核心素养 利用轴对称和平移解决最短路径问题，让学生体会图形
的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想. 例11 如图13-4-20，在由边长为1个单位长度的小正方
形组成的网格中，请分别在AB，AC上找到点E，F，使四边 形PEFQ的周长最小.
图13-4-20
解：如图13-4-21，分别作点P关于AB，点Q关于AC的对称 点P′，Q′,连接P′Q′,交AB于点E，交AC于点F，则E，F即 为所求.
图13-4-8
思路导图：
作点P关于BC的对称点
利用轴对称，求线段和最小
解：如图13-4-9，作点P关于BC的对称点P′，连接P′Q， 交BC于点M，M是所求的点.
图13-4-9
题型二 求线段和的最小值 例6 如图13-4-10，△ABC为等边三角形，高AH=10 cm， P为AH 上一动点，D为AB的中点，求PD+PB的最小值.
A.转化思想 B.三角形的两边之和大于第三边 C.两点之间，线段最短 D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任 意一个内角
解析：∵点B和点B′关于直线l对称，且点C在l上， ∴CB=CB′.又∵AB′交l于点C，且两条直线相交只有 一个交点，∴CB′+CA的长度最短，即CA+CB的值 最小.此最短路径问题运用了“两点之间，线段最 短”，体现了转化思想，验证时运用了三角形的两 边之和大于第三边.故选D.
考点一 线段和最小问题 例9 (贵州黔南中考)如图13-4-17，直线l外不重合的两点A， B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短.作法为： ①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点 C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的 知识或方法是( D )
图13-4-17
于点C，D，则A→C→D→B就是山娃走的最短路径.
图13-4-13
题型四 利用平移解决有关桥梁选址问题
例8 如图13-4-14，护城河在CC′处直角转弯，河宽相等， 从A处到达B处，需经两座桥：DD′，EE′(桥宽不计)，设两 座桥分别是南北、东西方向的，如何架桥可使ADD′E′EB 的路程最短？
以直线 l 2 为对称轴作点A的对称点N，连接MN，分别 交 l 1 , l 2 于点 A 1 , A 2 ,则 A 1 ，A 2 即为所求.
过两条直线内侧一点，分别作关于两条直线的对称点， 即可得三点所组成的三角形的周长最小.
平移在求最短距离问题中的应用
巧记乐背
君若寻求路径短， 折曲变直线段短； 点与直线垂线段， 两点之间线段短； 对称图形对称点， 利用对称求最短； 若遇折线变直难， 平移让难变简单.
如何才能放得下？唐代禅宗高僧青原行思曾提出参禅的三境界，那正是路径所在。 第一重境界是“看山是山，看水是水”。人之最初，比如年少之时，心思是简单的，看到什么就是什么，别人说什么就相信什么。这样看待世界当然是简单而粗糙的，所看到的往往只是表面。但同时，正是因为简单而不放在心上，于是不受其困扰，这就是放下的心境。只是还太脆弱，容易被现实击碎。 第二重境界是“看山不是山，看水不是水”。人随着年龄渐长，经历的世事渐多，就发现这个世界的问题越来越多、越来越复杂，经常是黑白颠倒、是非混淆，无理走遍天下、有理寸步难行，好人无好报、恶人活千年。这时人是激愤的，不平的，忧虑的，怀疑的，警惕的，复杂的。于是人不愿意再轻易地相信什么，容易变得争强好胜、与人比较、绞尽脑汁、机关算尽，永无满足的一天。大多数人都困在这一阶段，虽然纠结、挣扎、痛苦，这却恰恰是顿悟的契机。因为看到了，才能出来；经历了，才能明白。 第三重境界是“看山还是山，看水还是水”。那些保持住本心、做得到忍耐的人，等他看得够了，经得多了，悟得深了，终于有一天豁然顿悟，明白了万般只是自然，存在就有存在的合理性，生会走向灭，繁华会变成寂寞，那些以前认为好的坏的对的错的，都会在规律里走向其应有的结局，人间只是无常，没有一定。这个时候他就不会再与人计较，只是做自己，活在当下之中。任你红尘滚滚，我自清风朗月；面对世俗芜杂，我只一笑了之。这个时候，就是放下了。
图13-4-14
图13-4-15
解：如图13-4-15，作AF垂直河岸于点F，取AI=河宽，作 BG垂直河岸于点G，取BH=河宽，连接IH，与河岸相交 于E′，D′两点，作DD′垂直河岸于点D，EE′垂直河岸于 点E,连接BE,AD，即当桥建于DD′与EE′的位置时，路径 ADD′E′EB最短.
解读中考：中考中对于线段和最短问题的考查，通常在 轴对称图形(等边三角形、长方形和圆等)中结合相关知识 求线段和的最小值.
方法点拨：
在轴对称图形中，求对称轴上的一点使线段和最小时，注 意选择图形中已有的对称点，不要重作某一点的对称点来 求解.

题型三：最短路径问题的实际应用 例7 如图13-4-12，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地
l 1 放羊，然后赶羊到小河 l 2 饮水，之后再回到B处的家.
假设山娃赶羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路 径，标明放羊与饮水的位置.
第十三章 轴对称
13.4课题学习 最短路径问题
轴对称与最短距离问题
l1 l2
l1
l1
l2
l2
l1
l2
l1 l2
l1 l2
l1
l2
l1
l2
l1
l2
注意：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称， 将在一条直线同侧的两点转化到异侧，从而作出最短 路径.
例1 如图13-4-1，A，B两村合伙在河MN建一座扬水站，要 使所用管道最少，请你帮助他们确定扬水站的位置.(画出图 形，不写作法，保留作图痕迹)
例3 A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥
MN，使从A到B的路径AMNB最短的是(假定河的两岸
是平行直线，桥要与河岸垂直)
( D)
A.BM垂直于a
B.AM与BN不平行
C.AN垂直于b
D.AM平行于BN
解析：图13-4-5根据垂线段最短，得出MN是河的宽时最短， 即MN⊥直线a(或直线b)，只要AM+BN最短即可.如图13-4-5， 过点A作河的垂线AH，垂足为H，在AH所在直线上取点I， 使AI等于河宽，连接IB交河的b岸于点N，作MN垂直于河岸, 交a岸于点M，连接AM，所得MN即为所求.故选D.
儒家的最高境界是“拿得起”，佛家的最高境界是“放得下”，道家的最高境界是“想得开”；所以说，儒释道的最高境界，就是这三句话、九个字。中国历史上还曾有过其他一些“人生境界”说，其中三个最著名的，正好可以与儒释道这三大最高境界对照参悟。 跟儒家学拿得起。儒家是追求入世、讲究做事的，要求奋发进取、勇于担当、意志坚定。概括为三个字，就是“拿得起”。什么是“拿得起”？且看这个“儒”字——左边一个“人”，右边一个“需”，合起来就是“人之所需”。人活世上，有各种精神或生存的需要，满足这些需要就需要去获取。去拿，并且拿到了、拿对了，就是拿得起。
弄混“点与直线的距离”与“两点之间，线段最短”
例4 如图13-4-6，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°， ∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使 △AMN的周长最小，求此时∠AMN＋∠ANM的度数.
图13-4-6
图13-4-7
解：如图13-4-7，分别作点A关于BC和CD的对称点A′，A″， 连接A′A″，交BC于点M，交CD于点N，则A′A″的长即为 △AMN的周长的最小值. 如图13-4-7,延长DA至H. ∵∠DAB=120°，∴∠HAA′=60°， ∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°. ∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且 ∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM， ∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″= 2(∠AA′M+∠A″)=2×60°=120°.
图13-4-10
思路导图：
利用轴对称 的性质
在等边三角形 ABC的高AH上 找一点P
将PD+PB的 最小值转化 为PD+PC
解：图13-4-11如图13-4-11，连接DC，交AH于点P，连接
PB. ∵△ABC为等边三角形，D为AB的中点，∴CD也是 △ABC的高， ∴CD=AH=10 cm. 又∵AH所在直线是等边三角形ABC的对称轴， ∴点B，C是关于AH的对称点， ∴PC=BP， ∴PD+PB的最小值=PC+PD=CD=10 cm.
图13-4-12
思路导图：
利用轴对称的性 质及两点之间， 线段最短来求解
分别作点A关
于直线 l 1 ,点 B关于直线 l 2
的对称点E,F
连接EF， 即得最短 路径
解：如图13-4-13，作出点A关于直线 l 1 的对称点E，点B 关于直线 l 2 的对称点F，连接EF，分别交直线 l 1 ，l 2
图13-4-21
自从那一天，我衣着脚，挑着行李，沿着崎岖曲折的田埂，离开故乡，走向了城市；从此，我便漂泊在喧嚣和浮躁的钢筋水泥丛林中，穿行于 中国文化三大支柱的儒释道，其内容相当丰富。以浩如海洋来比喻，都不之为过！ 近日，我在“儒风大家”上，看到一篇文章，仅用---三句话、九个字。说出了儒释道，其实并不高高在上，而是与我们的人生和日常生活密切相关！
如何才能想得开？哲学大师冯友兰曾提出“人生四重境界”说，其中最高那层境界正是道家境界，所以正是路径所在。 一是自然境界。有些人做事，可能只是顺着他的本能或者社会的风俗习惯，而对所做的事并不明白或者不太明白。这种“自然”并非道家那个自然，而是指混沌、盲目、原始，那些人云亦云、随波逐流的人就是这种人。
图13-4-1
图13-4-2
解：如图13-4-2,点O即为所求.
例2 如图13-4-3，点A是总邮局，想在公路 l 1 上建一分
局 A 1 ，在公路 l 2 上建一分局 A 2 ，使 AA 1A 1A2AA2