有很多问题的精确解，仅仅通过有限次的算术运算是求不出来的，而必须通过分析一个无限变化过程的变化趋势才能求得，由此产生了极限概念和极限方法。

起初牛顿和莱布尼茨将无穷小的概念作为基础建立微积分，后来遇到了一些逻辑方面的坎坷，所以在他们探究的晚期都会有不同程度地接受了极限思想。

牛顿运用路程的变量S∆和时间的变量t∆之比表示了运动物体的平均速度，让t∆无限地趋近于零，这样就会得到物体的瞬时速度，因此引出了导数的概念和微分学理论等知识。

牛顿发现了极限概念的重要性，尝试将极限概念作为微积分研究的基础，他说：“两个量和量之比，如果在有限的时间内不断趋近于相等，且在这一时间结束之前前互相靠近，使两个两个量和量之比差小于任意给定的差，最终就成为了相等”。

但是牛顿的极限思想也是建立在几何直观上的，因此他将无法得出极限的严格而精确的表述。

牛顿所应用的极限的概念，只是接近以下直观性的语言描述：“如果当n无限增大时，a n无限地接近于常数A，那么就说a n以A为极限。

”例，圆是一个曲边形，它的内接正多边形是直边形，二者有内在的区别，但是这个区别又不是相绝对的，在一定的限制和所给的条件下，圆的内接正多边形可以转化为该圆周。

这个条件就是“若一个圆的内接正多边形的边数无限制增多时”，注意其中“无限”二字。

因此在无限的过程中，直边形可以转化为曲边形，也就是说在无限过程中，根据直边形的周长数列从而得到了曲边形的周长。

这种表现就是极限的思想及方法在定义圆的周长上的应用。

根据圆的周长定义和描述，显然就会计算出半径为R的圆的周长即C=2 πR。

其中，π是圆周率，R是常数。

那么这个圆的周长公式是怎样得到的呢？我们会用直尺度量线段的长，从而也就会度量多边形的周长，因而多边形的周长是已知的。

圆的周长是一条封闭的曲线，不可能用直尺直接量出它的长度。

这就出现了一个新的问题：何谓圆的周长？也就是，怎样定义圆的周长？这是计算圆的周长的基础。

圆的周长是个未知的新概念。

我们都知道这个道理，一个新的概念必须是建立在已知概念的基础上的。

在这里一个完全陌生的圆的周长是建立在已知的多边形周长的基础上的。

然而我们怎么样借助于一个已知的多边形的周长去定义圆的周长呢？追溯到我国古代，数学家刘徽在魏景元四年（公元263年）创立的“割圆术”，这种方式就是借助于圆的一串内接正多边形的周长数列定义了圆的周长。

割圆术的原理：起初做圆的内接正六边形，然后平均等分分每个边所对应的弧，接着做圆的内接正十二边形，就这样以此类推应用同样的方法，继续作一个圆的内接正二十四边形，圆的内接正四十八边形......显然不论正多边形的边数有怎么地多，每个圆的内接正多边形的周长都是已知的一个数。

因此，就得到一串数列，此数列为圆的内接正多边形的周长数列：, (2),....,,,6241261pp pp n -其中，通项p n 621-表示第n 次作出的圆的内接正p n 621-边形的周长。

那么有这样一个问题：这一串圆的内接正多边形与该圆周是会有怎样的联系呢？刘徽说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣，”显然，若一个圆的内接正多边形的边数成倍变化或无限增加时，那么，这一串圆的内接正多边形将会无限的趋近于这个圆周，也就是说它们的极限位置就是该圆周。

若从内接的正多边形的周长来说，当n 无限制的增大时，这一串圆的内接正多边形的周长数列{p n 621-}将趋近于某个稳定的数L,换句话说，用圆的内接正多边形的周长近似的替代了圆的周长，即圆的内接正多边形的边数成倍无限增加时，这一串圆的内接正多边形的极限位置“则与圆合体”，因此这一串圆的内接正多边形的周长数列{pn 621-}为某个稳定的数L,L 就应该是该圆的周长。

根据上述的分析，圆的周长也可以这样定义：如果圆的内接正多边形的周长数列{p n 621-}稳定于某个数L(当n 无限增大时)，则称L 是该圆的周长。

威尔斯特拉丝提出了极限的定义，给微积分提供了严格的理论基础。

所谓x xn→，就是指“如果对任意ε>0,总是存在自然数N ，使得当n>N 时,不等式ε<-x xn恒成立”。

1 极限的定义与性质 1.1 数列极限的定义与性质 1.1.1 数列极限的定义定义 设若{a n }为数列，a 为有限常数，如果对于任意给定的正数ε，总存在正整数N ，使得当n>N 时，有ε<-a a n ,则称数列{a n }的极限是常数a 或称数列{a n }收敛于常数，记为：lim ()n n n a a a a n →∞=→→∞或若数列{}n a 不存在极限，则称数列{}n a 发散。

数列{}n a 的极限是a ，用逻辑符号可简要表示为：lim 0,,,0n n n a a N N n N a a ε+→∞=⇔∀>∃∈∀>-<有1.1.2 数列极限的性质1.1.3（极限的唯一性） 若数列{}n a 收敛，则它的极限是唯一的。

1.1.4（极限的有界性） 若数列{}n a 收敛，则数列{}n a 一定有界，即0,,n M n N a M +∃>∀∈≤有1.1.5（收敛数列的保号性） 若lim n n a a →∞=与lim n n b b →∞=，且a b <，则,,n n N N n N a b +∃∈∀><有.推论3.1 若lim n n a a →∞=与lim n n b b →∞=，且,,n n N N n N a b +∃∈∀>≤有()(),n n a b a b a b ≥≤≥则.推论3.2 若lim n n a a →∞=，且()a b a b <>，则,N N n N +∃∈∀>，有()n n a b a b <>.1.1.6 （收敛数列与其子数列间的关系）如果数列{a n }收敛于a,那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a.2.2函数极限的定义及性质2.2.1函数极限的定义(1)当x →∞时函数f(x)的极限 若存在常数A,对于任意给定的正数ε>0,总存在正数X ，当x >X 时，有<-A x f )(ε恒成立，则称常数A 为f(x)当x →∞时的极限，记为.)(lim A x f x =∞→类似可给出的定义及A x f A x x x ==-∞→+∞→)(lim )(f lim .(2)当x →x 0时函数f(x)的极限 若存在常数A ，对于任意给数Ax f x x f A A x f x x =→→<-<-<>>)(x0x lin0x )()(00,0,0的极限，记为当为则称常数恒成立，时，有当总存在εσσε(3)当x →x 0时函数f(x)的左、右极限 若存在 常数A ，对于任意给定的正数0>ε，总存在0>σ,当0<x-x 0<σ时，有ε<-A x )(f 恒成立，则称常数A 为f(x)当x →x 0+时的右极限，记为,)(f lim 0A x x x =+→或f(x 0+)=A 或f(x 0+0)=A.若存在常数A,对于任意给定的正数0>ε，总存在0>σ，使得当0<x 0—x<σ时，有ε<-A x )(f 恒成立，则称常数A 为f(x)当x →x 0-时的左极限，记为A x f xx =-→)(lim 0,或A x A x =-=-)0(f )(f 00或.3.3.函数极限的性质3.1.1(极限的唯一性) 如果A,f(x)limx x =→Bx f =→)(lim 0x x , 那么A=B.3.1.2(函数极限的局部有界性) 如果A,f(x)lim 0x x =→那么f(x)在x 0的某去心领域U（x 0,}0|{0δδ<-<=x x x ）内有界，即存在常数M>O 和o >δ使得当0<δ<-0x x 时，有M x <=)(f .3.1.3(函数极限的局部保号性) A,f(x)lim 0x x =→而且A>0(或A<0),那么存在常数)0)(f (0)(f 0,0<><-<>x x x x o 或时，有当δδ.如果在x 0的某一去心领域内f(x)>=0（或f(x)<=0）,而且A,f(x)lim 0x x =→，那么A>=0(或A<=0).3.1.4(函数极限与数列极限的关系) 如果极限A,f(x)lim 0x x =→ 存在，{x n }为函数f(x)的定义域内任一收敛于x 0的数列，且满足：x n ≠x 0,那么相应的函数值数列{)(f n x }必收敛，且).(lim )(lim 0n x f x f x x n →∞→=注 上述函数极限的性质对x →x 0+,x 0-,∞，±∞均成立4.4. 无穷小量与无穷大量以下lim 表示的任意确定的一种或...lim lim 0∞→→x x x 。

4.4.1 定义无穷小量 如果o x mf =)(li ,那么称函数f （x ）为此极限过程下的无穷小量 无穷大量 如果limf(x)=∞，那么称函数f(x ）为此极限过程下的无穷大量 【注1】在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大量，那么1/f(x)(f(x)≠0)必为无穷小量；如果g(x)为无穷小量，那么1/g(x)(g(x)≠0)必为无穷大量。

【注 2】不要把无穷小量与很小很小的数混为一谈，0是唯一可以作为无穷小量的常数；也不要把无穷大量与很大很大的数混淆，任何常数都不是无穷大量。

4.1.2性质性质 1 limf(x)=A ⇔f(x)=A+a(x),其中a(x)是此极限过程下的无穷小量。

性质2 （1）有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。

（2）无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小量. （3）有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量7.7 极限在生活中的实际应用7.1.1 城市废弃物的管理甲市2014年末的调查资料所示，到2014年末，该市已积攒的废弃物200万吨。

通过预测甲市的数据，从2014年起该市还将以4万吨的速度产生新的废弃物。

如果从2015年起该市每年处理上一年堆积废弃物的25%，按照这样的方式依次循环，该市的废弃物是否将会全部处理完成？设2014年后每年的废弃物数量分别是1b ，2b ，b 3...b n ，根据题意，得所以b n n ∞→lim =16随着时间的推移，按照极限思想的方法并不会将所有的废弃物处理掉，剩余的废弃物将会维持在某一个固定的水平。

7.1.2 市场经营中的稳定性投资者交易的行为是影响市场经营稳定性的重要因素，运用股票举例来说，为了尽量避免出现盲目随大流行为，减少一些不理性的投资，我们需要对股票的内在价值（即未来收入现金流的现值）应该要有比较详细清楚的认识，进而决定是要购买还是要售出，做出理性地投资选择.下面是针对不同的模型确定股票相对应的未来收入现金流的现值。