1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
———
r3-3r1
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 0 -7 2 4 1 -9 3 7
下页
5.1
初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.
(1)交换矩阵的某两行(列)；
(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. 第i列的k倍加到第j列记为cj+kci . 例如
0 0 1 0 0 0 1 0
下页
0 k =Er(2,4(k)) 0 1 0 0 =Ec(2,4(k)) 0 1
0 0 c2+kc4 ——— 0 1
初等矩阵的可逆性
初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵. 这是因为，初等矩阵的行列式要么为1,要么为-1,要么为k(k≠0) . 其逆阵分别为:
E(i, j)-1=E(i, j)；
E(i(k))-1=E(i(k -1))；
E(j,i(k))-1=E(j,i(-k)) .
下页
定理1 设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于
在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换 相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.
a11 a12 a13 a14 例如，设 A = a21 a22 a23 a24 a a a a 31 32 33 34 0 1 0 a11 a12 a13 a14 E(1, 2)A= 1 0 0 a21 a22 a23 a24 = 0 0 1 a a a a 31 32 33 34
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
———
4c3Байду номын сангаас
1 5 -4 -1 1 -2 4 3 3 8 -4 1 1 -9 12 7
下页
5.1
初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.
(1)交换矩阵的某两行(列)；
(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. 第i行的k倍加到第j行记为rj+kri . 例如
第 5节
矩阵的初等变换与初等矩阵
一、初等变换
二、初等矩阵 三、求逆矩阵的初等行变换法
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第 5节
矩阵的初等变换与初等矩阵
5.1 初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.
(1)交换矩阵的某两行(列)； (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. 交换第i行与第j行记为rirj . 例如
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
———
r2r4
1 5 -1 -1 1 -9 3 7 3 8 -1 1 1 -2 1 3
下页
5.1
初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.
(1)交换矩阵的某两行(列)；
(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. 交换第i列与第j列记为cicj . 例如
5.2
初等矩阵（或初等方阵）.
初等矩阵
定义2 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为
初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) . 例如，下面是几个4阶初等矩阵：
E=
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1
初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) . 例如，下面是几个4阶初等矩阵：
1 0 E= 0 0 E= 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1
———
r2+kr4
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 k
a21 a22 a23 a24
a11 a12 a13 a14 a31 a32 a33 a34
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
———
4r2
1 5 -1 -1 4 -8 4 12 3 8 -1 1 1 -9 3 7
下页
5.1
初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.
(1)交换矩阵的某两行(列)；
(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. 用数k乘以第i列记为kci . 例如
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
———
c1c3
-1 5 1 -2 -1 8 3 -9
下页
1 -1 1 3 3 1 1 7
5.1
初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.
(1)交换矩阵的某两行(列)；
(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. 用数k乘以第i行记为kri . 例如
E=
1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1
———
r2r4
1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0 1 0
下页
0 1 =E(2, 4) 0 0 0 1 =E(2, 4) 0 0
1 0 E= 0 0
0 0 c2c4 ——— 0 1
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
———
c3+c1
1 5 1 -2 3 8 1 -9
下页
0 -1 2 3 2 1 4 7
5.2
初等矩阵（或初等方阵）.
初等矩阵
定义2 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为
初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) . 例如，下面是几个4阶初等矩阵：
———
4 r3
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 4 0 0 0 4 0
下页
0 0 =E(3(4)) 0 1 0 0 =E(3(4)) 0 1
E=
0 0 4 c3 ——— 0 1
5.2
初等矩阵（或初等方阵）.
初等矩阵
定义2 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为