第1章Haar小波分析1.1简介(近距离---小尺度） （高分辨率）(远距离---大尺度) （低分辨率）1.2 平均与细节设1234{,,,}x x x x 是一个信号序列。

定义它的平均和细节：1,0121,012()/2()/2a x x d x x =+⎫⎬=-⎭找出了1x 、2x 和1,0a 、1,0d 的关系。

这里，1,0a 是原信号前两个值1x 、2x 的平均。

又叫低频成分，反映前两个值1x 、2x 的基本特征或粗糙趋势；1,0d 反映了1x 、2x 的差别，即细节信息，又叫高频成分。

1,1341,134()/2()/2a x x d x x =+⎫⎬=-⎭找出了3x 、4x 和1,1a 、1,1d 的关系。

同样，1,1a 是原信号后两个值3x 、4x 的平均，1,1d 反映了3x 、4x 的细节。

我们把1,01,11,01,1{,,,}a a d d 看作是对1234{,,,}x x x x 实施了一次变换的结果。

变换还可以往下进行：0,01,01,1()/2a a a =+=1234(()/2()/2)/2x x x x +++ =1234()/4x x x x +++0,0a 是对4个信号元素最终的平均，它是原信号最基本的信息；0,01,01,1()/2d a a =-。

经过二次变换，我们得到了原信号的另一种表示：0,00,01,01,1{,,,}a d d d该序列叫做原序列的小波变换，0,00,01,01,1,,,a d d d 叫做小波系数。

还可以反过来表示：111,0211,0x a d x a d =+⎫⎬=-⎭这是用｛1a ,1,0d ｝来恢复原信号1x 、2x ；321,1421,1x a d x a d =+⎫⎬=-⎭用｛2a ,1,1d ｝来恢复原信号3x 、4x 。

也就是反变换。

小波变换过程的塔式算法：例如，1234{,,,}x x x x ＝｛3，1，－2，4｝最终的小波变换为0,00,01,01,1{,,,}a d d d =31{,,1,3}22-1.3 尺度函数与小波函数 (1)Haar 尺度函数不压缩：不位移 位移一个单位 位移k 个单位110,0()()t t φφ=0,1(1)()t t φφ-=0,()()k t k t φφ-=1k 1k +tt t 0000tP-91/2j/2j k (1)/2j k +,2()()j j k k t t φφ-=t1/22(1/221())()t t φφ-=-1,1()t φ=t10,1(1)()t t ψψ-=3/22t0,()()k t k t ψψ-=2/2k k=(21)/21/2k k +=+(22)/21k k +=+压缩1/12倍，不位移 压缩1/12倍，位移一个单位 压缩1/2j 倍，移位K 个单位一般,()(2)j j k t t k φφ=-，0,1,2,...,21j k =-◆ 几个术语1） 支撑（支集），（尺度）函数,()j k t φ不为零的区间，上例中为1[,]22jj k k +。

2） 支撑的宽度，Haar 尺度函数的宽度为1/2j。

3） j 为分辨率，j 越大，尺度越小，分辨率越高。

4） 1/2j=2j -为尺度。

（分辨率越高，尺度越小）(2).Haar 小波函数()t φ◆ Haar 小波函数与尺度函数的关系0,01,01,1()()()()t t t t ψψφφ==-❖不平移、不压缩； 平移一个单位 ； ……… 平移 K 个 单位。

11t1/2P-81,02()()t t φφ=0,0()()t t ψψ=t1/21t1/211,02(2(1/2))(1)()t t t ψψψ-=-=3/4t121,2(2(2/2))()()k t k t k t ψψψ-=-=22/2k 2(22)/2k +2(21)/2k +❖ 不平移，压缩1/12倍； …先平移一个单位，再压缩1/12倍， … 平移个K 单位，再压缩1/12倍。

◆ H aar 小波函数的一般形式：,()j k t ψ=(2)j t k ψ-，0,1,...,21j k =-位移k 个单位，压缩2j 倍。

(3). 分段常数函数也可将序列1234{,,,}x x x x 看成分段常数序列。

用尺度函数和小波函数描述分段常数函数1[0.1/4]()()f t x X t =+2[1/4,1/2]()x X t +3[1/2,3/4]()x X t +4[3/4,1]()x X t写成=12,022,132,242,3()()()()()f t x t x t x t x t φφφφ+++14444444244444443可用尺度函数伸缩平移的线性组合表示t1/21/41,02()()t t ψψ=重写12,022,11,012121,0()/2()/2()()a x x dx x x t x t φφ=+=-+144424443+32,242,31,134341,1()/2()/2()()a x x d x x x t x t φφ=+=-+144424443()f t =1,01,01,11,10,00,0()()a d a t a t φφ+144424443再求平均和细节得和+1,01,01,11,1()()d t d t ψψ+故得＝0,00.00,00,00,01,01,10,01,01,1()/2()/2()()a a a d a a a t d t φψ=+=-+14444244443＋1,01,01,11,1()()d t d t ψψ+注释：序列1234{,,,}x x x x 可由尺度函数和小波函数的系数来表示，既0,00,01,01,1{,,,}a d d d 为1234{,,,}x x x x 的小波变换（系数）。

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1.5 小波变换的计算♦ 设1234{,,,}x x x x 是长度为2n （n 是大于1的整数）的离散序列，记为,21,0{,...,}n n n a a -。

函数()n f t 展开为1,0,0,21,2()()()...n n n n n n n f t a t a t φφ--=++ （1-20）将函数()n f t 做一次小波分解，得1111,01,01111,21,2()),()()...()n n n n n n n n n n f t f V f t a t a t φφ----------∈=+++1444444442444444443概貌（平均或低频部分），用表示（继续分解1,01,011111,21,2()...()n n n n n n d t dt ψψ--------→++1444444442444444443系数d ，细节（差别或高频部分）构成小波变换系数的一半（1-21）重复分解多次，可得()n f t 在不同尺度下尺度函数和小波函数的展开式。

♦ 归一化尺度函数和小波函数归一化又叫做标准化或规范化，计算方法如下：2*2,1,,fu u f ff f f f dt f dtf======⎰⎰,()(2-)j j k t t k φφ=，0,1,...,21j k =-（限制在横轴01:之间）22(1)/2(1)/2,,/2/2()()j jjk k j k j k k k jt t dt dt φφ++==⎰⎰=12j,/2()2j k j t φ-==标准化尺度函数,(2()j j k t k t φφ-=）/2(22j j t k φ--=）/22(2j j t k φ-） 仍记为/2,()2(2j j j k t t k φφ=-）（1-22） 同理，可得标准化Haar 小波函数/2,()2(2j j j k t t k ψψ=-）（1-23） 标准化二尺度方程1/21/21/21/2()2(2)2(21)()2(2)2(21)t t t t t t φφφψφφ----⎧=+-⎨=--⎩ （1-24，1-25） 注释： 标准化函数的物理意义是，尺度函数和小波函数在不同分辨率下具有相同的能量，从而可推出信号进行小波变换前、后能量相等，既221,k n n ka =-∑=2121,n n k ka -=-∑+1221,0n n k k d --=∑♦ 如何从,21,0{,...,}n n n a a -快速计算小波变换系数：♣ 重写（1-21）式11101,211,2111,1,01,01,01,211,21()()()()()......n n n n n n n n n n n n n f t a t a t d t d t φφψψ----------------=+++++♣ 现将式（1-21）二端在01:范围内对1,()n k t φ-做内积，得11,()()n n k f t t dt φ-⎰=121,1,()n k n k a t dt φ--⎰=121,1,()n kn k a t dt φ--⎰=1,n k a - (1-26)注释：这里正交性保证了（1-26）式右边只有一项内积不为零；尺度函数的标准化保证了积分结果为1。

♣ 再将式（1-20）,即,0,0,21,21()()...()n n n n n n n f t a t a t φφ--=++代入（1-26）,左边得11,0,0,0,21,21[()()]()...n nn n nkn n a t a t t dt φφφ---++⎰11/20/2/21,0,1[2(2)2(21)]2(2)...n n n n n n n n a t a t t k dt φφφ--+-+-⎰=1/201/21,022(2)(2)...n n n n n a t k t k dt φφ----+⎰=1,n k a -注释： 若设k=0，则11,()()n n k f t t dt φ-⎰=11,00()()n n f t t dt φ-⎰① 1(2)(20)nn t t φφ--所以， 11(2)(2)n nt t dt φφ-⎰=1/211/21(2)(2)2nn nnnt t dt dt φφ-==⎰⎰②1(21)(20)nn t t φφ---所以，1/211/21(21)(2)nn n n t t dt φφ---⎰=11/211/21122n n n n dt --=-⎰=211222n n n -=因此，1/21/2/21/21/21,0,101/211/222(2)(2)22(21)(2)nn n n n n n n n n n n na t t dt a t t dt φφφφ-----+-⎰⎰=,0,11,022nn n n n a a a a a -++== 即1,001,,()n n n a a a -=+♣ 一般有，1,,2,21()n k n k n k a a a -+=+ 10,1,2,...,21n k -=-= ,21,2/n k n k a a +注释：1）归一化后，/2,()2(2)j j j k t t k φφ=-2）关于积分 1121/2121,()[2(2)]n n n k t dt t k dt φφ---=-⎰⎰=112111012(2)(2)2n n n n t k d t k φ------⎰♣ 同理，有小波系数1,,2,21()n k n k n k a a d -+=- 10,1,2,...,21n k -=-=,21,2n k n k a a +1.7 小波变换的滤波器组实现―――Mallat 算法 1.7.1 离散序列的巻积已知序列012{,,,...,},()1m a a a a a l a m ==+ 012{,,,...,},()1k b b b b b l b k ==+做巻积的两个序列的长度不一定相等。