因为对不可压缩流体有 可把右边的第一项写成散度的形式：
方括号中的式子就是流体中的能量通量密度。第
一项
是由于流体质量在实际上有传递而
引起的能量通量，并且与理想流体中的能量通量相同。
第二项
是由于内摩擦过程引起的能量通量。因为
粘性的存在引起了动量通量 ；但是动量的传递总
是包含着能量的传递，并且能量通量显然等于动量通量
第二个方程表明，压力与y无关，即沿y轴穿过两板间的
流体时，压力是常数。因而第一个方程的右边只是x的函
数，而左边只是y的函数；这只有当两边均为常数是才能
成立。因而
，即沿流动方向，压力是坐标x的
线性函数。我们现在得速度
常数a沿y轴方向，流体速度按抛物线变化，在中点达到最 大值。平均流速为
可得
因此，
，
离），必须分别有
。对 和 （ 是面板间距 和 。于是
所以流速分布是线性的。平均流速可定义为
即
易得作用在每块平板上的力的垂直分量就是 ；而作
用在
平板上的切向摩擦力是
作用在
平板上得切向摩擦力是
。
其次，讨论有压力梯度的情况下，在两个固定的平 行板之间的定常流。选择和前面一样的坐标系；x轴指向 流体运动方向。因为速度显然只依赖于y，所以纳维-斯托 克斯方程给出：
而由方程 压力梯度可以写成 而 是它的长度。
得，
;所以
，这里 是管道两端的压差，
这样，管内流动的速度分布由
形式的二维方
程确定。这个方程必须在管道截面的周线上
的边界
条件下求解。
经推理得，
所以横截面上的速度分布是抛物线的。
在球坐标
中，应力张量分量是
而运动方程为
最后给出不可压缩粘性流体二维流动中流函数 所必须满足的方程，
第二节 不可压缩流体中的能量耗散
粘性的存在导致能量的耗散，最终转变为热，对于不 可压缩流体，计算能量耗散是特别简单的。
不可压缩流体的总动能是
对这个能量取时间导数，得
结合纳维-斯托克斯方程所给表达式 经推导得，
与速度的标积。
若在某个体积V上对
积分，得到
右边第一项给出体积V中流体动能的变化率，，这个变化 率是由于通过体积V的界面的能量通量引起的。因此第二 项积分就是单位时间内耗散引起的动能减少。
若将积分扩展到流体的整个区域，则面积分为零（因 为在无穷远处速度为零），于是得到整个流体中单位时间 所耗散的能量是
第二章 粘性流体
主要内容： 1、粘性流体的运动方程 2、不可压缩流体中的能量耗散 3、管道中的流动 4、两个旋转圆柱面之间的流动 5、相似律 6、斯托克斯公式 7、层流尾迹 8、悬浮流体的粘性 9、粘性流体运动方程的精确解 10、粘性流体中的振动运动
第一节 粘性流体的运动方程
现在来研究流体运动期间发生的能量耗散对流体运动 本身的影响。这个过程是流体运动的热力学不可逆性的结 果。这种不可逆性在某种程度上总要发生，它是由内摩擦 （粘性）和导热引起的。
其中张量 写成，
称为应力张量，而 称为粘性应力张量，它代表与运 动流体质量一起迁移的直接的动量传递无关的那部分动 量通量。
通常， 可写成如下形式，
常数 和 称为粘性系数，并且这两个数都是正的。
只要将
加到欧拉方程
的右边，即可得到粘性流体的运动方程。
因而，粘性流体运动方程最一般的形式是，
但在大多数情况下，流体中的粘性系数变化不大，可 当作常数，因而有，
应当指出，法向和切向速度分量都必须为零，而对于理想 流体，边界条件只要求 为零。
不难写出周围流体作用于固体表面的力的表达式。 一个面元上所受的作用力恰等于通过这个面元的动量通 量。通过面元 的动量通量是
把 写成
的形式，这里 是沿法线的单位
矢量，并考虑到在固体表面上
，我们得到作用在单
位面积上的力 为
计算后得，
此外，经计算，作用在一块固定平板上的摩擦力为
最后来研究管道中的定常流，管道的横截面是任
意的，但沿管道全长上的横截面都相同。取管轴为x轴，
显然每一点的流体速度都指向x轴方向，且仅仅是y和z
的函数。连续性方程自然满足，而纳维-斯托克斯方程
的y和z分量又给出
，即在管道的整个
横截面上，压力是常数。
为了求得描述粘性流体运动的方程，必须在理想流体运 动方程中附加上某些项。关于连续方程，由其推导过程可以 看出，它对任何流体，无论是粘性还是非粘性流体都是同样 有效的；然而，欧拉方程需要修正。
粘性流体的运动方程可以在“理想”动量通量方程上
加上一项
求得，这一项给出流体中动量的不可逆
“粘性”传递。于是，粘性流体中动量通量密度张量写成，
称为运动粘性系数（而 本身称为动力粘性系数）。
可以指出，在给定温度下，气体的动力粘性系数与压 力无关；但运动粘性系数与压力成反比。
我们还必须写出关于粘性流体运动方程的边界条件。 在粘性流体和固体表面之间总存在着分子引力，这些力使 紧贴固体表面的流层完全静止，并且“粘附”于表面上。 因此，粘性流体运动方程的边界条件要求在静止的固体表 面上，流体速度应为零，即
其中等式右边第一项是普通的流体压力，而第二项是由于 粘性引起的作用在固体表面上的摩擦力。式中 是单位 矢量，它沿流体界面的外法线，即沿固体表面的内法线。
在流体的自由面上，必须满足条件
下面给出柱坐标和球坐标中应力张量分量的表
达式和纳维-斯托克斯方程。在柱坐标
中
应力张量的分量是
纳维-斯托克斯方程的三个分量方程和连续方程为
但， 于是，粘性流体的运动方程可写成矢量形式，如下 若流体可看作是不可压缩流体，则上式可简化为， 此方程称为纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程。
对于不可压缩流体，应力张量取下面的简单形式
我们看到，不可压缩流体的粘性只由一个系数确定。 因为大多数流体实际上都可当作是不可压缩的。所以这 个粘性系数 是有普遍重要性的。比值
经简单推导，我们最后得到不可压缩流体中的能量耗散 率为
耗散导致机械能的减少，即一定有 上式积分总是正的，因此我们断定粘性系数 的。
。但 总是正
第三节 管道中的流动
下面讨论不可压缩粘性流体运动的一些简单问题。 设流体介于两个平行平板之间，一个平板相对于另一 个平板以等速 运动。取其中一个平板为xz平面，x轴指 向 方向。显然，所有的量只依赖于 ，并且各处的流体速 度都指向x方向。对于常定流，由纳维-斯托克斯方程