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(c) n度旋转反演轴
§1.6晶体的对称性
晶体经绕轴作n度旋转与中心反演的复合操作后与自身 重合则称其具有n度旋转反演轴对称。
晶体由于受周期性的制约，也只可能有2、3、4、与6度 旋转反演轴，分别用数字符号 2346 表示。
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§1.6晶体的对称性
n 度旋转反演轴的对称性（操作的总效果一样）。
x~ ' x'
x2' 2 x3' 2 x12 x~A~Ax x~x

x22

x32

x~
'x'

x1'
x
' 2
x1'
x3' x2'

x3'

x~ ' 为转置矩阵，即行列互换所得矩阵。因此要求
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即A为正交矩阵。
A ~ A I A ~ A1
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§1.7 晶体结构的分类 我们已经知道布喇菲格子可以由
的格矢表示。
Rn n1a1 n2a2 n3a3
基矢a、b、c之间的关系，即其长度的异同和彼此间夹角 决定了不同的布喇菲格子的类型。
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§1.7 晶体结构的分类
前面我们已经看到晶体在宏观对称操作作用下，其空 间格子必相应地变动。
分别为
0,60,90,120,180
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§1.6晶体的对称性
即，晶体绕固定轴转动对称操作的转角只可能是
i 2
n
而n 必须是1、2、3、4、和6， i为任意整数。 常将这一类转动对称轴称作n度旋转轴，晶体周期性结构限制了只能
存在2度、3度、4度和6度对称轴。
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§1.6晶体的对称性 分别用数字2、3、4、6或符号 ▲ ■ 代表一个n度转轴。 n=1相当于不变，即不施加任何操作，通常也看作一个对称操作。
x1' x1
( x1 , x2, x3 ) ( x1' , x2' , x3' )
x
' 2

r
cos(
)

r ( cos
cos

sin
sin )
x2 cos x3 sin ,
x3' r sin( ) r(cos sin sin cos )
因此，立方体有三个4度轴，六个2度轴和四个3度轴。 （c）表示硅钼酸鉀晶体的6度及2度转轴。
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§1.6晶体的对称性 (b) 中心反演
使坐标r变成-r的操作称对原点的中心反演。 经此操作后，晶体与自身重合则为具有中心反演对称，常用字母i 代表。
( x1, x2, x3 ) ( x1, x2 , x3 )
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§1.6晶体的对称性
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§1.6晶体的对称性
对称素 名称
对称操作（48） 每个对称元素的操作 数目
三条4次轴＜100＞
旋转90,180,270
9
四条3次轴＜111＞
旋转120,240
8
六条2次轴＜110＞
旋转180
6
i 对称心
不动
1
立方对称的48个对称操作
以上操作加反演
24
称为立方点群Oh
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§1.6晶体的对称性
应当说明的是,对于宏观晶体而言: n度螺旋轴与n度旋转轴是等价的 滑移面与镜面也是等价的，
因为在宏观的范围通常观察不到原子间距数量级的平移。
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§1.6晶体的对称性
将32种宏观点群再加上以上二类带平移的对称操作, 结 合起来就可以导出230种微观空间群。
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§1.6晶体的对称性
按照空间群理论，晶体的对称类型是由少数基本的对称操作(8种)
组合而成 对点阵对称性的精确数学描述，需要用点群和空间群的概念。 如果基本对称操作中不包括平移，则组成32种宏观对称类型，称为 点群 如果包括平移，就构成230种微观的对称性，称为空间群。 能使一个图像复原的全部不等同操作，形成一个对称操作群。
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§1.6晶体的对称性
由几何关系得知A‘B’｜｜AB；
因而，晶体周期性必然要求A‘B’为AB的整数倍，因为AB为此方向上格点 排列的周期。
但从图可见
A'B' AB 2ABcos( ) AB(1 2cos )
因此 1－2cosφ＝m
式中m为整数。由于｜cosφ｜≤ 1，可得到当m为－1、0、1、2、3时， φ
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线性变换
§1.6晶体的对称性
晶体的对称性:晶体经过某种操作后恢复原状的性质
在操作前后应不改变晶体中任意两点间的距离
如用数学表示，这些操作就是熟知的线性变换
设经过某个操作，把晶格中任一点X变为X’，这操作可表示为线性
变换：
x'j a jk xk , j, k 1,2,3 (1)
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§1.6晶体的对称性
2、包括平移的基本对称操作 从微观结构上看，如按照操作后使晶体与自身重合的定
义，晶体中还有螺旋轴与滑移面两类对称性。 在这两类操作作用下，晶体中不再有任何固定不变的点
存在，因而它们不属于点群操作。
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(1)n度螺旋轴
§1.6晶体的对称性
复合操作:如经绕某轴作n度旋转 + 再沿转轴方向平移t
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§1.6晶体的对称性
在晶格这个物理系统中，一种对称性，是指某些要素互 相等价，而互相等价的要素就是晶格中的几何形体：点、线、 面。 为了清楚地显示出某一种点阵对称性，需要进行相应的 对称操作。 点阵对称操作：假设在某一个操作过后，点阵不变，也 就是每个格点的位置都得到重复，那么这个平移、旋转或镜 反射操作就叫一个点阵对称操作。
变为 ( x1 , x2 , x3 )
1 0 A 0 1
0 0 A 1
0 0 1
我们注意到上面所考虑的几何变换（旋转和反射）都是正交变换（保 持两点距离不变的变换）。
如果一个物体在某一正交变换下不变，我们就称这个变换为物体的一 个对称操作，显然，一个物体的对称操作愈多，就表明它的对称性愈高。
因此，布喇菲格子的形式，即三个基矢之间的关系必 然受到宏观对称性的制约。 晶格周期性，即空间格子对于对称性的制约，结果 是只能有32种点群对称。 反过来，点对称性对于空间格子的周期性即平移对 称性的限制的结果是只能存在14种布喇菲格子（原胞）。
晶体与自身重合,称此复合操作为n度螺旋轴。
t T l n
T为转轴方向的晶格周期，l为某小于n的整数。晶体只能 有1度、2度、3度、4度、6度螺旋轴。
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金刚石结构具有4度螺
旋轴对称
0
§1.6晶体的对称性
1/2
0
取原胞（如图）上下底 面心到该面一个棱的垂线的 中点，联接这两中点的直线 1/2 就是个4度螺旋轴；
§1.6晶体的对称性
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§1.6晶体的对称性
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§1.6晶体的对称性
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§1.6晶体的对称性
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§1.6晶体的对称性
四、基本的对称操作 1、不包括平移的基本对称操作 (a)n度旋转对称轴 假设纸面上有一列格点，通过A点有一垂直于纸面的对称轴，当晶 体绕其转动φ 后与自身重合。 在此对称操作作用下，B点转至B‘位置。 由于晶格的周期性，B点应与A点等价，因此在B点必须也存在一转 角为φ的垂直对称转轴，而且绕此轴转动（－φ）角也必然是一对称操 作。在此操作作用下，A点变至A’点。
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§1.6晶体的对称性
山和水在玩镜面操作
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§1.6晶体的对称性
小猫在研究镜面操作
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§1.6晶体的对称性
山和水在玩镜面操作
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§1.6晶体的对称性
人和牛在玩投影
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§1.6晶体的对称性
存在一定变化与对比的对称
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§1.6晶体的对称性
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它们可以描写晶体所有可能的对称性，每种空间群对应于 一种特殊的晶格结构。
晶体之星 /
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§1.6晶体的对称性
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§1.6晶体的对称性
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§1.6晶体的对称性
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§1.6晶体的对称性
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§1.6晶体的对称性
晶体绕该轴转90度后， 再沿该轴平移a/4，能自相 0 重合。
3/4 0
1/4 1/2
1/4 1/2
3/4 0
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§1.6晶体的对称性
金刚石结构具有4度螺旋轴对称
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(2)滑移反映面
§1.6晶体的对称性
这是对某一平面作镜像操作后，再沿平行于镜面的某方向 平移T/n周期的对称操作。（T是该方向上的周期矢量，n为2 或4），操作后，晶体中的原子和相同的原子重合。
对称轴度数的符号表
对称轴的度数 2
3
4
6
符号
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§1.6晶体的对称性
例如：（a）表示方解石(晶体属 三方晶系的碳酸盐矿物)菱面体的 3度转轴；
（b）表示岩盐立方体的4 度、3度及2度转轴。对于立方 体而言，对面中心的连线为4度 轴，不在同一立方面上的平行 棱边中点的连线为2度轴，而体 对角线为3度轴。
式中
x ix1 jx2 kx3
x'
ix1'
jx
' 2
kx3'