2020年高一数学注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2.请将答案正确填写在答题卡上；卷Ⅰ（选择题）一、选择题（本题共计16小题，每题5分，共计80分）1.设i 为虚数单位，则复数321i z i =-的虚部为（ ） A. i B. i -C. -1D. 1【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘除运算求出复数z 的代数形式，然后可得复数的虚部． 【详解】由题意得()212112i i i z i i ----===-+-， 所以复数z 的虚部为1． 故选D ．【点睛】解答本题容易出现的错误是认为复数z a bi =+的虚部为bi ，解题的关键是得到复数的代数形式和熟记相关的概念，属于基础题．2.已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c ，设向量(),sin m a b C =+u r，),sin sin c B A n +-=r ，若//m n u r r，则角B 的大小为（ ）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【答案】D 【解析】 【分析】由//m n u r r，得到ABC ∆边角关系，用正弦定理化角为边，利用余弦定理即可求解.【详解】(),sin m a b C =+u r ，),sin sin c B A n +-=r ，//m n u r r ，()(sin sin ))sin 0a b B A c C ∴+--+=，由正弦定理可得2220b a c --=，222cos 2a c b B ac +-∴== 0180,150B B ︒<<︒∴=︒Q .故选:D.【点睛】本题以向量坐标关系为背景，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于基础题.3.设i 是虚数单位，则()()3211i i -+等于()A. 1i -B. 1i -+C. 1i +D. 1i --【答案】B 【解析】 【分析】化简复数得到答案.【详解】()()3221(1)(1)2(1)1221i i i i i i i ii -----===-++故答案选B【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.4.已知平面直角坐标系内的两个向量(3,2),(1,2)a m b m =-=-v,且平面内的任一向量c v都可以唯一表示成c a b λμ=+v v v(,λμ为实数),则实数m 的取值范围是( )A. 6,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B. 66,,55⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UC. (,2)-∞D. (,2)(2,)-∞-⋃-+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据已知,a b r r 是平面内向量的一个基底,因此不共线，求出,a b r r不共线满足的条件，即可求出结果.【详解】由题意可知,平面内的任一向量c r都可以唯一表示成c a b λμ=+r r r,∴,a b r r是平面内表示所有向量的一个基底,. ∴,a b r r 不共线,3(2)20m m -+≠ ∴65m ≠.故m 的取值范围是66,,55⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U .故选B【点睛】本题考查向量基本定理，考查向量不共线的坐标关系，属于基础题.5.设,m n u v v 是两个不共线的向量，若5,28,42,AB m n BC m n CD m n =+=-+=+u u u v u u u v u u u v v v v v v v则（ ）A. ,,A B D 三点共线B. ,,A B C 三点共线C. ,,A C D 三点共线D. ,,B C D 三点共线【答案】A 【解析】因为BC uuu v +CD uuu v=510,m n +v v =2AB u u u v，故,,A B D 三点共线. 故答案为A.6.在ABC ∆中.已知D 是BC 延长线上一点.点E 为线段AD 的中点.若2BC CD =u u u r u u u r .且34AE AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r.则λ=( )A. 14-B.14C. 13-D.13【答案】A 【解析】 【分析】通过利用向量的三角形法则,以及向量共线,由1,2AE AD AD BD BA ==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,AC BC BA =-u u u r u u u r u u u r ,32BD BC =u u ur u u u r ,求解AE u u u r,结合条件,即可求得答案.【详解】Q 1,2AE AD AD BD BA ==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,AC BC BA =-u u u r u u u r u u u r ,32BD BC =u u ur u u u r ,可得:()1122AE AD BD BA ==-u u u r u u u r u u u r u u u r 1122BD AB +=u u ur u u u r 2341BC AB =+u u ur u u u r ()1234BA AC AB =++u u u r u u u r u u u r 123344AB AC AB =-++u u ur u u u r u u u r1344AB AC =-+u u ur u u u r由34AE AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r∴14λ=-故选:A【点睛】本题主要考查了向量的三角形法则,解题关键是掌握向量的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.7.O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线三个点，动点P 满足：,[0,)AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫ ⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A. 内心B. 垂心C. 重心D. 外心【答案】A 【解析】 【分析】先根据||AB AB u u u ru u ur 、||AC AC u u u r u u u r 分别表示向量AB u u u r 、AC u u u r 方向上的单位向量，确定||||AB AC AB AC +u u u r u u u r u u u r u u u r 的方向 与BAC ∠的角平分线一致，可得到()||||AB ACOP OA AP AB AC λ-==+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，可得答案． 【详解】Q ||AB AB u u u ru u u r 、||AC AC u u u r u u u r 分别表示向量AB u u u r 、AC u u u r 方向上的单位向量∴||||AB AC AB AC +u u u r u u u r u u u r u u u r 的方向与BAC ∠的角平分线一致 又Q ()||||AB ACOP OA AB AC λ=++u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u r ， ∴()||||AB ACOP OA AP AB AC λ-==+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u ur u u u r .的∴向量AP u u u r的方向与BAC ∠的角平分线一致 ∴一定通过ABC ∆的内心故选：A ．【点睛】本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．8.在△ABC 中，,,a b c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，且c b a >>，若向量(,1)m a b =-r 和(,1)m b c =-r平行，且sinB ＝45，当△ABC 的面积为32时，则b ＝（ ）B. 2C. 4D. 2【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由//m n r r得a b b c -=-，即2b a c =+，由c b a >>知B 为锐角，所以3cos 5B =，所以2222cos b a c ac B =+-222616()55a c ac a c ac =+-=+-，即2216(2)5b b ac =-，21615b ac =，由1sin 2S ac B =得2352ac =，154ac =，代入得24b =，2b =．故选B ．考点：向量平行的坐标表示，余弦定理，三角形的面积．9.在ABC V 中，()2BC BA AC AC +⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v ，则ABC V 的形状一定是（ ）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形【答案】D 【解析】 【分析】先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系，再判断三角形形状.【详解】因为()()()222BC BA AC BC BA BC BA BC BA AC +⋅=+⋅-=-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，所以222a c b -=，即ABC V 是直角三角形，选D.【点睛】判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．10.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =，若点P 为CD 的中点，且AP AB AE λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（ ）A 3B.52C. 2D. 1【答案】B 【解析】 【分析】以向量,AB AD u u u r u u u r 为基底，将,AP AE u u u r u u u r用基底表示，即可得到,λμ的方程，求解即可. 【详解】P Q 为CD 的中点，DE CD =()AP AB AE AB AD AB λμλμ=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()12AB A B D A AD λμμ=-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r13,2211λμλμμ⎧⎧-==⎪⎪∴⎨⎨⎪⎪==⎩⎩，52λμ+=. 故选;B.【点睛】本题考查向量的线性运算、向量基本定理，属于基础题. 11.在ABC V 中，60A =︒，1b =，ABC S =V sin cC =（ ）A.B.C.D. 【答案】B 【解析】依题意有1sin 6042S bc c ===o，由余弦定理得a ==，由正弦定理得sin sin c a C A ===. 点睛：本题主要考查三角形面积公式，考查正弦定理和余弦定理的应用.由于已知三角形的面积和三角形一.个角和一条边，首先根据三角形面积公式求出另一条边，再根据余弦定理求出第三条边，最后利用正弦定理求得相应的比值.在解三角形的题目中往往正弦定理和余弦定理都需要考虑.12.已知单位向量12,e e u r u u r 的夹角为3π，则122e e +u r u u r 与2e u u r 夹角的余弦值为（ ）A.23B.34C.3D.7【答案】D 【解析】 【分析】分别求出12122(|2|,2)e e e e e ++⋅u r u u u r u r u u u rr ，应用向量夹角公式，即可求解. 【详解】单位向量12,e e u r u u r 的夹角为3π，2212121212|2|(2)547,|2|e e e e e e e e +=+=+⋅=∴+=u r u u r u r u u r u r u u r u r u u r 212122(2)12e e e e e +⋅⋅=+=u u r u r u u r u r u u r， 设122e e +u r u u r 与2e u u r夹角为θ，222112(cos 2)|2|||e e e e e e θ+===⋅+⋅u r u u r u r u u u r u u r u r 故选:D.【点睛】本题考查向量的模长、向量的数量积、向量夹角，考查计算求解能力，属于基础题.13.若ABC V 外接圆的半径为1，圆心为O ，20OA AB AC ++=u u u v u u u v u u u v v 且OA AB =u u uv u u u v ,则CA CB ⋅u u u v u u u v 等于（ ） A.32B.C. D. 3【答案】D 【解析】分析：利用向量的运算法则将已知等式化简得到OB OC =-u u u r u u u r，得到BC 为直径，所以ABC ∆为直角三角形，求出三边的长求得ACB ∠的值，利用两个向量的数量积的定义即可求得CA CB ⋅u u u r u u u r的值．详解：因为20OA AB AC ++=u u u r u u u r u u u r r ，所以0OA AB OA AC +++=u u u v u u u v u u u v u u u v v ．所以OB OC =-u u u r u u u r，所以,,O B C 三点共线，且BC 为直径，如图所示，所以AB AC ⊥．因为1,2,OA AB BC AC ====u u u v u u u v ，所以6ACB π∠=．则cos362CA CB CA CB π⋅=⋅==u u u v u u u v u u u v u u u v，故选D．点睛：本题主要考查了向量在几何问题中的应用、数量积的计算，以及向量垂直的充要条件等知识的应用，其中求出ABC ∆为直角三角形即三边是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．14.（理）已知a v 与b v 均为单位向量，其夹角为θ，则命题:P 1a b ->vv 是命题5:[,)26Q ππθ∈的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分且必要条件 D. 非充分且非必要条件【答案】B 【解析】 【分析】先利用向量数量积求向量夹角范围，再根据包含关系确定选项.【详解】1||11+1211cos 1cos 2a b θθ->⇒-⨯⨯⨯>⇒<r r因为[0,]θπ∈，所以(,]3πθπ∈因为5[,)26ππn (,]3ππ，所以命题:P ||1a b ->r r 是命题5:[,)26Q ππθ∈的必要非充分条件 故选：B【点睛】本题考查充要关系的判定以及向量夹角计算，考查综合分析求解能力，属基础题.15.某观察站B 在A 城的南偏西20°的方向，由A 出发的一条公路的走向是南偏东25°.现在B 处测得此公路上距B 处30km 的C 处有一人正沿此公路骑车以40km/h 的速度向A 城驶去，行驶了15min 后到达D 处，此时测得B 与D 之间的距离为，则此人到达A 城还需要（ ） A. 40minB. 42minC. 48minD. 60min【答案】C 【解析】 【分析】根据已知，可得45,30,10,A BC CD BD =︒===BCD ∆中，求出cos C ，进而求出sin C ，在ABC ∆中，求出AC ，再求出AD ，即可求解.【详解】B 在A 城的南偏西20°的方向， 由A 出发的一条公路的走向是南偏东25°，45A ∴=︒，一人正沿此公路骑车以40km/h 的速度向A 城驶去， 从C 处行驶了15min 后到达D 处，10CD ∴=，在BCD ∆中，30,10,BC CD BD ===2221009006403cos 2210305CD BC BD C BC CD +-+-∴===⋅⨯⨯，434sin ,sin sin(45)5252510C B C ∴==︒+=+=，在ABC ∆中，sin sin AC BCB A==42,3210AC AD ∴===， 326048(min)40⨯=，∴此人到达A 城，还需48分钟. 故选:C.【点睛】本题考查三角应用问题，转化为余弦定理、正弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.16.已知点G 是ABC ∆的重心，(,)AG AB AC R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，若120A ∠=o，2AB AC ⋅=-u u u v u u u v ，则AG u u u v 的最小值是（ ）A.3B.2C.23D.34【答案】C 【解析】 【分析】由题意将原问题转化为均值不等式求最值的问题，据此求解AG u u u v 的最小值即可.【详解】如图所示，由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得()2133AG AD AB AC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r,120,2A AB AC ∠=⋅=-o u u u v u u u vQ ．根据向量的数量积的定义可得cos1202AB AC AB AC ⋅=⨯⨯=-o u u u v u u u v u u u v u u u v , 设,AB x AC y ==u u u v u u u v ．则4AB AC xy ⨯==u u u v u u u v．13AG AB AC =+=u u u v u u u v u u u v23=≥=． 当且仅当x y =，即AB AC =u u u r u u u r．△ABC 等腰三角形时等号成立.综上可得AG u u u v 的最小值是23.本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查平面向量的加法运算，向量的模的求解，均值不等式求解最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.卷Ⅱ（非选择题）二、填空题（本题共计4小题，每题5分，共计20分）17.已知点G 是ABC ∆的重心，内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且0578a b c GA GB GC ++=u u ur u u u r u u u r r ，则角B 的大小是__________． 【答案】3π是【解析】由向量的平行四边形法则可得GA GC BG +=u u u r u u u r u u u r ，代入0578a b c GA GB GC ++=u u ur u u u r u u u r r 可得()()05787a b c b GA GC -+-=u u u r u u u r r ，故578a b c==，则5,7,8a t b t c t ===．由余弦定理可得22222564491cos 802t t t B t +-==，故3B π=，应填答案3π． 点睛：解答的关键是如何利用题设中所提供的向量等式中的边的关系探求处来，这是解答本题的难点，也是解答本题的突破口．求解时充分利用已知条件及向量的平行四边形法则，将其转化为()()05787a b c b GA GC -+-=u u u r u u u r r ，然后再借助向量相等的条件待定出三角形三边之间的关系578a b c==，最后运用余弦定理求出3B π=，使得问题获解．18.在ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且60C =︒，c ==________.【答案】4 【解析】由正弦定理知2sin sin a c A C ==，所以2sin a A =．则sin a A B+=04sin(60)4sin A B+==.19.△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．. 【解析】 【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，化简求得1sin 2A =，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到2cos 8bc A =，可以断定A 为锐角，从而求得cos A =，进一步求得bc =，利用三角形面积公式求得结果. 【详解】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=， 可得1sin 2A =，因为2228b c a +-=， 结合余弦定理2222a b c bccosA =+-，可得2cos 8bc A =，所以A 为锐角，且cos A =，从而求得bc =，所以ABC ∆的面积为111sin 222S bc A ===. 【点睛】本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30o 、45o 、60o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.20.如图所示，已知点O 为ABC V 的重心，OA OB ⊥，6AB =，则AC BC ⋅u u u v u u u v的值为___________.【答案】72 【解析】 【分析】由三角形的重心的性质以及平面向量的线性运算法则可得()OC OA OB =-+u u u v u u u v u u u v,由向量运算的三角形法则可得()()AC BC OC OA OC OB ⋅=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，再由向量垂直的条件、平面向量数量积的运算和勾股定理,计算即可得到所求值.【详解】连接CO 延长交AB 于M ， 因为O 为重心，所以M 为中点,且122()()2OC OM OA OB OA OB =-=-⨯+=-+u u u r u u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ,因为,6OA OB AB ⊥=,所以0,OA OB ⋅=u u u r u u u r 22236OA OB AB +==u u u r u u u r u u u r ，则()()AC BC OC OA OC OB ⋅=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()22(2)(2)52OA OB OB OA OA OB OA OB=+⋅+=⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r023672=+⨯=,故答案为72.【点睛】本题考查三角形重心的向量表示,考查向量垂直的条件,考查平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=r r r r；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =r r .三、解答题（本题共计4小题，共计50分）21.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，已知2sin cos 2sin sin B C A C =-. （1）求角B 的大小； （2）若ABC ∆外接圆的面积为43π，且4a c +=，求AC 边上的高BD 的长.【答案】（1）3π（2）BD =【解析】 【分析】（1）将sin sin()A B C =+代入已知等式，展开整理，求出cos B ，即可求解；（2）根据已知求出外接圆半径，进而求出b ，由余弦定理，结合4a c +=，求出ac ，可得ABC S ∆，即可求出结论.【详解】（1）因为2sin cos 2sin sin B C A C =-，2sin cos 2sin()sin 2sin cos 2cos sin sin B C B C C B C B C C =+-=+-， 12cos sin sin ,0,sin 0,cos 2B C C C C B π=<<∴>=0B Q π<<，3B π∴=.（2）设ABC ∆外接圆的半径为R ，则243R ππ=，故R =由正弦定理知2sin 22b R B ===，22224()3163b a c ac a c ac ac ==+-=+-=-，解得4ac =， 所以1sin 2ABC S ac B ∆=142=⨯=. 又12ABC S AC BD ∆=⋅=122BD ⨯⨯=故BD =点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.22.若a r 、b r是两个不共线的非零向量，（1）若a r与b r起点相同，则实数t 为何值时，1(b)3a tb a +r rv、、三个向量的终点A ，B ，C 在一直线上？ （2）若||||a b =rr，且a r与b r夹角为60°，则实数t 为何值时，||a tb -rr的值最小？ 【答案】（1）12t = （2）12t = 【解析】 【分析】（1）由三点A ，B ，C 共线，必存在一个常数t 使得AB AC λ=u u u r u u u r，由此等式建立起关于λ，t 的方程求出t 的值；（2）由题设条件，可以把||a tb -rr的平方表示成关于实数t 的函数，根据所得的函数判断出它取出最小值时的x 的值.【详解】（1）12AB ,AC 33tb a b a =-=-u u u r u u u r ，AB //AC u u u r u u u r Q ，即AB AC λ=u u u r u u u r1233b a b a λ⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，可得113t 2213t λλ⎧=⎪⎪∴=⎨⎪-=-⎪⎩；故存在12t =时，A 、B 、C 三点共线； （2）设||||a b k ==rr【()2222222213||||||2||||cos60124a tb a t b t a b k t t k t ︒⎛⎫-=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭r r r r r r ， 12t ∴=时，||a tb -rr 的值最小.【点睛】本题考查了利用向量解决共线和最值问题，意在考查学生的计算能力. 23.如图，在ABC V 中．D 为AB 边上一点．且DA DC =．已知4B π=．1BC =.．1）若ABC V 是锐角三角形．3DC =．求角A 的大小． ．2）若BCD V 的面积为16．求AB 的长. 【答案】（1）3A π=.．2．3. 【解析】．试题分析．(1)在BCD ∆中,利用正弦定理可求得sin 2BDC?,得到π3BDC ∠=,利用等腰的性质可知π3A =.(2)利用三角形的面积公式可求得BD ,利用余弦定理可求得CD ,由此求得AB 的长. ．试题解析．（1）在BCD V 中．4B π=．1BC =．DC =．由正弦定理得sin sin BC CD BDC B =∠．解得1sin BDC ⨯∠==．所以3BDC π∠=或23π. 因为ABC V 是锐角三角形．所以23BDC π∠=. 又DA DC =．所以3A π=.．2）由题意可得11sin 246BCD S BC BD V π=⋅⋅⋅=．解得3BD =．由余弦定理得2222cos4CD BC BD BC BD π=+-⋅⋅= 251219329+-⨯⨯=．解得3CD =．则AB AD BD CD BD =+=+=.所以AB 24.如图，在ABC ∆中，设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，又2BD DC =u u u r u u u r ，2a =r ，1b =r ，向量,a b r r 的夹角为3π.（1）用,a b r r表示AD u u u r；（2）若点E 是AC 边的中点，直线BE 交AD 于F 点，求AF BC ⋅u u u r u u u r⋅【答案】（1）1233a AD b =+r u u u r r （2）35-【解析】 【分析】（1）由已知2BD DC =u u u ru u u r，转化为以A 为起点的向量表示，整理即可；（2）利用,,A F D 三点共线和,,B F E 三点共线，结合向量基本定理，将AF u u u r用基底表示，即可求解.【详解】（1）2,22BD DC AD AB AC AD =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,121232,3333AD AB AC AD AB AC a b =+∴=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r（2）,,A F D Q 共线，233AF AD a b λλλ∴=+=r ru u u r u u u r ， ,,B F E Q 共线，1)1(2AF A A a B b E μμμμ∴+--+==r ru u u r u u u r u u u r ，31223λμμλ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得3125,1555AF a b λμ⎧=⎪⎪∴=+⎨⎪=⎪⎩u u uv v v ， 2212121)()55555(a b b a AF a b BC a b ∴+⋅-=-+-⋅⋅=u u u r u u r r r r r u r r r r421131255525=-+-⨯⨯⨯=-【点睛】本题考查向量的线性运算、向量基本定理、共线向量的充要条件、向量的数量积，考查计算求解能力，属于中档题.。