上学期期末试卷 （答题时间：90分钟）一、单选题（每题5分，共30分）1. 设集合{}{}|27,|1,A x x B x x x N =-<<=>∈，则A B 的元素的个数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 62. 函数log (0a y x a =>且1)a ≠的图象经过点)1,22(-，函数(0x y b b =>且1)b ≠的图象经过点)22,1(，则下列关系式中正确的是（ ）A. 22a b >B. 22ab >C. ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛2121D.2121b a >3. 角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则tan 2θ＝（ ）A. 2B. －4C. －43 D. －34 4. 下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ） A. y ＝sin )22(π+xB. y ＝cos )22(π+xC. y ＝sin 2x ＋cos 2xD. y ＝sin x ＋cos x5. 函数2()2x f x x =-的零点个数是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 36. 某公司招聘员工，经过笔试确定面试对象人数，面试对象人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：4,110,210,10100,1.5,100,x x y x x x x ≤≤⎧⎪=+<≤⎨⎪>⎩其中x 代表拟录用人数，y 代表面试对象人数。

若应聘的面试对象人数为60人，则该公司拟录用人数为（ ）A. 15B. 40C. 30D. 25二、填空题（每题5分，共20分）7. 已知不等式062<-+px x 的解集为{|32}x x -<<，则p =_________。

8. 2lg 2+＝________。

9. 函数y ＝23cos -x 的定义域为________。

10. 已知281(0,0)x y x y+=>>，则x y +的最小值为________。

三、解答题（共50分） 11. （本题满分12分）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤-=)0(,1)1(log )0(,2)21()(2x x x x f x（1）求)(x f 的零点；（2）求不等式()0f x >的解集。

12. （本小题满分12分）已知1sin cos (0),5x x x π+=-<<求tan x 的值。

13. （本小题满分13分）将函数()cos()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的图象上的每一点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的一半，再将图象向右平移6π个单位长度得到函数y =sinx 的图象。

（1）直接写出f （x ）的表达式，并求出f （x ）在[0,]π上的值域；（2）求出f （x ）在[0,]π的单调区间。

14. （本小题满分13分） 设实数R a ∈，函数122)(+-=xa x f 是R 上的奇函数。

（1）求实数a 的值；（2）当)1,1(-∈x 时，求满足不等式0)1()1(2<-+-m f m f 的实数m 的取值范围。

1. C 【解析】∵{2,3,4,5,6}AB =，故A B 的元素的个数有5个。

2. C 【解析】∵函数log (0a y x a =>且1)a ≠的图象经过点)1,22(-，∴1log a -=，即4a =。

又∵函数(0xy b b =>且1)b ≠的图象经过点)22,1(，∴b = ∴a <b 。

∵12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数， ∴ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，故选C 。

3. D 【解析】设P （a ，2a ）是角θ终边上任意一点（a ≠0），由任意角三角函数定义知tan θ＝x y ＝a a2＝2，故tan 2θ＝θθ2tan 1tan 2-＝－34。

4. B 【解析】y ＝sin )22(π+x ＝cos2x 是偶函数，不符合题意。

y ＝cos )22(π+x ＝－sin 2x是T ＝π的奇函数，符合题意，同理C ，D 均不是奇函数。

5. D 【解析】函数2()2x f x x =-的零点个数等价于方程22x x =解的个数，即函数22x y y x ==与的交点个数。

在同一平面直角坐标系中，作出函数22x y y x ==与的图象，如下图所示：因为指数函数的增长速度大于二次函数的增长速度，所以函数22x y y x ==与的图象有三个交点，故选D 。

6. D 【解析】由题意可知y =60，当110x ≤≤时，令460x =，解得x =15，不符合题意； 当10100x <≤时，令2x +10=60，解得x =25，符合题意； 当x >100时，令1.5x =60，解得x =40，不符合题意， 综上，故选D 。

7. 1 【解析】由题意可知：-3，2是方程x 2+px −6=0的解，所以-p =-3+2=-1，所以p =1。

8. 2【解析】lg52lg 22lg 22(lg 2lg5)212=+=+=。

9. ]62,62[ππππ+-k k ，k ∈Z【解析】由题意得cos x ≥23，故2k π－6π≤x ≤6π＋2k π（k ∈Z ）。

10. 18【解析】2828()()281018y x x y x y x y x y +=++=+++≥+=，当且仅当281,28x y y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即x =6，y =12时取得最小值18。

11. 解：（1）由0)(=x f 得，⎪⎩⎪⎨⎧=-≤02)21(0xx 或⎩⎨⎧=-+>01)1(log 02x x ，解得1-=x 或1=x 。

所以，函数)(x f 的零点是－1，1。

（2）由()0f x >得，01()202xx ≤⎧⎪⎨->⎪⎩或20log (1)10x x >⎧⎨+->⎩，解得1x <-或1x >。

所以，不等式1)(>x f 的解集是{x |1x <-或1x >}。

【点睛】本题主要考查分段函数的零点问题，涉及的知识点包括指数方程（或不等式）与对数方程（或不等式）的解法，指数函数和对数函数的单调性。

解决本题的关键是分段求解对应的方程或不等式。

12. 解：∵1sin cos (0),5x x x π+=-<<两边平方得，242sin cos 025x x =-<，故sin x >0，cos x <0，∴2x ππ<<。

249(sin cos )12sin cos ,25x x x x ∴-=-=而sin cos 0,x x ->7sin cos 5x x ∴-=与1sin +cos -5x x =联立解得34sin ,cos .55x x ==-sin 3tan .cos 4x x x ∴==-【点睛】本题主要考查三角函数在各象限的符号，解决问题的关键是通过“平方法”求出sinxcosx 的值，从而构造sinx-cosx 的等式，联立方程组求解sinx 与cosx 的值。

其中，忽略判断sinx ，cosx 的符号是本题的易错点。

13. 解：（1）1()cos()23f x x π=-，∵0x π≤≤，1,3236x πππ∴-≤-≤ 11cos()1,223x π∴≤-≤ 当x =0时，1()2f x =；当23x π=时，f （x ）=1。

（2）令122,23k x k k Z ππππ-≤-≤∈，解得4244,33k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以单调递增区间为42[4,4],33k k k Z ππππ-+∈， 同理单调递减区间为28[4+,4],33k k k Z ππππ+∈。

[0,],()x f x π∈∴的单调递增区间为2[0,],3π 单调递减区间为2[].3ππ，【点睛】三角函数图象变换：（1）振幅变换sin sin A y x y A x =−−−−−−−−−→=所有点的纵坐标变为原来的倍；（2）周期变换1sin sin y x y x ωω=−−−−−−−−−→=所有点的横坐标变为原来的倍；（3）相位变换0)sin sin +y x y x ϕϕϕϕ>=−−−−−−−−→=所有点向左(或向右(<0)平移||个单位（）； （4）复合变换0)sin sin +y x y x ϕϕϕϕ>=−−−−−−−−→=所有点向左(或向右(<0)平移||个单位（）1ωωω−−−−−−−−→所有点的横坐标缩短(>1)或伸长(0<<1)到原来的倍sin()y x ωϕ=+sin()y A x ωϕ−−−−−−−−→=+所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍。

14. 解：（1）因为函数122)(+-=xa x f 是R 上的奇函数，所以(0)0f =。

即02021a -=+，解得1a =。

（2）由（1），得2()121x f x =-+。

因为()f x 是R 上的奇函数，由0)1()1(2<-+-m f m f ，得)1()1(2m f m f --<-，即)1()1(2-<-m f m f 。

下面证明()f x 在R 是增函数。

设12,x x R ∈且12x x <，则()()()1212121222222()()1121212121x x x xx x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 因为12x x <，所以1222x x <，12220x x -<，而012,01221>+>+xx ，所以()()()012122222121<++-x x x x ，即)()(21x f x f <，所以1221)(+-=x x f 是R 上的增函数。

当)1,1(-∈x 时，由)1()1(2-<-m f m f 得⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-1111111122m m m m ，解得21<<m 。

所以，当)1,1(-∈x 时，满足不等式0)1()1(2<-+-m f m f 的实数m 的取值范围是)2,1(。

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性定义，利用函数的单调性解不等式的基本方法。

解答本题的关键是利用函数的单调性脱掉“f ”，即根据函数值的大小关系得到自变量的大小关系。