Δc0 、
Δ y0
Δ 2y0 Δ2c0 取平均值
Δc0 、 Δ2c0 取平均值
除了与差分有关， a0与 x0 、 y0 有关， a1与 x0 有关， 用其它点作为x0 、 y0 代入，求出不同的a0、 a1
a0、a1取平均值
a
2
与 x0, y0无关
取平均值
，
数学模型为：
与工程热力学结果一致。c
（7）双曲线函数是拟合地基沉降、水泥土桩极限 承载力曲线中常用的函数形式
3．将实验数据标绘成曲线，与各种典型曲线 对照，确定函数形式。
第二节
建立n次多项式的数学模型
理论和经验证明，当次数增加时，通常可 以达到与原函数的任意接近程度。 如果有n+1 对实验数据（xi,Φi），可以把 数模选成n次多项式的形式。
第四节

求数学模型公式系数的方法
选择数模的函数形式 根据实测数据来确定数学模型公式系数 确定数学模型公式系数 原理上： 实现：工具软件
一、用图解法求公式系数 二、用平均值法求数学模型的公式系数 三、用最小二乘法求数模公式系数
一、用图解法求公式系数
1 当所研究的函数形式是线性时， Y = A + B X (8-12) 其中系数 A 为该直线与 Y 轴的截距； 系数 B 为该直线的斜率。 系数 A 可由直线与 Y 轴的交点的纵坐标定出。 系数 B 可由直线与 ox 轴夹角的正切（tgα）求。 用图解法很直观，也能达到一定精度。 2 也可选取直线上相互距离较远的两个点（两点一线）， 即两对实测数据（X1,Y1) (X2,Y2) 代入模型（8-12）式 直接求解两方程，即
Yi AX 1i X 2i X ki e
1 2 k ui
对上式两边取对数得到： ln Yi ln A 1 ln X1i 2 ln X 2i k ln X ki ui
令 则可将原模型化为标准的线性回归模型：
* * Yi* ln Y , 0 ln A, X 1*i ln X 1i , X 2i ln X 2i , , X ki ln X ki
图 8 - 7 冷冻机容量曲线
（二）进行线性化转换
对上式取对数，得： lgR = lga + b lgAt 新变量： Y = lgR X = lgAt
（三）验证所选公式 将已知数据，在双对 数坐标上绘制容量曲线。 此曲线呈一直线，说明 初选函数符合实际情况。
图 8 - 8 线性化后的 冷冻机容量曲线
Y 0 1Z1i 2 Z 2i k Z ki ui
非线性方程进行线性化的典型实例，表 8 - 6 。 附录8中更多的典型曲线，排列成表以供对 照选取数模。
对于每一个函数，针对不同的系数值，给出 了许多条曲线。
注意：
实验曲线可能只与典型曲线的一部份（在某 区间内）相同。 试验曲线的不同部分对应不同的典型曲线。
所求数学模型为
二、用平均值法求数学模型的公式系数
两点确定一条直线，将任何两对数据代入直线 方程，解出直线公式的系数。 有 2n 对实验数据，能求出n组不同的公式系数， 取其平均结果。 如何求平均？ 将已知数据，分成两组，直接计算出平均系数
具体步骤：


利用直线化方法得出线性方程 Y= A + B X 后， 列出条件方程 Yi = A + B X i . 每一对（Xi，Yi）就有一个条件方程，实验数据 为n对，条件方程有n个，近似直线n条。 将所有n个方程等分成两大组。当 n 为奇数时， 两组近似相等。 再把每大组的条件方程相加，得出两个方程。
Yi
Xi
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi X ui
* * i
双曲线函数 是拟合地基 沉降、水泥 土桩极限承 载力曲线中 常用的函数 形式
5 S-型曲线（生长曲线）模型
S型曲线主要用于描述动、 植物的自然生长过程，又称 生长曲线. 一般，事物总是经过发生、 发展、成熟三个阶段，每一 个阶段的发展速度各不相同。 通常在发生阶段，变化速度 。 较为缓慢；在发展阶段，变 化速度加快；在成熟阶段， 变化速度又趋缓慢.
按上述三个阶段发展规律得到的变化曲线为生长曲线。
5 S-型曲线（生长曲线）模型 S-型曲线模型的一般形式为：
1 Yi Xi e ui
首先对上式做倒数变换得：
1 e X i ui Yi
令 则可将原模型化为标准的线性回归模型
1 * Yi , X i e X i Yi
计算，
与实测 c 比较，两者完全吻合。插值法要 求曲线过实验点。 过分地追求符合实验数据（即使曲线通过 实验点）也是徒劳无益的。
y=p(x)
y=f(x)
采用牛顿插值公式，求二次多项式数模的系 数，与回归分析或曲线拟合法不同。 不同点：


插值是通过实验点连接曲线 回归和拟合是在实验点附近找出较靠近的曲线 插值公式所求出的结果要准确些(前提：测量数据 准确无误差)， 实验误差敏感

所得的数学模型，应严格限制在相应范围内 使用。
[ 例 8 - 4 ] 试求办公楼类建筑，空调所需冷冻机容量R （ kJ / h ）与建筑规模（面积At) 大小的经验总结公式。
（一）在直角坐标上绘制容量曲线。对照典型曲线初 选函数形式 实际曲线与图 8 - 2 的幂函数， y= axb 当 b > 1 时 的曲线非常相似。初选函数形式 R = aAt b
工程热力学，比热随热力学温度变化关系 （2）多元问题，多元线性方程：
（3） 指数函数 应用于放射性同位素测化石年代、概率 中的指数分布、细菌的繁殖、原子弹的 裂变、元素的衰减、化学反应速度、室 内空气品质污染物含量 （4） S型曲线主要用于描述动、植物的 自然生长过程，又称生长曲线.
（5）对数函数 将乘法运算转换成加法运算，降低复杂度 声压值 空气品质气味浓度 应用于PH值的计算 （6）幂函数 传热准则数关联式 幂级数

［例8-3］ 在研究某化学反应 速度时，得到的数 据见表 8-5 ， t为从实验开始算 起的时间； y为在反应混合物 中物质的量， 选择一个合适的数 学模型。
【解】 首先将所得实验数据标绘在图上。初选模型（图83 指数函数，b < 0）
验证初选模型是否正确
将公式两边取对数直线化。
直线关系
第八章 建立实验数 学模型的一般方法
获得变量间关系
方式： 1 纯数学推导得出理论公式
2 ★ 将实验数据整理成反映变量间关系的数 学模型，解决实际问题。
利用实验数据获得数学模型两个步骤： 确定函数形式 求公式系数
第一节 寻求数学模型函数形式的几种方法
由实验数据建立数学模型，关键的问题是如 何确定变量间可能存在的函数形式。
令 Yi* ln Yi , ln A 则可将原模型化为标准的线性回归模型；
Yi bX i ui
*
放射性同位素测化石年代，概率中的指数分布，细菌的繁殖， 原子弹的裂变，元素的衰减，室内空气品质污染物含量
3 对数函数模型 对数函数模型的一般形式为：
Yi ln X i ui
(x-x0)(x-x1)(x-x2)
[例8-2]
求 [ 8-1 ] 二次多项式模型的系数
c = a0 + a1 T + a2 T2
求二次多项式系数用到 a0 ---- y0 Δ y0 Δ 2y0 h x0 x1 a1 ---- Δ y0 h Δ 2y0 x0 x1 a2 ---- Δ 2y0 h
令
X ln X i
* i
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi X ui
* i
对数函数应用于PH值的计算PH=-lg(H+…)
4 双曲线函数模型
x y = 1 双曲线函数
双曲函数模型的一般形式为：
1 1 ui Yi Xi
令 Yi* 1 , X i* 1
推广到具有n+1 个插值点项就行了
牛顿插值公式
x
y
yn(x)=b0+b1(x-x0)+b2(x-x0)(x-x1)+… +bn(x-x0)…(x-xn-1)
展开成如下形式：
y =
确定 a0,a1,a2……
二次多项式
三次多项式 (x-x0)(x-x1)
例 在水流量恒定下，对冲洗锅炉水处理装置的滤料，得 出洗涤水浓度 c 与时间t的关系，求数学模型。
绘图—与标准曲线比 较—判断曲线类型
lnC = lnC0 + A t 将实验数据绘在半对数 纸上 所有点均在一条直线 上，所选指数模型是正 确的。
在表中选择两对相距“较远”的数据， 如 t1＝ 1, C1 = 6.6, t2 = 8, C2= 0.56 代入模 型中,求A,C0
确定数模的函数形式： 实验理论 (专业)经验 据实验曲线的形状确定函数形式
1．由实验理论推求数模的函数形式
相似理论，准则数之间的函数形式 Nu = f ( Re, Pr ) = a Re b Pr c 准则数：几个参量综合而成无因次量，有 一定的物理意义。
2．利用经验确定数模函数形式
（1）常用n次多项式拟和实验数据，即
解n+1 个 yi= Φ(xi)方程组，即可求出n+ 1 个未知的系数 a0 ，al , a2 , ….an之值。
一、 n 次多项式项数的确定 用差分检验法决定多项式模型的项数
步骤：


选取成等差数列的自变量数值xi， 列出对应xi的 yi 值 一阶差分 ， 二阶差分 ， 三阶差分 ， …… 作出差分表。
Yi 0 1 X 2 X k X ui
* * 1i * 2i * ki