_正态分布及其性质概述
ex : 一批灯泡的使用时间 (单位 : 小时)服从 正态分布N, (10000 ,4002 )则这批灯泡中使用 时间超过10800 小时的灯泡的概率为
0.0228
5.标准正态分布 (1) ~ N (0,1), 则的分布函数通常 用 ( x )表示, 且 ( x ) = P ( ≤ x ) 对于x ≥0, ( x )的值可在标准正态 分布表中查到 , 而x < 0的 ( x )的值 可用 : ( x ) = 1 - ( x )
越大,曲线越“矮胖” , 表示总体的分布越分散 ; 越小,曲线越“瘦高” , 表示总体的分布越集中 . (5). 当一定时,曲线的形状由 确定,
Y
f ( x)
1 2
e
( x ) 2 22
x
X
例题1.设随机变量 ~ N (2, 2), 1 则D ( )的值为( C ) 2 1 A.1; B.2; C. ; D.4. 2
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
知识点:标准正态曲线
当μ=0,σ=1时,正态总体称为标准正态 总体,其相应的函数表达式是
1 f ( x) e , x R 2
其相应的曲线称为标准正态曲线。标准正态 总体N(0,1)在正态总体的研究中占有重 要地位。任何正态分布的问题均可转化成标 准总体分布的概率问题。
2.正态分布的期望与方差 若 ~ N ( , 2 ), 则的期望与方差分布为:
E = , D = 2
3.正态曲线
f ( x)
1 2
e
( x ) 2 22
,xR
N(, )或N(, )
2
L 总体平均数
D 标准差
Y
x
X
4.正态曲线的性质
y
例4、如图,为某地成年男 性体重的正态曲线图,请写 出其正态分布密度函数,并 求P(|X-72|<20).
1 10 2
x (, )
72(kg)
x
例6.( 2).设 ~ N (0,1), 借助于标准 正态分布的函数表计算: (1) p( > 1.24); (2) p( < -1.24); (3) p( < 1).
5、已知正态总体的数据落在(-3,-1)里的概率和落 在(3,5)里的概率相等,那么这个正态总体的数学 1 期望是 。
例2、已知 ~ n(0, 2 ),且 P(2 0) 0.4 ,
则 P( 2) 等于( A )
A.0.1
B. 0.2
C. 0.3
D.0.4
例3、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
2、已知X~N (0,1),则X在区间 (, 2) 内取值的概率 等于( D )
A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 0.5 , . 3、设离散型随机变量X~N(0,1),则 P( X 0)=
P(2 X 2) =
0.9544
4、若已知正态总体落在区间 (0.3, ) 的概率为0.5,则 相应的正态曲线在x= 0.3 时达到最高点。
x2 2
标准正态总体N(0,1)的概率问题:
由于标准正态总体 N 0,1 在正态总体的研究 中有非常重要的地位,已专门制作了“标准正态 分布表” 。
表中相对于x0的值是指P(X x 0)的大小。
就是图中阴影 区域A的面积 该区域的面积表示? 又该如何计算呢 A
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5.标准正态分布 (1) ~ N (0,1), 则的分布函数通常 用 ( x )表示, 且 ( x ) = P ( ≤ x ) 对于x ≥0, ( x )的值可在标准正态 分布表中查到 , 而x < 0的 ( x )的值 可用 : ( x ) = 1 - ( x )
( 2)若 ~ N (u, 2 ), 则的分布函数 用F ( x )表示, 且有P ( ≤ x ) = F ( x ) = ( x-u
)
7.标准正态分布与一般正态分布的关系:
(1).若 ~ N(, ), 则 ~ N(0,1). 2 ( 2). ~ N(, ), b a P(a b ) ( ) ( ), 然后,通过查标准正态 分布表中 a b x ,x 的( x)值.(课本P58页) 2
正态分布复习巩固
1.正态分布与正态曲线
如果随机变量的概率密度为:
f(x)
1 2
e
( x ) 2 22
(x R, , 为常数,且 0), 称服从参数 为、的正态分布,用 N(, 2)表示, f(x) 的表示式可简记为 N ( , 2 )或N ( , ), 它的密度曲线简称为正 态曲线.
(1).曲线在x轴上方,与x轴不相交; (3). 当x 时, 曲线处于最高点,
(2).曲线关于直x 线对称;
当x向左、向右远离时, 曲线不断地降低,呈现 出“中 间高、两边低”的钟形 曲线.
( 4). 当x 时,曲线上升; 当x 时,曲线下降.
并且当曲线向左、向右两边无限延伸时, 以x轴为渐进线,向x轴无限的靠近.
正态曲线下的面积规律
(1)正态曲线下面积的意义:正态曲线下一定 区间内的面积代表变量值落在该区间的概率。 整个曲线下的面积为1,代表总概率为1。 曲线下面积的求法:定积分法和标准正态分布法
(2)对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)=S(-,-X)
对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
2
从而,可计算服从(, )的正态分布
的随机变量取值在a与b之间的概率.
例题4.正态总体N( 0, 1 )在区间( 2, 1 )和 ( 1 , 2 )上取值的概率分布为 P1、P2,则() A.P1 P2 ; B.P 1 P2 ; C.P1 P2 ; D.不确定.
c
例题5.已知 ~ N(, 2 ), E 3, D 1, 则P( 1 1) () B A.2(1) 1; B.( 4) ( 2); C.( 4) ( 2); D.( 2) ( 4)