基于MATLAB 的二级齿轮减速器的优化设计
黄洪 200921030302 机制0903
佘意 200921030202 机制0902
长沙理工大学
1 引言
齿轮减速器是原动机和工作机之间独立的闭式机械传动装置，能够降低转速和增大扭矩，是一种被广泛应用在工矿企业及运输、建筑等部门中的机械部件。

在计算齿轮减速器中心距时，采用普通的计算方法，得到的中心距明显偏大，减速器不够紧凑，因而在这里我们采用matlab 优化方法进行优化，并和我们原有的数据进行比较，验证优化的结果。

2 数学模型的建立
二级圆柱齿轮减速器，要求在保证承载能力的条件下按照总中心距最小进行优化设计。

在设计中，我们选取了第四组数据，即已知：高速轴输入功率R=4Kw ，高速轴转速n=960r ／min ，总传动比i=31.5，齿轮的齿宽系数Φ=0．4；大齿轮45号钢，正火处理，小齿轮45号钢，调质处理，总工作时间不少于5年。

2.1选取设计变量
减速器的中心距式为：
式中：
1
n m 、
2
n m 为高速级与低速级齿轮的法面模数，1i 、2i
高速级与低速级传动比，
1
z 、
3
z 高速级与低速级的齿数比；β小齿轮齿数齿轮的螺旋角。

计算中心距的独立参数有:
1
n m 、
2
n m 、1i （2i =31.5/1i
）、
1
z 、
3
z 、β
故优化设计变量取：
12131[,,,,,]T n n X m m z z i β==
123456[,,,,,]T
x x x x x x
2.2 建立目标函数
将中心距公式用设计变量表示，确定目标函数为：
1354456()[(1)(131.5/)]/(2cos )
f x x x x x x x x =+++
根据传递功率与转速分析，综合考虑传动平稳、轴向力不可太大，能满足短期过载，高速级与低速级的大齿轮浸油深度大致相近，齿轮的分度圆尺寸不能太小等因素，各变量的上下限取如下边界：
12125,26,1422,n n m m z ≤≤≤≤≤≤311622,5.87,815o o
z i β≤≤≤≤≤≤。

2.3确定约束条件
2.3.1 线性不等式约束条件：
11()20
g X x =-≤
2132425363748495105116126()50()20()60()140()220()160()220() 5.80()70()80()150
g X x g X x g X x g X x g X x g X x g X x g X x g X x g X x g X x =-≤=-≤=-≤=-≤=-≤=-≤=-≤=-≤=-≤=-≤=-≤
2.3.2非线性不等式约束条件：
(1) 由齿面接触强度公式确定的约束条件是：
3(1)925[]
i
H H i
i KT a b σσ+=≤
得到高速级和低速级齿面接触强度条件分别为：
233
31112
11
[]cos 08925H n a
m z i K T σϕβ-≥⨯ 233
32322
22
[]cos 08925H n a
m z i K T σϕβ-≥⨯
式中：
H
σ为许用接触应力，单位为N ／2
mm ；1T
、
2
T 为高速轴I 和中间轴Ⅱ的转矩，单位
为N ／mm ；
1
K 、
2
K 为高速级和低速级载荷系数。

(2) 由齿轮弯曲强度公式确定的约束条件：
11
11
112
1.5[]F F n K T bd m Y σσ=
≤
1
21
22
[]F F F Y Y σσσ=≤
得到高速级和低速级大小齿轮的弯曲强度条件分别为：
322
11111
11322
2211111
[](1)cos 03[](1)cos 0
3F a n F a n Y i m z K T Y i m z K T σϕβσϕβ+-≥+-≥
和
322
33223
22322
4422322
[](1)cos 03[](1)cos 0
3F a n F a n Y i m z K T Y i m z K T σϕβσϕβ+-≥+-≥
式中：
1
[]F σ、2
[]F σ、
3
[]F σ、
4
[]F σ为齿轮l 、2、3、4的许用弯曲应力，单位为N ／2mm ；
1
Y 、
2Y 、
3Y 、
4
Y 为齿轮1、2、3、4的齿形系数。

对于大小齿轮的齿形系数，可查阅相关机械手册，在这里我们得到齿形系数分别为： 对于小齿轮，其齿形系数
1
Y 、
3
Y 按下式计算：
2
1112
333
0.1690.0066660.00008540.1690.0066660.0000854Y z z Y z z =+-=+-
对于小齿轮，其齿形系数
2
Y 、
4
Y 按下式计算：
2
2222
444
0.1690.0066660.00008540.1690.0066660.0000854Y z z Y z z =+-=+-
(3) 由高速级大齿轮和低速轴不发生干涉的约束条件：
22/20
e a E D --≥
2321111(1)2cos ()0
n n n m z i E m m z i β+-+-≥
式中：E 为低速轴轴线与高速级大齿轮齿顶圆之间的距离；
2
e D 为高速级大齿轮的齿顶圆直
径。

对于以上的约束条件，代入已知的数据，可以得到如下结果：
1324121[]518.75/,[][]153.5/[][]141.6/,41690/,40440/H F F F F N mm N mm
N mm T N mm T i N mm σσσσσ======= 1212341.255, 1.204
0.248,0.302,0.256,0.302,50K K Y Y Y Y E mm =======
可得
3633
136135334331456242533156513224321656524217516125245()cos 3.079100()cos 1.701100()cos 9.93910(1)0()cos 1.70610(31.5)0
()[2(50)cos ](31.5)0
g x x x x x g X x x x x g X x x x x g X x x x x x g X x x x x x x x x x ----=-⨯≤=-⨯≤=-⨯+≤=-⨯+≤=++-+≤
综上，我们得到了1()
g X 至
17()
g X 17个约束条件。

3进行MATLAB 优化
3.1编写目标函数M 文件并以文件名myfun 保存在MATLAB 目录下的WORK 文件夹中。

Function f=myfun(x)
f=(x(1)*x(3)*(1+x(5))+x(4)*x(4)(1+31.5/x(5))/(2cosx(6))
3.2 编写约束函数M 文件并以文件名mycon 保存MATLAB 目录下的WORK 文件夹中。

function [c, ceq] =mycon(x)
c(1)=cos(x(6))^3-3.079*10^-6*x(1)^3*x(3)^3*x(5); c(2)=x(5)^3*cos(x(6))^3-1.701*10^-4*x(2)^3*x(4)^3; c(3)=cos(x(6))^2-9.939*10^-5*(1+x(5))*x(1)^3*x(3)^3;
c(4)=x(5)^2*cos(x(6))^2-1.706*10^-4*(31.5+x(5))*x(2)^3*x(4)^2;
c(5)=x(5)*(2*(x(1)+50)*cos((x(6))^2+x(1)*x(2)*x(5))-x(2)*x(4)*(31.5+x(5)));
3.3 在命令窗口调用优化程序：
x(0)=[3,5,19,17,6.3,11];lb=[2,2,14,16,5.8,8];ub=[5,6,22,22,7,15];
[x, fval, exitflag, output]=fmincon(@myfun,x(0),[],[],[],[],lb,ub,@mycon) 得到的优化结果如下：
[x(1),x(2),x(3),x(4),x(5),x(6)]=[2,4,19,16,5.8,9.8] F=340
由列表可以看出，得到的优化结果要明显好于常规解法，使的结构更加紧凑。