第4讲 不等式
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一、填空题
1．(2020·广东改编)不等式2x 2－x －1>0的解集是____________________．
2．(2020·上海)不等式x ＋1x ≤3的解集为____________． 3．“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的________条件．
4．不等式x 2－4>3|x |的解集是____________．
5．已知正数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则1x ＋1y
的最小值为________． 6．设命题甲：ax 2
＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ；命题乙：0<a <1.则命题甲是命题乙成立的______________条件．
7．(2020·浙江)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 8．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧
x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，
2y －3≤0，
则当y x >37时，实数x ，y 满足的不等式组为____________． 9．设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是________． 10．若关于x 的不等式(2x －1)2<ax 2的解集中整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是
__________．
11．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是________． 12．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是______(写出所有正确命题的序号)．
①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；
④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b
≥2. 二、解答题
13．已知二次函数f (x )＝ax 2
＋x 有最小值，不等式f (x )<0的解集为A .
(1)求集合A ；
(2)设集合B ＝{x ||x ＋4|<a }，若集合B 是集合A 的子集，求a 的取值范围．
14.如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少
时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，
可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
15．已知函数f (x )＝13ax 3－14
x 2＋cx ＋d (a ，c ，d ∈R )满足f (0)＝0，f ′(1)＝0，且f ′(x )≥0在R 上恒成立．
(1)求a ，c ，d 的值；
(2)若h (x )＝34x 2－bx ＋b 2－14
，解不等式f ′(x )＋h (x )<0. 答 案
1．(－∞，－12)∪(1，＋∞) 2.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ≥12或x <0 3．必要不充分 4．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
5．2 2 6．必要不充分 7.233 8.⎩⎪⎨⎪⎧
3x －7y <0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0
9．4 10.⎝ ⎛⎦⎥⎤259，4916 11．－52 12．①③⑤ 13．解 (1)二次函数f (x )＝ax 2＋x 有最小值，所以，a >0，由f (x )<0，
解得A ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1a ，0. (2)解得B ＝(－a －4，a －4)，
因为集合B 是集合A 的子集，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ －1a
≤－a －4，a －4≤0，
⎩⎨⎧ －2－5≤a ≤－2＋5，a ≤4，
解得0<a ≤－2＋ 5. 14．解 设每间虎笼的长、宽分别为x m 、y m ．则s ＝xy .
(1)由题意知：4x ＋6y ＝36，
∴2x ＋3y ＝18.
又2x ＋3y ≥26xy ，
∴xy ≤(2x ＋3y )224＝18224＝272
， 当且仅当2x ＝3y ＝9，即x ＝4.5，y ＝3时，s ＝xy 最大，
∴每间虎笼的长为4.5 m ，宽为3 m 时，每间虎笼面积最大．
(2)由题意知xy ＝24，
4x ＋6y ≥224·xy ＝48，
当且仅当4x ＝6y 时，取得等号成立．
由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＝6y xy ＝24得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝6，
y ＝4， ∴每间虎笼的长为6 m ，宽为4 m 时， 可使钢筋网总长最小．
15．解 (1)∵f (0)＝0，∴d ＝0， ∵f ′(x )＝ax 2－12x ＋c .
又f ′(1)＝0，∴a ＋c ＝12.
∵f ′(x )≥0在R 上恒成立， 即ax 2－12x ＋c ≥0恒成立，
∴ax 2－12x ＋12－a ≥0恒成立，
显然当a ＝0时，上式不恒成立． ∴a ≠0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，
(－12)2
－4a (12－a )≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a 2－12a ＋116≤0，
即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，(a －14)2≤0， 解得：a ＝14，c ＝14.
(2)∵a ＝c ＝14.
∴f ′(x )＝14x 2－12x ＋14.
f ′(x )＋h (x )<0，即14x 2－12x ＋14＋34x 2－bx ＋b 2－14<0，
即x 2－(b ＋12)x ＋b 2<0，
即(x －b )(x －12)<0，
当b >12时，解集为(12，b )，
当b <12时，解集为(b ，12)，
当b ＝12时，解集为∅.。