，所以函数f (x )在定义域上单调递增，不等式f (1－x 2)＋f (3x ＋3)>0可化为f (1－x 2)>－f (3x ＋3)＝f (－3x －3)，所以1－x 2>－3x －3，即x 2－3x －4<0，解得－1<x <4，即不等式的解集为(－1,4)．6．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －3y －3≤0且z ＝x ＋2y ，则( )A ．z 有最小值，也有最大值B ．z 无最小值，也无最大值C ．z 有最小值，无最大值D ．z 有最大值，无最小值 答案 C解析 作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －3y －3≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)，由z＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z 2，由图象可知，当直线y ＝－12x ＋z 2经过点A 时，直线y ＝－12x ＋z2在y 轴上的截距最小，此时z 有最小值，易知z 没有最大值．7．(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0， b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0. ∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0， ∴0<a ＋b ab<1，∴ab <a ＋b <0.8．若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋2y －2≥0，y －1≤0，则z ＝yx的最大值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 C解析 作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，目标函数z ＝y x ＝y －0x －0表示可行域内的点(x ，y )与点(0,0)连线的斜率，结合图形可知，当两点连线与直线2x －y ＝0重合时，z 取到最大值，故z 的最大值为2.9．某公司每月都要把货物从甲地运往乙地，货运车有大型货车和小型货车两种．已知4辆大型货车与5辆小型货车的运费之和少于22万元，而6辆大型货车与3辆小型货车的运费之和多于24万元．则2辆大型货车的运费与3辆小型货车的运费比较( )A ．2辆大型货车运费贵B ．3辆小型货车运费贵C ．二者运费相同D ．无法确定答案 A 解析 设大型货车每辆运费x 万元，小型货车每辆运费y 万元，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋5y <22，6x ＋3y >24，x >0，y >0，作出约束条件表示的可行域如图阴影部分所示．可知z ＝2x －3y 过C ()3，2时，z 最小．∴z >2×3－3×2＝0，即2x >3y .10．已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，|y |≤1，x ＋y －2≤0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．10B ．5C ．4D ．2答案 A解析 作出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)，x 2＋y 2表示区域上的点到原点的距离的平方，由图可知，区域上的点A 到原点的距离最大，易得A (3，－1)，所以x 2＋y 2的最大值为32＋(－1)2＝10.11．已知正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，则当ab c 取得最大值时，3a ＋1b －12c的最大值为( )A ．3 B.94 C ．1 D ．0 答案 C 解析 由正实数a ，b，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，得a 2c －2ab c ＋9b 2c ＝1≥4ab c， 当且仅当a 2c ＝9b 2c ，即a ＝3b 时，ab c 取最大值14， 又因为a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，所以此时c ＝12b 2，所以3a ＋1b －12c ＝1b ⎝⎛⎭⎫2－1b ≤⎝⎛⎭⎫1b ＋2－1b 24＝1， 当且仅当b ＝1时等号成立．故最大值为1.12．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －3≥0，x －2y －4≤0，y ≥1，若目标函数z ＝ax ＋by ()a >0，b >0的最小值为1，则1a ＋1b的最小值为( ) A ．7＋2 6B ．7＋2 2C ．3＋2 6D ．3＋2 2 答案 D 解析 画出不等式组⎩⎨⎧ 2x －y －3≥0，x －2y －4≤0，y ≥1表示的可行域如图阴影部分(含边界)，当直线z ＝ax ＋by (a >0，b >0)过直线y ＝1和2x －y －3＝0的交点(2,1)时，z 有最小值为1，∴2a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝3＋2a b ＋b a≥3＋22a b ×b a＝3＋22，当且仅当a ＝1－22，b ＝2－1时等号成立．二、填空题13．(2020·全国Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥－1，x －y ≥－1，2x －y ≤1，则z ＝x ＋2y 的最大值是________．答案 8解析 作出可行域，如图阴影部分所示(含边界)．z ＝x ＋2y 可变形为y ＝－12x ＋12z ， 作直线l 0：y ＝－12x ，并平移，可知当直线过点A 时，z 取得最大值． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，2x －y ＝1，得A (2,3)， 所以z max ＝2＋2×3＝8.14．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤－1，12 解析 由f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ， 得f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x －1e －x ＝－x 3＋2x －e x ＋1e x ＝－f (x )， 又x ∈R ，所以f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x 是奇函数． 因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1e x ＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时“＝”成立，所以f (x )在R 上单调递增，因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (2a 2)≤－f (a －1)，即f (2a 2)≤f (1－a )．所以2a 2≤1－a ，即2a 2＋a －1≤0，解得－1≤a ≤12. 15．已知M ，N 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，y ≥1，x －y ＋1≥0，x ＋y ≤6所表示的平面区域内的两个不同的点，则|MN |的最大值是________．答案 17 解析 作出可行域，为图中四边形ABCD 及其内部，由图象得A (1,1)，B (5,1)，C (2.5,3.5)，D (1,2)四点共圆，BD 为直径，所以|MN |的最大值为|BD |＝1＋42＝17.16．已知实数x ，y 满足x >1，y >0且x ＋4y ＋1x －1＋1y ＝11，则1x －1＋1y的最大值为________． 答案 9解析 由x ＋4y ＋1x －1＋1y＝11， 得1x －1＋1y＝10－[(x －1)＋4y ]， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y 2＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y －⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y [(x －1)＋4y ]＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y －⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4y x －1＋x －1y ≤10⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y －(5＋24)＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y －9， 当且仅当4y x －1＝x －1y ，即2y ＝x －1>0时等号成立， 令t ＝1x －1＋1y，则有t 2≤10t －9，解得1≤t ≤9，故1x －1＋1y 的最大值为9.。